Giải đề thi học kì 2 toán lớp 12 năm 2020 - 2021 trường THPT Đan Phượng

140 lượt xem

Bài trước

Bài sau

Câu hỏi 1:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

$\int {\frac{{dx}}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt x + C$
$\int {\frac{{dx}}{{{x^2}}}} = \frac{1}{x} + C$
$\int {{2^x}dx} = {2^2} + C$
$\int {\frac{{dx}}{{x + 1}}} = \ln \left| x \right| + C$

Đáp án:

$\int {\frac{{dx}}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt x + C$

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản.

Lời giải chi tiết:

$\int {\frac{{dx}}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt x + C$ .

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2:

Trong không gian Oxyz, cho $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 1 + 4t\\z = t\end{array} \right.$ . Gọi A là điểm thuộc đường thẳng d ứng với giá trị t=1. Phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với $\left( P \right):2x - y + 2z - 9 = 0$ là

${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4$
${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4$
${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2$
${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 2$

Đáp án:

${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4$

Phương pháp giải:

+ Thay t=1 tìm A.

+ Tính bán kính mặt cầu $R = d\left( {A,\left( P \right)} \right)$ .

Lời giải chi tiết:

Thay t=1 vào d ta được điểm $A\left( {2;3;1} \right) \in d$ .

$R = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 - 3 + 2.1 - 9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 2$

Mặt cầu (S): ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3:

Cho điểm A(2;5;1), mặt phẳng $\left( P \right):6x + 3y - 2z + 24 = 0$ . H là hình chiếu vuông góc vủa A trên mặt phẳng (P). Phương trình mặt cầu (S) có diện tích $784\pi$ và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H sao cho điểm A nằm trong mặt cầu là:

${\left( {x - 16} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 7} \right)^2} = 196$
${\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 196$
${\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 196$
${\left( {x + 16} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 196$

Đáp án:

${\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 196$

Phương pháp giải:

+ Tìm AH

+ Tìm H.

+ ${S_{mc}} = 4\pi {R^2}$ => Tìm R.

+ Nhận xét vị trí của I, H, A tìm I.

Lời giải chi tiết:

AH qua $A\left( {2;5;1} \right)$ và vuông góc với (P) nên có phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 6t\\y = 5 + 3t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$

Do $AH \cap \left( P \right) = \left\{ H \right\}$ nên $H\left( {2 + 6t;5 + 3t;1 - 2t} \right)$ . Thay vào (P) ta được:

$\begin{array}{l}6\left( {2 + 6t} \right) + 3\left( {5 + 3t} \right) - 2\left( {1 - 2t} \right) + 24 = 0\\ \Leftrightarrow t = - 1\\ \Rightarrow H\left( { - 4;2;3} \right)\end{array}$

Do mặt cầu tiếp xúc với (P) tại H nên tâm I của mặt cầu thuộc đường thẳng AH và cùng phía với A so với (P).

Diện tích mặt cầu: $784\pi = 4\pi {R^2} \Rightarrow R = 14 = IH$ .

Do I, A, H thẳng hàng, I và A cùng phía so với H và IH=2AH nên A là trung điểm của IH.

$= > I\left( {8;8; - 1} \right)$ .

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4:

Tính nguyên hàm $\int {\frac{1}{{{x^2} + x - 6}}dx}$

$\ln \left( {\frac{{x - 2}}{{x + 3}}} \right) + C$
$\frac{1}{5}\ln \left| {\frac{{x - 2}}{{x + 3}}} \right| + C$
$\frac{1}{5}\ln \left| {\frac{{x + 3}}{{x - 2}}} \right| + C$
$\frac{1}{5}\ln \left( {\frac{{x - 2}}{{x + 3}}} \right) + C$

Đáp án:

$\frac{1}{5}\ln \left| {\frac{{x - 2}}{{x + 3}}} \right| + C$

Phương pháp giải:

+ Đưa biểu thức dưới dấu nguyên hàm thành dạng $\frac{A}{{x - a}} + \frac{B}{{x - b}}$ .

+ Sử dụng bảng nguyên hàm

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\int {\frac{1}{{{x^2} + x - 6}}dx} = \frac{1}{5}\int {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 3}}dx} \\ = \frac{1}{5}.\ln \left| {\frac{{x - 2}}{{x + 3}}} \right| + C\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5:

Gọi hai vecto $\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}}$ lần lượt là vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right),\left( \beta \right)$ và $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng đó. Công thức tính $\cos \varphi$ là:

$\frac{{\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_1}} } \right]}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}$
$\frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}$
$\frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}$
$\frac{{\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right]}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}$

Đáp án:

$\frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}$

Phương pháp giải:

$\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}$

Lời giải chi tiết:

Cosin góc giữa 2 mặt phẳng bằng cosin góc giữa 2 vecto pháp tuyến. Cosin cần tìm là:

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6:

Cho số phức ${\rm{w}}$ và hai số thực a, b. biết ${z_1} = {\rm{w}} + 2i,{z_2} = 2w - 3$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} + az + b = 0$ . Tìm giá trị $T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|$ .

$T = \frac{{2\sqrt {97} }}{3}$
$T = \frac{{2\sqrt {85} }}{3}$
$T = 2\sqrt {13}$
$T = 4\sqrt {13}$

Đáp án:

$T = \frac{{2\sqrt {97} }}{3}$

Phương pháp giải:

Sử dụng Vi ét trong phương trình phức để lập hệ phương trình liên quan đến phần thực và phần ảo của w.

Lời giải chi tiết:

Đặt $w = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$ . Do $w + 2i$ và $2w - 3$ là 2 nghiệm thực của phương trình ${z^2} + az + b = 0$ nên ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}w + 2i + 2w - 3 = - a\\\left( {w + 2i} \right)\left( {2w - 3} \right) = b\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 3x - 3 + \left( {3y + 2} \right)i = 0\\\left[ {x + \left( {2 + y} \right)i} \right]\left( {2x - 3 + 2yi} \right) = b\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + a - 3 + \left( {3y + 2} \right)i = 0\\2{x^2} - 3x - 2y - {y^2} + \left( {2xy + 4x + 2xy - 6 - 3y} \right)i = b\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + a - 3 = 0\\3y + 2 = 0\\2{x^2} - 3x - 2y - {y^2} = b\\2xy + 4x + 2xy - 6 - 3y = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - \frac{2}{3}\end{array} \right.\end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{w}} = 3 - \frac{2}{3}i\\ \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {3 - \frac{2}{3}i + 2i} \right| = \frac{{\sqrt {97} }}{3}\\ \Rightarrow T = \frac{{2\sqrt {97} }}{3}\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt 3 trục tọa độ tại $M\left( {3;0;0} \right),N\left( {0; - 5;0} \right)$ và $P\left( {0;0;9} \right)$ . Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là:

$\frac{x}{3} - \frac{y}{5} + \frac{z}{9} = 1$
$- \frac{x}{3} - \frac{y}{5} + \frac{z}{9} = - 1$
$\frac{x}{3} + \frac{y}{5} - \frac{z}{9} = 1$
$\frac{x}{3} - \frac{y}{5} + \frac{z}{9} = - 1$

Đáp án:

$\frac{x}{3} - \frac{y}{5} + \frac{z}{9} = 1$

Phương pháp giải:

Phương trình mặt phẳng qua 3 điểm $A\left( {{x_0};0;0} \right),B\left( {0;{y_0};0} \right),z\left( {0;0;{z_0}} \right)$ là $\frac{x}{{{x_0}}} + \frac{y}{{{y_0}}} + \frac{z}{{{z_0}}} = 1$

Lời giải chi tiết:

Phương trình mặt phẳng qua 3 điểm $M\left( {3;0;0} \right),N\left( {0; - 5;0} \right),P\left( {0;0;9} \right)$ là $\frac{x}{3} - \frac{y}{5} + \frac{z}{9} = 1$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: tổng bình phương của phần thực và phần ảo của z bằng 1, đồng thời phần thực của z không âm là

Nửa đường tròn tâm O bán kính bằng 1, nằm phía trên trục Ox.
Nửa đường tròn tâm O bán kính bằng 1, nằm phía dưới trục Ox.
Nửa đường tròn tâm O bán kính bằng 1, nằm phía bên phải trục Oy.
Nửa đường tròn tâm O bán kính bằng 1, nằm phía bên trái trục Oy.

Đáp án:

Nửa đường tròn tâm O bán kính bằng 1, nằm phía bên phải trục Oy.

Phương pháp giải:

Đặt $z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$ .

Tìm điều kiện cho z.

Lời giải chi tiết:

Đặt $z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$ .

$\left| z \right| = 1$ nên điểm biểu diễn của z là thuộc đường tròn tâm O bán kính 1.

Vì phần thực của z không âm nên điểm biểu diễn nằm bên phải trục Oy.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn cần tìm là đường tròn tâm O và nằm bên phải trục Oy.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left( {3;0;0} \right),B\left( {0;3;0} \right),C\left( {0;0;3} \right)$ . Phương trình hình chiếu của đường thẳng OA trên mặt phẳng (ABC) là

$\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = t\\z = t\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 4t\\y = t\\z = t\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 0\\z = 0\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 + t\\z = 1 + t\end{array} \right.$

Đáp án:

$\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = t\\z = t\end{array} \right.$

Phương pháp giải:

- Sử dụng tính chất: OA, OB, OC đôi một vuông góc thì hình chiếu của O lên (ABC) là trực tâm của tam giác ABC.

- Tìm vtvp của hình chiếu và loại trừ các đáp án.

Lời giải chi tiết:

Gọi G là trực tâm tam giác ABC.

Suy ra G là trọng tâm do $\Delta$ ABC đều.

$= > G\left( {1;1;1} \right)$ .

Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên G là hình chiếu của O lên (ABC).

=> Hình chiếu của OA lên (ABC) là đường thẳng AG.

$\overrightarrow {AG} = \left( { - 2;1;1} \right)$ là vtcp của hình chiếu cần tìm.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vecto $\overrightarrow u = \left( {1;1; - 2} \right),\overrightarrow v = \left( {1;0;m} \right)$ . Tìm tất cả các giá trị của m để góc giữa $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ bằng $45^\circ$ .

$m = 2 - \sqrt 6$
$m = 2 \pm \sqrt 6$
$m = 2 + \sqrt 6$
$m = 2$

Đáp án:

$m = 2 \pm \sqrt 6$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: $\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}$ .

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 - 2m} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt {{m^2} + 1} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow 2{\left( {1 - 2m} \right)^2} = 6\left( {{m^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow m = 2 \pm \sqrt 6 \end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$ . Tìm phương trình đường thẳng $\Delta$ đối xứng với đường thẳng d qua mặt phẳng (Oxy).

$\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = 3\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$
$\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$
$\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$
$\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 2 - t\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$

Đáp án:

$\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$

Phương pháp giải:

Hình chiếu của mọi đường thẳng thuộc một mặt phẳng qua chính mặt phẳng đó là chính nó.

Lời giải chi tiết:

Do d có $z = 0$ nên $d \in \left( {Oxy} \right)$

=> Hình chiếu của d trên Oxy là chính nó.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12:

Cho hai điểm $A\left( {1;0; - 3} \right),B\left( {3;2;1} \right)$ . Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 2z + 6 = 0$
${x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 2z = 0$
${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - y + z - 6 = 0$
${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 2z = 0$

Đáp án:

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 2z = 0$

Phương pháp giải:

Mặt cầu đường kính AB có tâm I là trung điểm của AB và bán kính bằng $\frac{{AB}}{2}$ .

Lời giải chi tiết:

Trung điểm $I\left( {2;1; - 1} \right)$ là tâm mặt cầu đường kính AB.

${R^2} = \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{{{2^2} + {2^2} + {4^2}}}{4} = 6$

Mặt cầu:

$\begin{array}{l}\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 2z = 0\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13:

Cho số phức z thỏa mãn $z - i\left( {4 - 2i} \right) = 8i - 6$ . Phần thực của số phức z bằng

-8
8
12
-4

Đáp án:

-8

Phương pháp giải:

Tìm số phức rồi tìm phần thực.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}z - i\left( {4 - 2i} \right) = 8i - 6\\ \Leftrightarrow z = i\left( {4 - 2i} \right) + 8i - 6\\ \Leftrightarrow z = 4i + 2 + 8i - 6 = 12i - 8\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14:

Cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right),\left( \beta \right)$ có phương trình: $\left( \alpha \right):x - 2y + 3z + 1 = 0$ , $\left( \beta \right):2x - 4y + 6z + 1 = 0$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

$\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)$
$\left( \alpha \right) \equiv \left( \beta \right)$
$\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)$
$\left( \alpha \right)$ cắt $\left( \beta \right)$

Đáp án:

$\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)$

Phương pháp giải:

+ Tìm vecto pháp tuyến của 2 mặt phẳng

+ 2 vecto pháp tuyến song song thì 2 mặt phẳng song song.

Lời giải chi tiết:

${n_{\left( \alpha \right)}} = \left( {1; - 2;3} \right),{n_{\left( \beta \right)}} = \left( {2; - 4;6} \right)$

$\Rightarrow {n_{\left( \alpha \right)}}//{n_{\left( \beta \right)}}$ .

Vậy $\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15:

Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M biểu diễn số phức nào sau đây?

$z = - 2 + 3i$
$z = 3 + 2i$
$z = 3i$
$z = 3 - 2i$

Đáp án:

$z = - 2 + 3i$

Phương pháp giải:

Hoành độ là phần thực, tung độ là phần ảo.

Lời giải chi tiết:

Từ đồ thị ta có điểm $M\left( { - 2;3} \right)$

$\Rightarrow z = - 2 + 3i$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ . Gọi D là miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ , trục hoành và các đường thẳng $x = a,x = b\left( {a < b} \right)$ . Diện tích của D được cho bởi công thức nào sau đây?

$S = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx}$
$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$
$S = \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx}$
$S = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$

Đáp án:

$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$

Phương pháp giải:

Công thức tính diện tích của miền phẳng.

Lời giải chi tiết:

$S = \int_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17:

Biết rằng tích phân $\int\limits_0^4 {\frac{{\left( {x + 1} \right){e^x}}}{{\sqrt {2x + 1} }}dx} = a{e^4} + b$ . Tính $T = {a^2} - {b^2}$ .

$T = \frac{5}{2}$
$T = 1$
$T = 2$
$T = \frac{3}{2}$

Đáp án:

$T = 2$

Phương pháp giải:

Tách tích phân.

Tích phân từng phần.

Sử dụng bảng nguyên hàm.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\int_0^4 {\frac{{\left( {x + 1} \right){e^x}}}{{\sqrt {2x + 1} }}dx} = \frac{1}{2}\int_0^4 {\frac{{2x + 1 + 1}}{{\sqrt {2x + 1} }}{e^x}dx} \\ = \underbrace {\frac{1}{2}\int_0^4 {\sqrt {2x + 1} .{e^x}} }_{{I_1}} + \underbrace {\frac{1}{2}\int_0^4 {\frac{{{e^x}}}{{\sqrt {2x + 1} }}dx} }_{{I_2}}\end{array}$

$\begin{array}{l}{I_2} = \frac{1}{2}\int_0^4 {{e^x}d\left( {\sqrt {2x + 1} } \right)} \\ = \frac{1}{2}\left. {\left( {{e^x}.\sqrt {2x + 1} } \right)} \right|_0^4 - \frac{1}{2}\int_0^4 {\sqrt {2x + 1} .{e^x}dx} \\ = \frac{1}{2}.{e^4}.3 - \frac{1}{2} - {I_1}\\ \Rightarrow I = {I_1} + {I_2} = \frac{3}{2}{e^4} - \frac{1}{2}\\ \Rightarrow T = {a^2} - {b^2} = 2\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18:

Gọi ${z_1},{z_2}$ là 2 nghiệm của phương trình $3{z^2} - z + 4 = 0$ . Khi đó $P = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} + \frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}$ bằng

$\frac{{23}}{{24}}$
$\frac{{23}}{{12}}$
$- \frac{{23}}{{24}}$
$- \frac{{23}}{{12}}$

Đáp án:

$- \frac{{23}}{{12}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng vi ét.

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${z_1},{z_2}$ là 2 nghiệm của phương trình $3{z^2} - z + 4 = 0$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = \frac{1}{3}\\{z_1}.{z_2} = \frac{4}{3}\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow P = \frac{{z_1^2 + z_2^2}}{{{z_1}.{z_2}}}\\ = \frac{{{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}^2} - 2{z_1}.{z_2}}}{{{z_1}.{z_2}}} = - \frac{{23}}{{12}}\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\alpha :2x + 4y + 4z + 1 = 0$ và $\left( \beta \right):x + 2y + 2z + 2 = 0$ là:

$\frac{5}{2}$
1
$\frac{3}{2}$
$\frac{1}{2}$

Đáp án:

$\frac{1}{2}$

Phương pháp giải:

Chọn một điểm M thuộc một trong 2 mặt phẳng.

Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng bằng khoảng cách từ M đến mặt phẳng còn lại.

Lời giải chi tiết:

Lấy điểm $M\left( {0;0; - 1} \right) \in \left( \beta \right)$ .

Ta có

$\begin{array}{l}d\left( {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)} \right) = d\left( {M,\left( \beta \right)} \right)\\ = \frac{{\left| {4.\left( { - 1} \right) + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {4^2}} }} = \frac{1}{2}\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20:

Thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f\left( x \right)$ , trục Ox và các đường thẳng $x = a,b = b\left( {a < b} \right)$ quay quanh trục Ox được tính theo công thức:

$V = \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx}$
$V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx}$
$V = \pi \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$
$V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$

Đáp án:

$V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx}$

Phương pháp giải:

Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay.

Lời giải chi tiết:

$V = \pi \int_a^b {{f^2}\left( x \right)dx}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm $A\left( {1;0;1} \right),B\left( { - 2;1;3} \right)$ và $C\left( {1;4;0} \right)$ . Tọa độ trực tâm H của tam giác ABC là

$\left( {\frac{8}{{13}};\frac{{ - 7}}{{13}};\frac{{15}}{{13}}} \right)$
$\left( {\frac{8}{{13}};\frac{7}{{13}};\frac{{15}}{{13}}} \right)$
$\left( {\frac{{ - 8}}{{13}};\frac{{ - 7}}{{13}};\frac{{15}}{{13}}} \right)$
$\left( {\frac{8}{{13}};\frac{{ - 7}}{{13}};\frac{{ - 15}}{{13}}} \right)$

Đáp án:

$\left( {\frac{8}{{13}};\frac{7}{{13}};\frac{{15}}{{13}}} \right)$

Phương pháp giải:

Điểm H là trực tâm của tam giác ABC

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {AH} \bot \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết:

Gọi điểm H (a, b, c).

$\begin{array}{l}AH = \left( {a - 1;b;c - 1} \right)\\BH = \left( {a + 2;b - 1;c - 3} \right)\end{array}$

$\overrightarrow {BC} = \left( {3;3; - 3} \right)$

$\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 9; - 3; - 12} \right)$

Điểm H là trực tâm của tam giác ABC

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {AH} \bot \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 1} \right).1 + b.1 + \left( {c - 1} \right).\left( { - 1} \right) = 0\\\left( {a + 2} \right).0 + \left( {b - 1} \right).4 + \left( {c - 3} \right).\left( { - 1} \right) = 0\\3.\left( {a - 1} \right) + b + 4.\left( {c - 1} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{8}{{13}}\\b = \frac{7}{{13}}\\c = \frac{{15}}{{13}}\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $H\left( {\frac{8}{{13}};\frac{7}{{13}};\frac{{15}}{{13}}} \right)$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22:

Phương trình mặt phẳng (P) qua ddieemer $M\left( {1;3; - 2} \right)$ song song với mặt phẳng $\left( Q \right):2x + 5y + z + 1 = 0$ là:

$2x + 5y + z + 19 = 0$
$x + 3y - 2z + 15 = 0$
$2x + 5y + z - 15 = 0$
$x + 3y - 2z - 19 = 0$

Đáp án:

$2x + 5y + z - 15 = 0$

Phương pháp giải:

Hai mặt phẳng song song có cùng vecto pháp tuyến:

${n_{\left( P \right)}} = {n_{\left( Q \right)}}$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}2\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y - 3} \right) + x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2x + 5y + z - 15 = 0\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức $1 + i;4 + i;1 + 5i$ . Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

$\frac{5}{2}$
$\frac{7}{2}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{3}{2}$

Đáp án:

$\frac{5}{2}$

Phương pháp giải:

Tìm $\overrightarrow {AB} ,\overleftarrow {AC}$ .

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC}$ .

Lời giải chi tiết:

$A\left( {1;1} \right),B\left( {4;1} \right),C\left( {1;5} \right)$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức: $1 + i;4 + i;1 + 5i$ .

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {3;0} \right),\overleftarrow {AC} = \left( {0; - 4} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \end{array}$

Vậy $\Delta ABC$ vuông tại A.

Vậy $R = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}{2} = \frac{5}{2}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 + t\\z = 4 + t\end{array} \right.$ . Phương trình hình chiếu của đường thẳng d trên mặt phẳng (Oxy) là

$\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = 4 - t\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 + t\\z = 0\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 0\\z = 4 - t\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 2 + t\\z = 4 - t\end{array} \right.$

Đáp án:

$\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = 4 - t\end{array} \right.$

Phương pháp giải:

Lấy 2 điểm M và N thuộc d.

Lấy điểm M’ và N’ đối xứng của M và N qua (Oxy).

Đường thẳng đối xứng d qua (Oxy) nhận $\overrightarrow {M'N'}$ làm vecto chỉ phương.

Lời giải chi tiết:

$M\left( {1; - 2;4} \right) \in d \Rightarrow M'\left( {1; - 2;0} \right)$ đối xứng M qua (Oxy).

$N\left( {3; - 1;3} \right) \in d \Rightarrow N'\left( {3; - 1;0} \right)$ đối xứng N qua (Oxy).

$\overrightarrow {MN} = \left( {2;1;0} \right)$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25:

Cho tích phân $I = \int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {x + 1} }}dx}$ nếu đặt $t = \sqrt {x + 1}$ thì $I = \int\limits_1^2 {f\left( t \right)dt}$ trong đó:

$f\left( t \right) = 2{t^2} + 2t$
$f\left( t \right) = {t^2} - t$
$f\left( t \right) = 2{t^2} - 2t$
$f\left( t \right) = {t^2} + t$

Đáp án:

$f\left( t \right) = {t^2} - t$

Phương pháp giải:

Đặt $t = \sqrt {x + 1}$ .

Đưa tích phân về biến t.

Tìm $f\left( t \right)$

Lời giải chi tiết:

Đặt $t = \sqrt {x + 1} \Rightarrow {t^2} = x + 1$ $\Rightarrow dx = 2tdt$ .

Đổi cận:

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_1^2 {\frac{{{t^2} - 1}}{{1 + t}}tdt} = \int\limits_1^2 {\left( {{t^2} - t} \right)dt} \\ \Rightarrow f\left( t \right) = {t^2} - t\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc tọa độ O, các đỉnh $B\left( {m;0;0} \right),D\left( {0;m;0} \right),A'\left( {0;0;n} \right)$ với m,n>0 và m+n=5. Gọi M là trung điểm của cạnh CC’. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện BDA’M.

$\frac{{125}}{{27}}$
$\frac{{64}}{{27}}$
$\frac{{245}}{{108}}$
$\frac{4}{9}$

Đáp án:

$\frac{{125}}{{27}}$

Phương pháp giải:

Tham số hóa điểmC, C’.

Lập thể tích cần tìm theo m.

Tìm giá trị lớn nhất của thể tích.

Lời giải chi tiết:

ABCD là hình chữ nhật nên $C\left( {m;m;0} \right)$ .

$CC'//AA' \Rightarrow C'\left( {m;m;\frac{n}{2}} \right)$

$\begin{array}{l}\overrightarrow {A'B} = \left( {m;0; - n} \right),\overrightarrow {A'D} = \left( {0;m; - n} \right)\\\overrightarrow {A'M} = \left( {m;m; - \frac{n}{2}} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {A'B} ,\overrightarrow {A'D} } \right] = \left( {mn;mn;{m^2}} \right)\\ = > V = \frac{1}{4}{m^2}n = \frac{1}{4}{m^2}\left( {5 - m} \right)\\ = - \frac{1}{4}{m^3} + \frac{5}{4}{m^2} = f\left( m \right)\end{array}$

$\begin{array}{l}f'\left( m \right) = - \frac{3}{4}{m^2} + \frac{5}{2}m = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\left( L \right)\\m = \frac{{10}}{3}\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Bảng biến thiên:

$\Rightarrow V = f{\left( m \right)_{\max }} = f\left( {\frac{{10}}{3}} \right) = \frac{{125}}{{27}}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27:

Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện $\left( {i - 3} \right)z - 5 + 3i = 0$ .

$z = - \frac{9}{5} + \frac{2}{5}i$
$z = \frac{9}{5} - \frac{2}{5}i$
$z = - \frac{9}{5} - \frac{2}{5}i$
$z = - \frac{6}{5} - \frac{7}{5}i$

Đáp án:

$z = - \frac{9}{5} + \frac{2}{5}i$

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của phép cộng, trừ, nhân và chia số phức.

Lời giải chi tiết:

Ta có

$\begin{array}{l}\left( {i - 3} \right)z - 5 + 3i = 0\\ \Leftrightarrow \left( {i - 3} \right).z = 5 - 3i\\ \Leftrightarrow z = \frac{{5 - 3i}}{{i - 3}}\\ \Leftrightarrow z = \frac{{\left( {5 - 3i} \right)\left( { - 3 - i} \right)}}{{1 + 9}}\\ \Leftrightarrow z = \frac{2}{5}i - \frac{9}{5}\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28:

Biết $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = \frac{5}{3}$ và $\int\limits_0^4 {f\left( t \right)dt} = \frac{3}{5}$ . Tính $\int\limits_3^4 {f\left( u \right)du}$ .

$- \frac{{17}}{{15}}$
$- \frac{{16}}{{15}}$
$\frac{8}{{15}}$
$\frac{{14}}{{15}}$

Đáp án:

$- \frac{{16}}{{15}}$

Phương pháp giải:

$\int\limits_a^b {f\left( u \right)du} = \int\limits_a^b {f\left( t \right)dt} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$ .

$\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^b {f\left( x \right)dx} - \int\limits_0^a {f\left( x \right)dx}$ .

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\int\limits_0^3 {f\left( u \right)du} = \frac{5}{3};\int\limits_0^4 {f\left( u \right)du} = \frac{3}{5}\\ \Rightarrow \int\limits_3^4 {f\left( u \right)du} = \int\limits_0^4 {f\left( u \right)du} - \int\limits_0^3 {f\left( u \right)du} \\ = \frac{3}{5} - \frac{5}{3} = - \frac{{16}}{{15}}\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29:

Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right):2x - 2y - z + 1 = 0$ và mặt phẳng $\left( Q \right):x + 2y - 2z - 4 = 0$ . Mặt cầu (S) có phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 6y + m = 0$ . Tìm m để đường thẳng (d) cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB=8.

2
-9
5
-12

Đáp án:

-12

Phương pháp giải:

Tìm đường thẳng d.

Tìm $d\left( {O,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}$

Với O là tâm mặt cầu (S).

Tìm bán kính của mặt cầu.

Lời giải chi tiết:

$d = \left( P \right) \cap \left( Q \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} //\left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right]$

$\begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {2; - 2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {1;2; - 2} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right] = \left( {6;3;6} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1;2} \right)\end{array}$

Chọn $M\left( {0;1; - 1} \right) \in \left( P \right) \cap \left( Q \right) = d$

$\Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 + t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow O\left( { - 2;3;0} \right)\\ \Rightarrow OM = \left( {2; - 2; - 1} \right)\\ \Rightarrow d\left( {O,d} \right) = 3\end{array}$

Với O là tâm mặt cầu (S).

Mà $AB \equiv d \Rightarrow d\left( {O,AB} \right) = 3$ .

$\begin{array}{l}{R^2} = \frac{{A{B^2}}}{4} + {\left( {d\left( {O,AB} \right)} \right)^2} = {4^2} + {3^2} = 25\\ \Rightarrow m = - 12\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30:

Trong không gian Oxyz, cho điểm $H\left( {1;2; - 2} \right)$ . Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua H và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho H là trực tâm ABC. Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ .

${x^2} + {y^2} + {z^2} = 81$
${x^2} + {y^2} + {z^2} = 1$
${x^2} + {y^2} + {z^2} = 9$
${x^2} + {y^2} + {z^2} = 25$

Đáp án:

${x^2} + {y^2} + {z^2} = 9$

Phương pháp giải:

Bán kính mặt cầu là $R = d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right)$ .

Tứ diện có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau thì hình chiếu của O là trực tâm H của đáy ABC.

Lời giải chi tiết:

Tứ diện O.ABC là tứ diện vuông tại O nên $OH \bot \left( {ABC} \right)$ với H là trực tâm tam giác ABC.

$\begin{array}{l} \Rightarrow R = d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = OH = 3\\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31:

Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( {1;2; - 1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):6x - 3y - 2z + m = 0$ (m là tham số). Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 1.

$m = - 1$
$m = 1$
$m = 3$
$m = 5$

Đáp án:

$m = 5$

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ điểm $M\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $ax + by + cz + d = 0$ là:

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$ .

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}d\left( {A,\left( P \right)} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {6.1 - 3.2 - 2.\left( { - 1} \right) + m} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 1\\ \Leftrightarrow \left| {m + 2} \right| = 7\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 5\\m = - 9\end{array} \right.\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32:

Mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm không thẳng hàng $A\left( {1;1;3} \right)$ , $B\left( { - 1;2;3} \right),C\left( { - 1;1;2} \right)$ có phương trình là:

$x + 2y - 2z - 3 = 0$
$x + y + 3z - 3 = 0$
$x + 2y - 2z + 3 = 0$
$x + y + z + 3 = 0$

Đáp án:

$x + 2y - 2z + 3 = 0$

Phương pháp giải:

Tìm vecto pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$

Thay vào các đáp án để loại trừ.

Lời giải chi tiết:

$\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;1;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;0; - 1} \right)$

$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1; - 2;2} \right)$ .

Thay tọa độ A vào đáp án A và C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33:

Trong không gian Oxy cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - 2t\\z = t\end{array} \right.$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x = - 2t'\\y = - 5 + 3t'\\z = 4 + t'\end{array} \right.$ .

Mệnh đề nào sau đây đúng?

$d \bot d'$
$d//d'$
d và d’ chéo nhau
$d \equiv d'$ .

Đáp án:

d và d’ chéo nhau

Phương pháp giải:

Tìm vecto chỉ phương của 2 đường thẳng.

Nếu $\overrightarrow {{u_d}}$ không song song với $\overrightarrow {{u_{d'}}}$ thì d và d’ không song song cũng không trùng nhau.

$\overrightarrow {{u_d}} \bot \overrightarrow {{u_{d'}}} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 0$

Lời giải chi tiết:

$\overrightarrow {{n_d}} = \left( {2; - 2;1} \right),\overrightarrow {{n_{d'}}} = \left( { - 2;3;1} \right)$ =>Loại B, D.

$\overrightarrow {{n_d}} .\overrightarrow {{n_{d'}}} = - 4 - 6 + 2 \ne 0 \Rightarrow$ Loại A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34:

Cho $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = 5$ . Tính $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) + 2\sin x} \right]dx}$

I=7
$I = 5 + \frac{\pi }{2}$
I=3
$I = 5 + \pi$

Đáp án:

I=7

Phương pháp giải:

$\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx}$ $= \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) + 2\sin x} \right]dx} \\ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} - 2\left. {\left( {\cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\\ = 5 + 2 = 7\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35:

Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng $(d)$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}$ và $\left( {{d_2}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 3}\\{z = - 2 + t}\end{array}(t \in \mathbb{R})} \right.$ .

$(1;2;0)$ .
$(1;0; - 1)$ .
$(1;2; - 2)$ .
$(1;2; - 1)$ .

Đáp án:

$(1;2; - 1)$ .

Phương pháp giải:

$\overrightarrow {{u_d}} //\left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right]$

Lời giải chi tiết:

Vecto chỉ phương của d là:

$\overrightarrow {{u_d}} //\left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = \left( { - 1; - 2;1} \right)$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36:

Xét số phức z thỏa mãn $\left| {z + 1} \right| = \sqrt 5$ . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức ${\rm{w}} = \left( {1 - 2i} \right)z - 2 + 3i$ là một đường tròn có bán kinh bằng

1.
$\sqrt 5$ .
25 .
5

Đáp án:

Phương pháp giải:

+ Biểu diễn z theo w.

+ Thay vào $\left| {z + 1} \right| = \sqrt 5$ đưa về dạng $\left| {{\rm{w}} - {{\rm{w}}_0}} \right| = R$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có

$\begin{array}{l}{\rm{w}} = \left( {1 - 2i} \right)z - 2 + 3i\\ \Leftrightarrow z = \frac{{{\rm{w}} + 2 - 3i}}{{1 - 2i}}\end{array}$

Thay z vào $\left| {z + 1} \right| = \sqrt 5$ ta được:

$\begin{array}{l}\left| {\frac{{{\rm{w}} + 2 - 3i}}{{1 - 2i}} + 1} \right| = \sqrt 5 \\ \Leftrightarrow \left| {\frac{{{\rm{w}} + 2 - 3i + 1 - 2i}}{{1 - 2i}}} \right| = \sqrt 5 \\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {{\rm{w}} - \left( {5i - 3} \right)} \right|}}{{\left| {1 - 2i} \right|}} = \sqrt 5 \\ \Leftrightarrow \left| {{\rm{w}} - \left( {5i - 3} \right)} \right| = 5\end{array}$

Vậy điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm $M\left( { - 3;5} \right)$ bán kính 5.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37:

Cho số phửe $z = 3 + 2i$ . Tinh $\left| z \right|$

$\left| z \right| = 5$
$\left| z \right| = 13$
$\left| z \right| = \sqrt 5$
$|z| = \sqrt {13}$

Đáp án:

$|z| = \sqrt {13}$

Phương pháp giải:

Mô đun của số phức $z = a + bi$ là $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}z = 3 + 2i\\ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{3^2} + {2^2}} = \sqrt {13} \end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38:

: Cho hai số phức ${z_1},{z_1}$ thỏa mãn $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {17}$ . Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của ${z_1},{z_2}$ trền mặt phẳng tọa độ. Biết $MN = 3\sqrt 2$ , gọi $H$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành MONH và $K$ là trung điểm của ON. Tính $d = KH$ .

$d = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}$
$d = \frac{{\sqrt {17} }}{2}$ .
$d = 5\sqrt 2$ .
$d = \frac{{3\sqrt {13} }}{2}$ .

Đáp án:

$d = \frac{{3\sqrt {13} }}{2}$ .

Phương pháp giải:

+ Tìm góc $\widehat {KNH}$ .

+ Sử dụng định lý cosin cho tam giác KNH.

Lời giải chi tiết:

Do OM=ON nên MONH là hình thoi. Gọi I là trung điểm của MN. Ta có:

$\begin{array}{l}IN = \frac{{MN}}{2} = \frac{3}{{\sqrt 2 }},ON = \sqrt {17} \\ \Rightarrow \cos \widehat {ONM} = \frac{{NI}}{{ON}} = \frac{3}{{\sqrt {34} }}\\ \Rightarrow {\cos ^2}\widehat {ONM} = \frac{9}{{34}}\\ \Rightarrow \cos \widehat {KNH} = \cos \widehat {ONH}\\ = 2{\cos ^2}\widehat {ONM} - 1 = - \frac{8}{{17}}\end{array}$

Theo định lý cosin ta có:

$\begin{array}{l}K{H^2} = N{K^2} + N{H^2} - 2NK.NH.\cos \widehat {KNH}\\ = \frac{{117}}{4} \Rightarrow KH = \frac{{3\sqrt {13} }}{2}\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39:

: Hàm số $F(x) = \sin 2021x$ là nguyên hàm của hàm sổ

$f(x) = \cos 2021x$ .
$f(x) = - \frac{1}{{2021}}\cos 2021x$ .
$f(x) = 2021\cos 2021x$ .
$f(x) = - 20217\cos 2021x$ .

Đáp án:

$f(x) = 2021\cos 2021x$ .

Phương pháp giải:

$F\left( x \right)$ là nguyên hàm của $F'\left( x \right)$ .

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}F'\left( x \right) = 2021.\cos 2021x\\ \Rightarrow f\left( x \right) = 2021.\cos 2021x\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M\left( {1;2; - 3} \right)$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {3; - 2;7} \right)$ .

$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 + 2t\\z = 3 + 7t\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = - 2 + 2t\\z = 7 - 3t\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 - 2t\\z = - 3 + 7t\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 7t\\y = 2 - 2t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.$

Đáp án:

$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 - 2t\\z = - 3 + 7t\end{array} \right.$

Phương pháp giải:

Đường thẳng qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và nhận $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$ làm vecto chỉ phương có phương trình là:

$\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng đi qua M(1;2;-3) và có vecto chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {3; - 2;7} \right)$ là:

$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 - 2t\\z = 3 + 7t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 41:

Giả sử $\int_1^5 {\frac{{dx}}{{2x - 1}}} = \ln c$ . Giả trị của $c$ là

Đáp án:

Phương pháp giải:

$\int\limits_a^b {\frac{{dx}}{{mx + n}}} = \frac{1}{m}\ln \left| {\frac{{mb + n}}{{ma + n}}} \right|$

Lời giải chi tiết:

$\int\limits_1^5 {\frac{{dx}}{{2x - 1}}} = \frac{1}{2}\left. {\left( {\ln \left| {2x - 1} \right|} \right)} \right|_1^5$ $= \frac{1}{2}\ln {3^2} = \ln 3$ .

$\Rightarrow C = \ln 3$ .

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 42:

Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên [a ; b] và $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng.

$\int_a^b f (x)dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F(b) - F(a)$
$\int_a^b f (x)dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F(a) + F(b)$ .
$\int_a^b f (x)dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = - F(a) - F(b)$ .
$\int_a^b f (x)dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F(a) - F(b)$ .

Đáp án:

$\int_a^b f (x)dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F(b) - F(a)$

Phương pháp giải:

Định nghĩa tích phân.

Lời giải chi tiết:

$\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 43:

Cho hàm số $f(x)$ liên tục và nhận giá trị dương trên [0 ; 1]. Biết $f(x) \cdot f(1 - x) = 1$ với $\forall x \in [0;1]$ . Tính giá trị $I = \int_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + f(x)}}}$ .

$\frac{3}{2}$
$\frac{1}{2}$ .
1
2

Đáp án:

Phương pháp giải:

Đặt x=1-t

Sử dụng phương pháp đổi biến.

Biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân tìm $f\left( x \right)$

Lời giải chi tiết:

$I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + f\left( x \right)}}}$

Đặt x=1-t

$\Rightarrow dx = - dt$

Đổi cận

$\begin{array}{l} = > I = \int\limits_1^0 {\frac{{ - dt}}{{1 + f\left( {1 - t} \right)}}} = \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{1 + \frac{1}{{f\left( t \right)}}}}} \\ = \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{1 + f\left( x \right)}}dx} \end{array}$

Mà $I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + f\left( x \right)}}}$

Vậy $\frac{{f\left( x \right)}}{{1 + f\left( x \right)}} = \frac{1}{{1 + f\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = 1$

$\Rightarrow I = 1$ .

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 44:

Trong không gian với hệ trục tọa Oxyz, cho điểm $M(1;5;2)$ và đường thẳng $\Delta :\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 5}}{1} = \frac{{z + 3}}{1}$ . Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng đi qua $M$ và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho $\frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Côsin góc giữa đường thẳng $\Delta$ và đường thẳng BC bằng

$\frac{{\sqrt {147} }}{{58}}$ .
$\frac{{\sqrt {174} }}{{85}}$ .
$\frac{{\sqrt {417} }}{{58}}$ .
$\frac{{\sqrt {174} }}{{58}}$ .

Đáp án:

$\frac{{\sqrt {174} }}{{58}}$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả:

O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau thì hình chiếu của O lên (ABC) là trực tâm của tam giác ABC và $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$ .

Tìm điểm H.

Tìm $\overrightarrow {BC}$ .

Góc giữa 2 đường thẳng $\Delta ,BC$ là: $\cos \left( {\Delta ,BC} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {BC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}$

Lời giải chi tiết:

Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau nên OH là đường cao kẻ từ đỉnh O tới mặt phẳng (ABC).

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = {\left( {\frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}} \right)_{\min }}\\ \Leftrightarrow O{H_{\max }}\end{array}$

Mà $OH \le OM$ cố định nên $O{H_{\max }} \Leftrightarrow OH = OM \Leftrightarrow M \equiv H$

$\Rightarrow AM \bot BC$

=> Đường thửng BC nằm trong mặt phẳng (Oyz) và vuông góc với OM.

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BC} \bot {\overrightarrow n _{\left( {Oyz} \right)}} = \left( {1;0;0} \right)\\\overrightarrow {BC} \bot \overrightarrow {OM} = \left( {1;5;2} \right)\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} = > \overrightarrow {BC} = \left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( {Oyz} \right)}},\overrightarrow {OM} } \right] = \left( {0; - 2;5} \right)\\ = > \cos \left( {\Delta ,BC} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {BC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{\sqrt {174} }}{{58}}\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 45:

Cho số phức $z$ thỏa mãn $(2 + 3i)z + 4 - 3i = 13 + 4i$ . Môdun của $z$ bằng

$2\sqrt 2$ .
$\sqrt {10}$ .
2
4

Đáp án:

$\sqrt {10}$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: ${z_1}.{z_2} = {z_3} = > \left| {{z_1}} \right|.\left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right|$

Lời giải chi tiết:

Ta có

$\begin{array}{l}\left( {2 + 3i} \right)z + 4 - 3i = 13 + 4i\\ \Leftrightarrow \left( {2 + 3i} \right)z = 9 + 7i\\ \Leftrightarrow \left| {2 + 3i} \right|.\left| z \right| = \left| {9 + 7i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| z \right| = \sqrt {10} \end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 46:

Phần ảo của số phức $\frac{1}{{1 + i}}$ là:

$\frac{1}{2}$
$- \frac{1}{2}$
$- \frac{1}{2}i$
-1

Đáp án:

$- \frac{1}{2}$

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất $\frac{1}{{{z_0}}} = \frac{{\overline {{z_0}} }}{{{{\left| {{z_0}} \right|}^2}}}$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$z = \frac{1}{{1 + i}} = \frac{{1 - i}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$

Phần ảo là $- \frac{1}{2}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 47:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $M(1;2;3)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua điểm $M$ và cách gốc tọa độ $O$ một khoảng lớn nhất, mặt phẳng $(P)$ cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C. Tính thể tích khối chóp $O \cdot ABC$ .

$\frac{{524}}{3}$ .
$\frac{{686}}{9}$ .
$\frac{{343}}{9}$ .
$\frac{{1372}}{9}$ .

Đáp án:

$\frac{{686}}{9}$ .

Phương pháp giải:

+ O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau thì hình chiếu của O lên (ABC) là trực tâm của tam giác ABC và có thể tích ${V_{O.ABC}} = \frac{1}{6}.OA.OB.OC$ .

+ Tìm (P).

+ Tìm OA, OB, OC.

+ thể tích ${V_{O.ABC}} = \frac{1}{6}.OA.OB.OC$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có $d{\left( {O,\left( P \right)} \right)_{\max }} \Leftrightarrow d\left( {O,\left( P \right)} \right) = OM$ . Hay $OM \bot \left( P \right) \equiv \left( {ABC} \right)$

Mà OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau.

Suy ra M là trực tâm tam giác ABC.

$\begin{array}{l} = > \left( P \right):1\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 14 = 0\end{array}$

Giả sử $A \in Ox = > A\left( {a;0;0} \right) = > a = 14 = OA$

Tương tự ta có $OB = 7;OC = \frac{{14}}{3}$ .

=> ${V_{O.ABC}} = \frac{1}{6}.OA.OB.OC = \frac{{686}}{9}$ .

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 48:

Tính thể tích vật thể tròn xoay ( phần tô đậm) quay quanh trục hoành giới hạn bởi các đường $y = {x^2}$ , $y = - \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$ và trục hoành như hình vẽ.

1
$\frac{6}{5}$
$\pi$
$\frac{{6\pi }}{5}$

Đáp án:

$\frac{{6\pi }}{5}$

Phương pháp giải:

Tính riêng thể tích ${V_1}$ phần tô đậm từ x=0 đến x=1 và phần thể tích ${V_2}$ từ x=1 đến x=4.

Thể tích cần tìm: $V = {V_1} + {V_2}$

Lời giải chi tiết:

Gọi ${V_1}$ là thể tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2},y = 0,x = 0,x = 1$ .

${V_2}$ là thể tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = - \frac{1}{3}x + \frac{4}{3},y = 0,x = 1,x = 4$ .

Thể tích cần tìm: $V = {V_1} + {V_2}$

Ta có ${V_1} = \pi \int\limits_0^1 {{x^4}dx} = \frac{\pi }{5}$

$\begin{array}{l}{V_2} = \pi \int\limits_1^4 {{{\left( { - \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}} \right)}^2}dx} = \pi \\ \Rightarrow V = {V_1} + {V_2} = \frac{{6\pi }}{5}\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 49:

Trong mặt phẳng phức, gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức $z = a + bi(a,b \in \mathbb{R}),M'$ là điểm biểu diễn số phức liên hợp của $z$ . Mệnh đề nào sau đây đúng ?

$M'$ đối xứng với $M$ qua Oy
$M'$ đối xứng với $M$ qua Ox.
$M'$ đối xứng với $M$ qua đường thẳng $y = x$ .
$M'$ đối xứng với $M$ qua O.

Đáp án:

$M'$ đối xứng với $M$ qua Oy

Phương pháp giải:

+ Tìm điểm biểu diễn của M và M’.

+ Nhận xét M và M’.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\overline z = a - bi\\ \Rightarrow M'\left( {a; - b} \right),M\left( {a;b} \right)\end{array}$

=> M’ đối xứng M qua Oy.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 50:

Cho số phức $z$ thỏa mãn $(z + 3 - i)(\bar y + 1 + 3i)$ là một số thực. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của z là một đường thẳng. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó bằng

$4\sqrt 2$
0
$2\sqrt 2$ .
$3\sqrt 2$ .

Đáp án:

$2\sqrt 2$ .

Phương pháp giải:

+ Tìm phần thực và phần ảo của $\left( {z + 3 - i} \right)\left( {\overline z + 1 + 3i} \right)$ .

+ Một số phức trở thành một số thực khi và chỉ khi phần ảo của số phức đó bằng 0.

+ Phần thực và phần ảo của z luôn thỏa mãn một phương trình đường thẳng nào đó thì đường thẳng đó là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z.

Lời giải chi tiết:

Đặt $z = x + yi = > \overline z = x - yi$

$\begin{array}{l}\left( {z + 3 - i} \right)\left( {\overline z + 1 + 3i} \right)\\ = \left[ {x + 3 + \left( {y - 1} \right)i} \right]\left[ {x + 1 + \left( {3 - y} \right)i} \right]\\ = \left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {y - 1} \right)\left( { - y + 3} \right)\\ + \left[ {\left( {x + 3} \right)\left( {3 - y} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {y - 1} \right)} \right]i\end{array}$

Vì đây là một số thực nên phần ảo của nó bằng 0.

Hay $\left( {x + 3} \right)\left( {3 - y} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {y - 1} \right) = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow - xy - 3y + 3x + 9 + xy + y - x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow - 2y + 2x + 8 = 0\\ \Leftrightarrow x - y + 4 = 0\end{array}$

Phần thực x và phần ảo y luôn thỏa mãn phương trình đường thẳng trên nên đây là đường thẳng biểu diễn z.

$= > d\left( {O,d} \right) = \frac{{\left| 4 \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 2\sqrt 2$

Đáp án - Lời giải

Xem thêm các chương trình khác:

Bài trước

Bài sau

SGK Toán lớp 12