Đề bài
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng \( y = \sqrt x\) và \(y = x\) quay xung quanh trục \(Ox\). Thể tích của khối tròn xoay tại thành bằng:
A. \(0\) B. \(– π\)
C. \(π\) D. \(\displaystyle{\pi \over 6}\)
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Quay hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y=f(x); \, \, y=g(x)\) và các đường thẳng \(x=a;\, \, y=b \, (a<b)\) quanh trục \(Ox\) thì thể tích của hình phẳng đó được tính bởi công thức: \(V = \pi \displaystyle \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx.} \)
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng \(y = \sqrt x\) và \(y = x\) là:
\(x = \sqrt x ⇔ x = 0\) hoặc \(x = 1\)
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
\(V = \pi \displaystyle \int\limits_0^1 {\left| {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {x^2}} \right|dx} \) \(= \pi \displaystyle \int\limits_0^1 {\left| {x - {x^2}} \right|dx} \)
Với \(0 \le x \le 1\) thì \(x \ge {x^2}\) nên:
\(\displaystyle V = \pi \int_0^1 {(x - {x^2}} )dx = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = {\pi \over 6}\)
Chọn đáp án D.
