Video hướng dẫn giải
LG a
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)(C) của hàm số
y=−x3+3x+1y=−x3+3x+1.
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số y=−x3+3x+1y=−x3+3x+1.
Tập xác định : R.
* Sự biến thiên:
Ta có: y′=−3x2+3=−3(x2−1);
⇒y′=0⇔x2−1=0⇔[x=1x=−1.
- Hàm số đồng biến trên khoảng (−1;1), nghịch biến trên khoảng (−∞;−1) và (1;+∞).
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x=1; yCĐ=3
Hàm số đạt cực tiểu tại x=−1; yCT=−1
- Giới hạn:
limyx→−∞=+∞limyx→+∞=−∞
Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Đồ thị giao Oy tại điểm I(0;1) và nhận I làm tâm đối xứng.
LG b
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số m.
x3−3x+m=0.
Phương pháp giải:
- Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 3.
- Dựa vào đồ thị hàm số câu a để biện luận số nghiệm của phương trình.
+) Số nghiệm của phương trình f(x)=a là số giao điểm của đồ thị hàm số y=f(x) với đường thẳng y=a.
+) Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.
Lời giải chi tiết:
x3−3x+m=0 ⇔−x3+3x+1=m+1 (1). Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số (C) với đường thẳng (d) : y=m+1.
Từ đồ thị ta thấy :
+) m+1<−1⇔m<−2: (d) cắt (C) tại 1 điểm, (1) có 1 nghiệm.
+) m+1=−1⇔m=−2 : (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, (1) có 2 nghiệm.
+) −1<m+1<3⇔−2<m<2 : (d) cắt (C) tại 3 điểm, (1) có 3 nghiệm.
+) m+1=3⇔m=2 : (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, (1) có 2 nghiệm.
+) m+1>3⇔m>2 : (d) cắt (C) tại 1 điểm, (1) có 1 nghiệm.
Kết luận:
+ Với m < -2 hoặc m > 2 thì phương trình có 1 nghiệm.
+ Với m = -2 hoặc m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm.
+ Với -2 < m < 2 thì phương trình có 3 nghiệm.
