Đề bài
Câu 1. Tìm \(\int {\dfrac{{5x + 1}}{{{x^2} - 6x + 9}}\,dx} \).
A. \(I = \ln |x - 3| - \dfrac{{16}}{{x - 3}} + C\).
B. \(I = \dfrac{1}{5}\ln |x - 3| - \dfrac{{16}}{{x - 3}} + C\).
C. \(I = \ln |x - 3| + \dfrac{{16}}{{x - 3}} + C\).
D. \(I = 5\ln |x - 3| - \dfrac{{16}}{{x - 3}} + C\).
Câu 2. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \tan x,\,\,y = 0,\,\,x = \dfrac{\pi }{3}\) quanh Ox là:
A. \(\sqrt 3 - \dfrac{\pi }{3}\)
B. \(\dfrac{\pi }{3} - 3\)
C. \(\dfrac{{{\pi ^2}}}{3} - \pi \sqrt 3 \)
D. \(\pi \sqrt 3 - \dfrac{{{\pi ^2}}}{3}\).
Câu 3. Tìm \(I = \int {\cos \left( {4x + 3} \right)\,dx} \).
A. \(I = \sin \left( {4x + 2} \right) + C\).
B. \(I = - \sin \left( {4x + 3} \right) + C\).
C. \(I = \dfrac{1}{4}\sin \left( {4x + 3} \right) + C\).
D. \(I = 4\sin \left( {4x + 3} \right) + C\).
Câu 4. Đặt \(F(x) = \int\limits_1^x {t\,dt} \). Khi đó F’(x) là hàm số nào dưới đây ?
A . F’(x) = x.
B. F’(x) = 1.
C. F’(x) = x – 1.
D. F’(x) = \(\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}\).
Câu 5. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của \(f(x) = \dfrac{{2x\left( {x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) ?
A. \(2\ln |x + 1| + \dfrac{{2{x^2} + 2x + 4}}{{x + 1}}\).
B. \(\ln \left( {x + 1} \right) + \dfrac{{2{x^2} + 2x + 4}}{{x + 1}}\).
C. \(\ln {\left( {x + 1} \right)^2} + \dfrac{{2{x^2} + 3x + 5}}{{x + 1}}\).
D. \(\dfrac{{2{x^2} + 3x + 5}}{{x + 1}} + \ln {e^2}{\left( {x + 1} \right)^2}\).
Câu 6. Tính nguyên hàm \(\int {{{\left( {5x + 3} \right)}^3}\,dx} \) ta được:
A. \(\dfrac{1}{{20}}{\left( {5x + 3} \right)^4} + C\).
B. \(\dfrac{1}{{20}}{\left( {5x + 3} \right)^4}\).
C. \(\dfrac{1}{4}{\left( {5x + 3} \right)^4} + C\).
D. \(\dfrac{1}{5}{\left( {5x + 3} \right)^4} + C\).
Câu 7. Cho \(f(x) \ge g(x),\forall x \in [a;b]\). Hình phẳng S1 giới hạn bởi đường y = f(x), y = 0, x = a, x = b (a<b) đem quay quanh Ox có thể tích V1. Hình phẳng S2 giới hạn bởi đường y = g(x), y = 0, x = a, x = b đem quay quanh Ox có thể tích V2. Lựa chọn phương án đúng.
A. Nếu V1 = V2 thì chắc chắn suy ra \(f(x) = g(x),\forall x \in [a;b]\).
B. S1>S2.
C. V1 > V2.
D. Cả 3 phương án trên đều sai.
Câu 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : \(y = {x^2}\,,\,y = \dfrac{{{x^2}}}{8},\,\,y = \dfrac{{27}}{x}\) là:
A. 27ln2.
B. 72ln27
C. 3ln72.
D. Một kết quả khác.
Câu 9. Chọn phương án đúng.
A. \(\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} = - \cot x\left| {\dfrac{\pi }{4} - \dfrac{\pi }{4} = - 2} \right.\)
B. \(\int\limits_2^1 {dx} = 1\).
C. \(\int\limits_{ - e}^e {\dfrac{{dx}}{x} = ln|2e|} - \ln | - e| = \ln 2\).
D. Cả 3 phương án đều sai.
Câu 10. Tính tích phân \(\int\limits_a^{\dfrac{\pi }{2} - a} {{\sin }^2}x\,dx;\,\,\dfrac{\pi }{2} > a > 0 \)
A. \( - \dfrac{1}{4}\sin \left( {\pi - 2a} \right) - \sin 2a + \pi - 4a\).
B. \( \dfrac{1}{4}\left( {\sin \left( {\pi - 2a} \right) - \sin 2a + \pi - 4a} \right)\).
C. \( - \dfrac{1}{4}\left( {\sin \left( {\pi - 2a} \right) - \sin 2a + \pi - 4a} \right)\).
D. 0.
Câu 11. Tích phân \(\int\limits_0^1 {x\sqrt {{x^2} + 1} } dx = \dfrac{{a\sqrt 2 - b}}{3}\) thì a + b bằng :
A. 2 B. 4
C. 3 D. 5
Câu 12. Trong các hàm số f(x) dưới đây, hàm số nào thỏa mãn đẳng thức \(\int {f(x).\sin x\,dx = - f(x).\cos x + \int {{\pi ^x}.\cos x\,dx} } \)?
A. \(f(x) = {\pi ^x}\ln x\).
B. \(f(x0 = - {\pi ^x}\ln x\).
C. \(f(x) = \dfrac{{{\pi ^x}}}{{\ln \pi }}\).
D. \(f(x) = \dfrac{{{\pi ^x}}}{{\ln x}}\).
Câu 13. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x} + 2x\) thỏa mãn \(F(0) = \dfrac{3}{2}\). Tìm F(x) ?
A. \(F(x) = {e^x} + {x^2} + \dfrac{3}{2}\).
B. \(F(x) = {e^x} + {x^2} + \dfrac{5}{2}\)
C. \(F(x) = {e^x} + {x^2} + \dfrac{1}{2}\)
D. \(F(x) = 2{e^x} + {x^2} - \dfrac{1}{2}\).
Câu 14. Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{1}{{x - 1}}\,,\,\,F(2) = 1\). Tính F(3).
A. \(F(3) = \dfrac{1}{2}\).
B. \(F(3) = \ln \dfrac{3}{2}\).
C. F(3) = ln2.
D. F(3) = ln2 + 1.
Câu 15. Hàm số \(F(x) = 3{x^2} - \dfrac{1}{{\sqrt x }} + \dfrac{1}{{{x^2}}} - 1\) có một nguyên hàm là:
A. \(f(x) = {x^3} - 2\sqrt x - \dfrac{1}{x} - x\).
B. \(f(x) = {x^3} - \sqrt x - \dfrac{1}{{\sqrt x }} - x\).
C. \(f(x) = {x^3} - 2\sqrt x + \dfrac{1}{x}\).
D. \(f(x{x^3} - \dfrac{1}{2}\sqrt x - \dfrac{1}{x} - x\).
Câu 16. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol \(y = 2 - {x^2}\) và đường thẳng \(y = - x\) là:
A. \(\dfrac{9}{2}\). B. 3
C. \(\dfrac{9}{4}\) D. \(\dfrac{7}{2}\).
Câu 17. Kết quả của tích phân \(\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x + 1 + \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)\,dx} \) được viết dưới dạng a + bln2. Tính giá trị của a + b.
A. \(\dfrac{3}{2}\) B. \( - \dfrac{3}{2}\)
C. \(\dfrac{5}{2}\) D. \( - \dfrac{5}{2}\)
Câu 18. Tìm \(I = \int {\sin 5x.\cos x\,dx} \).
A. \(I = - \dfrac{1}{5}\cos 5x + C\).
B. \(I = \dfrac{1}{5}\cos 5x + C\).
C. \(I = - \dfrac{1}{8}\cos 4x - \dfrac{1}{{12}}\cos 6x + C\).
D. \(I = \dfrac{1}{8}\cos 4x + \dfrac{1}{{12}}\cos 6x + C\).
Câu 19. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {e^x} - {e^{ - x}}\), trục hoành, đường thẳng x= - 1 và đường thẳng x = 1.
A. \(e + \dfrac{1}{e} - 2\)
B. 0
C. \(2\left( {e + \dfrac{1}{e} - 2} \right)\).
D. \(e + \dfrac{1}{e}\).
Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x\left( {2 + 3{x^2}} \right)\) là:
A. \({x^2}\left( {1 + \dfrac{3}{4}{x^2}} \right) + C\).
B. \(\dfrac{{{x^2}}}{2}\left( {2x + {x^3}} \right) + C\).
C. \({x^2}\left( {2 + 6x} \right) + C\).
D. \({x^2} + \dfrac{3}{4}{x^4}\).
Câu 21. Nguyên hàm của hàm số \(\int {\sin \left( {\dfrac{\pi }{3} - 2x} \right)\,dx} \) là:
A. \(\cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - 2x} \right) + C\).
B. \( - \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - 2x} \right) + C\).
C. \(\dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - 2x} \right) + C\).
D. \( - \cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - 2x} \right) + C\).
Câu 22. Tính nguyên hàm \(\int {\dfrac{{dx}}{{\sqrt x + 1}}} \) ta được :
A. \(2\sqrt x + 2\ln \left( {\sqrt x + 1} \right) + C\).
B. \(2 - 2\ln \left( {\sqrt x + 1} \right) + C\).
C. \(2\sqrt x - 2\ln \left( {\sqrt x + 1} \right) + C\).
D. \(2 + 2\ln \left( {\sqrt x + 1} \right) + C\).
Câu 23. Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\) và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng :
A. S= ln 2 – 1
B. S = ln 4 – 1 .
C. S =ln 4 + 1.
D. S = ln 2 + 1.
Câu 24. Tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn \(\int\limits_0^m {\left( {2x + 5} \right)\,dx = 6} \).
A. m = 1, m = - 6
B. m = - 1 , m = - 6.
C. m = - 1, m = 6.
D. m = 1, m = 6.
Câu 25. Biết \(\int\limits_2^4 {\dfrac{1}{{2x + 1}}\,dx = m\ln 5 + n\ln 3\,\left( {m,n \in R} \right)} \). Tính P = m – n .
A. \(P = - \dfrac{3}{2}\).
B. \(P = \dfrac{3}{2}\).
C. \(P = - \dfrac{5}{3}\).
D. \(P = \dfrac{5}{3}\).
Lời giải chi tiết
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| D | D | C | A | B |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| A | D | A | D | B |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| C | C | C | D | A |
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| A | B | C | C | A |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| C | C | B | A | A |
Lời giải chi tiết
Câu 1.
Ta có: \(\int {\dfrac{{5x + 1}}{{{x^2} - 6x + 9}}\,dx} \)
\(= \int {\dfrac{{5\left( {x - 3} \right) + 16}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}} \,dx \)
\(= \int {\left( {\dfrac{5}{{x - 3}} + \dfrac{{16}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}} \right)} \,d\left( {x - 3} \right)\)
\( = 5\ln \left| {x - 3} \right| - \dfrac{{16}}{{\left( {x - 3} \right)}} + C\)
Chọn đáp án D.
Câu 2.
Thể tích khối tròn xoay được xác định bởi công thức:
\(V = \pi \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {{{\tan }^2}x\,dx} \)
\(\;\;\;= \pi \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)\,dx} \)
\(\;\;\;= \pi \left( {\tan x - x} \right)\left| \begin{array}{l}^{\dfrac{\pi }{3}}\\_0\end{array} \right. \)
\(\;\;\;= \pi \left( {\sqrt 3 - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \pi \sqrt 3 - \dfrac{{{\pi ^2}}}{3}\)
Chọn đáp án D.
Câu 3.
Ta có: \(I = \int {\cos \left( {4x + 3} \right)\,dx} \)
\(= \dfrac{1}{4}\int \cos \left( {4x + 3} \right)\,d\left( {4x + 3} \right) \)
\(= \dfrac{1}{4}\sin \left( {4x + 3} \right) + C\)
Chọn đáp án C.
Câu 4.
Ta có: \(F(x) = \int\limits_1^x {t\,dt} = \left( {\dfrac{{{t^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}^x\\_1\end{array} \right. = \dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow F'\left( x \right) = x.\)
Chọn đáp án A.
Câu 5.
Ta có: \(\int {\dfrac{{2x\left( {x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \,dx\)
\(= \int {\dfrac{{2\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 2\left( {x + 1} \right) - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\,d\left( {x + 1} \right)}\)
\( = \int {\left( {2 + \dfrac{2}{{x + 1}} - \dfrac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right)\,d\left( {x + 1} \right)} \)
\( = 2x + 2\ln \left| {x + 1} \right| + \dfrac{4}{{x + 1}} + C\)
\(= \dfrac{{2{x^2} + 2x + 4}}{{x + 1}} + 2\ln \left| {x + 1} \right| + C\)
Chọn đáp án A.
Câu 6.
Ta có: \(\int {{{\left( {5x + 3} \right)}^3}\,dx} \)
\(= \dfrac{1}{5}\int {{{\left( {5x + 3} \right)}^3}} \,d\left( {5x + 3} \right) \)
\(= \dfrac{1}{5}.\dfrac{{{{\left( {5x + 3} \right)}^4}}}{4} + C\)
Chọn đáp án A.
Câu 7.
Ta có:
+ \({V_1} = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)} \,dx\)
+ \({V_2} = \pi \int\limits_a^b {{g^2}\left( x \right)} \,dx\)
Nếu V1 = V2 thì chưa chắc ta có: \(f(x) = g(x),\forall x \in [a;b]\).
Chọn đáp án D.
Câu 8.
Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = \dfrac{{{x^2}}}{8}\\{x^2} = \dfrac{{27}}{x}\\\dfrac{{{x^2}}}{8} = \dfrac{{27}}{x}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = 3\end{array} \right.\)
Khi đó diện tích hình phẳng được xác định bằng công thức:
\(S = \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - \dfrac{{x{}^2}}{8}} \right)} \,dx + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - \dfrac{{27}}{x}} \right)\,dx} \)
\(= \dfrac{7}{8}\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}^2\\_0\end{array} \right. + \left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - 27\ln \left| x \right|} \right)\left| \begin{array}{l}^3\\_2\end{array} \right.\)
\( = \dfrac{7}{8}\left( {\dfrac{8}{3}} \right) + \left( {9 - 27\ln 3 - \dfrac{8}{3} + 27\ln 2} \right)\)
\(= 26 - 27\ln \dfrac{3}{2}\)
Câu 9
+ \(\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} = - \cot x\left| {_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} = - 1 - } \right.1 \)\(\,= - 2.\) sai vì hàm số không liên tục
+ \(\int\limits_2^1 {dx} = 1 = - \int\limits_1^2 {dx} = - \left( x \right)\left| \begin{array}{l}^2\\_1\end{array} \right. \)\(\,= - \left( {2 - 1} \right) = - 1.\)
+ \(\int\limits_{ - e}^e {\dfrac{{dx}}{x}} = \ln \left| x \right|\left| \begin{array}{l}^e\\_{ - e}\end{array} \right.\)\(\, = \ln \left| e \right| - \ln \left| { - e} \right| = 0.\)
Chọn đáp án D.
Câu 10.
Ta có:
\(\int\limits_a^{\dfrac{\pi }{2} - a} {{{\cos }^2}x\,dx\,} \)
\(= \dfrac{1}{2}\int\limits_a^{\dfrac{\pi }{2} - a} {\dfrac{{\cos 2x + 1}}{2}} \,d\left( {2x} \right) \)
\(= \dfrac{1}{4}\left( {\sin 2x + 2x} \right)\left| \begin{array}{l}^{\dfrac{\pi }{2} - a}\\_a\end{array} \right. \)
\(= \dfrac{1}{4}\left( {\sin \left( {\pi - 2a} \right) + \pi - 2a - \sin 2a - 2a} \right)\)
\( = \dfrac{1}{4}\left( {\sin \left( {\pi - 2a} \right) - \sin 2a + \pi - 4a} \right)\)
Chọn đáp án B.
Câu 11.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {x\sqrt {{x^2} + 1} } dx \\= \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\sqrt {{x^2} + 1} \,} d\left( {{x^2} + 1} \right) \\= \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{\left( {{x^2} + 1} \right)^{\dfrac{3}{2}}}\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. \\= \dfrac{1}{3}\left( {2\sqrt 2 - 1} \right) = \dfrac{{2\sqrt 2 - 1}}{3}\\\end{array}\)
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 3.\)
Chọn đáp án C.
Câu 12.
Ta có: \(\int {\dfrac{{{\pi ^x}}}{{\ln x}}} .\sin x\,dx = \int { - \dfrac{{{\pi ^x}}}{{\ln x}}} \,d\left( {\cos x} \right) \)\(\,= \left( { - \dfrac{{{\pi ^x}}}{{\ln x}}.\cos x} \right) + \int {{\pi ^x}.\cos x\,dx} \)
Chọn đáp án C.
Câu 13.
Ta có: \(\int {\left( {{e^x} + 2x} \right)\,dx} = {e^x} + {x^2} + C\)
Theo giả thiết ta có: \(F(0) = \dfrac{3}{2} \Rightarrow {e^0} + C = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow C = \dfrac{1}{2}\)
Khi đó \(F(x) = {e^x} + {x^2} + \dfrac{1}{2}\)
Chọn đáp án C.
Câu 14.
Ta có: \(\int {\left( {\dfrac{1}{{x - 1}}} \right)} \,dx = \int {\dfrac{1}{{x - 1}}\,d\left( {x - 1} \right) }\)\(\,= \ln \left| {x - 1} \right| + C\)
Theo giả thiết ta có: \(F\left( 2 \right) = 1 \Rightarrow \ln 1 + C = 1 \Leftrightarrow C = 1.\)
Khi đó ta có: \(F\left( 3 \right) = \ln 2 + 1.\)
Chọn đáp án D.
Câu 15.
Ta có: \(\int {\left( {3{x^2} - \dfrac{1}{{\sqrt x }} + \dfrac{1}{{{x^2}}} - 1} \right)} \,dx \)\(\,= {x^3} - 2\sqrt x - \dfrac{1}{x} - x + C\)
Chọn đáp án A.
Câu 16.
Phương trình hoành độ giao điểm \(2 - {x^2} = - x \)
\(\Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 1\end{array} \right.\)
Diện tích hình phẳng được xác định bởi công thức
\(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {\left( {2 - {x^2}} \right) + x} \right)\,dx} \)\(\, = \left( { - \dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)\left| \begin{array}{l}^2\\_{ - 1}\end{array} \right.\)\(\, = \dfrac{{10}}{3} + \dfrac{7}{6} = \dfrac{9}{2}.\)
Chọn đáp án A.
Câu 17.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x + 1 + \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)\,dx} \\= \left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + x + 2\ln \left| {x - 1} \right|} \right)\left| \begin{array}{l}^0\\_{ - 1}\end{array} \right. \\= 0 - \left( {2\ln 2 - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{2} - 2\ln 2\\\end{array}\)
Khi đó \(a + b = \dfrac{1}{2} - 2 = - \dfrac{3}{2}.\)
Chọn đáp án B.
Câu 18.
Ta có: \(I = \int {\sin 5x.\cos x\,dx} \)\(\,= \dfrac{1}{2}\int {\left( {\sin 6x + \sin 4x} \right)} \,dx\)\(\, = - \dfrac{1}{{12}}\cos 6x - \dfrac{1}{8}\cos 4x + C\)
Chọn đáp án C.
Câu 19.
Diện tích hình phẳng được xác định bởi công thức:
\(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)dx} = \left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)\left| {_{ - 1}^1} \right. \)\(\,= e + \dfrac{1}{e} - e - \dfrac{1}{e} = 0\)
Chọn đáp án B.
Câu 20.
Ta có:
\(\int {x\left( {2 + 3{x^2}} \right)\,dx} \)
\(= \int {\left( {3{x^3} + 2x} \right)} \,dx \)
\(= \dfrac{3}{4}{x^4} + {x^2} + C \)
\(= {x^2}\left( {\dfrac{3}{4}{x^2} + 1} \right) + C\)
Chọn đáp án A.
Câu 21.
Ta có:
\(\int {\sin \left( {\dfrac{\pi }{3} - 2x} \right)\,dx} \)
\(= \dfrac{1}{2}\int \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x - \dfrac{1}{2}\sin 2x} \right)\,d\left( {2x} \right) \)
\(= \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x + \dfrac{1}{2}\cos 2x} \right) + C \)
\( = \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - 2x} \right) + C\).
Chọn đáp án C.
Câu 22.
Đặt \(t = \sqrt x \Rightarrow {t^2} = x \Rightarrow dx = 2t\,dt\)
Khi đó ta có:
\(\int {\dfrac{{dx}}{{\sqrt x + 1}}} = \int {\dfrac{{2t}}{{t + 1}}\,dt} \)
\(= \int {\dfrac{{2\left( {t + 1} \right) - 2}}{{t + 1}}} \,dt \)
\(= \int {\left( {2 - \dfrac{2}{{t + 1}}} \right)\,dt} \)
\( = 2t - 2\ln \left| {t + 1} \right| + C \)
\(= 2\sqrt x - 2\ln \left| {\sqrt x + 1} \right| + C \)
\(= 2\sqrt x - 2\ln \left( {\sqrt x + 1} \right) + C\)
Chọn đáp án C.
Câu 23.
Diện tích hình phẳng giới hạn được xác định bởi công thức:
\(S = \int\limits_0^1 {\left| {\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right|\,dx} = \int\limits_0^1 {\left| {1 - \dfrac{2}{{x + 1}}} \right|\,dx} \)
\(\;\;\;= \left| {x - 2\ln \left| {x + 1} \right|} \right|\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right.\)
\(\;\;\;= 2\ln 2 - 1 = \ln 4 - 1.\)
Chọn đáp án B.
Câu 24.
Ta có: \(\int\limits_0^m {\left( {2x + 5} \right)\,dx = \left( {{x^2} + 5x} \right)} \left| \begin{array}{l}^m\\_0\end{array} \right.\)\(\, = {m^2} + 5m = 6\)
\( \Leftrightarrow {m^2} + 5m - 6 = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 6 = 0\\m - 1 = 0\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 6\\m = 1\end{array} \right.\)
Chọn đáp án A.
Câu 25.
Ta có:
\(\int\limits_2^4 \dfrac{1}{{2x + 1}}\,dx \)
\(= \dfrac{1}{2}\int\limits_2^4 \dfrac{1}{{2x + 1}}\,d\left( {2x + 1} \right) \)
\(= \dfrac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right|\left| \begin{array}{l}{}^4\\_2\end{array} \right. \)
\(= \ln 3 - \dfrac{1}{2}\ln 5 = m\ln 5 + n\ln 3\, \)
Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}n = 1\\m = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow P = m - n = - \dfrac{3}{2}.\)
Chọn đáp án A.
