Video hướng dẫn giải
LG a
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y=x3+3x2+1.
Phương pháp giải:
*Tập xác định
Tìm tập xác định của hàm số
*Sự biến thiên của hàm số
- Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm y′
+ Tại các điểm đó đạo hàm y′ bằng 0 hoặc không xác định
+ Xét dấu đạo hàm y′ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
- Tìm cực trị
- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)
- Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)
*Đồ thị
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị,
- Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox
- Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
- Nêu lưu ý đến tính chẵn , tính lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.
Lời giải chi tiết:
y=x3+3x2+1
Tập xác định: D=R
* Sự biến thiên:
Ta có: y′=3x2+6x=3x(x+2)
⇒y′=0⇔3x(x+2)=0⇔[x=0x+2=0⇔[x=0x=−2.
- Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;−2) và (0;+∞), nghịch biến trên khoảng (−2;0)
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x=−2; yCĐ=5
Hàm số đạt cực tiểu tại x=0; yCT=1.
- Giới hạn: lim, \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty
- Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị hàm số giao \displaystyle Oy tại \displaystyle (0;1)
Đồ thị hàm số nhận \displaystyle I(-1;3) làm tâm đối xứng.
LG b
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m: {x^3} + 3{x^2} + 1 = \dfrac m 2.
Phương pháp giải:
Số nghiệm của phương trình f(x) = \dfrac{m}{2} là số giao điểm của đồ thị hàm số y=f(x) và đường thẳng y=\dfrac{m}{2}. Dựa vào đồ thị để biện luận số nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Số nghiệm của phương trình \displaystyle {x^3} + 3{x^2} + 1 = {m \over 2} chính là số giao điểm của \displaystyle (C) và đường thẳng \displaystyle (d): \displaystyle y = {m \over 2}
Từ đồ thị ta thấy:
- Với \displaystyle {m \over 2} < 1 \Leftrightarrow m < 2 : (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm
- Với \displaystyle {m \over 2} = 1 ⇔ m = 2: (d) tiếp xúc với (C) tại 1 điểm và cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.
- Với \displaystyle 1 < {m \over 2} < 5 ⇔ 2<m<10: (d) cắt (C) tại 3 điểm, phương trình có 3 nghiệm.
- Với \displaystyle {m \over 2} = 5 \Leftrightarrow m = 10: (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.
- Với \displaystyle {m \over 2} > 5 \Leftrightarrow m > 10: (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm.
Vậy, nếu m < 2 hoặc m > 10 thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất.
+ Nếu m = 2 hoặc m = 10 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
+ Nếu 2 < m < 10 thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
LG c
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C).
Phương pháp giải:
Xác định tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Viết pt đường thẳng AB đi qua 2 điểm A, B ta làm như sau:
+ Tìm tọa độ \overrightarrow {AB} suy ra tọa độ VTPT của đt.
+ Viết pt đường thẳng theo công thức a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0
Lời giải chi tiết:
Ta thấy đồ thị hàm số có điểm cực đại là \displaystyle A(-2, 5), điểm cực tiểu là \displaystyle B(0, 1).
Ta có: \overrightarrow {AB} = \left( {2; - 4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {4;2} \right) là VTPT của AB.
AB đi qua A(-2;5) và nhận \overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {4;2} \right) làm VTPT nên có pt:
4\left( {x + 2} \right) + 2\left( {y - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 2y - 2 = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 1 = 0
