Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc ba có điểm cực trị
Phương pháp:
- Bước 1: Tính y′.
- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số bậc ba có điểm cực trị:
+ Hàm số có điểm cực trị ⇔y′=0 có hai nghiệm phân biệt ⇔Δ>0.
+ Hàm số không có điểm cực trị ⇔y′=0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ⇔Δ≤0.
- Bước 3: Kết luận.
Hàm số bậc ba chỉ có thể có hai cực trị hoặc không có cực trị nào.
Phương pháp:
- Bước 1: Tính y′.
- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số có điểm cực trị:
+ Hàm số có 1 điểm cực trị nếu phương trình y′=0 có nghiệm duy nhất.
+ Hàm số có 3 điểm cực trị nếu phương trình y′=0 có ba nghiệm phân biệt.
- Bước 3: Kết luận.
Hàm số bậc bốn trùng phương chỉ có thể có 1 điểm cực trị hoặc có 3 điểm cực trị.
+ Trường hợp có 1 điểm cực trị thì đó là x=0.
+ Trường hợp có 3 điểm cực trị thì đó là x=0;x=−√−b2a;x=√−b2a
Phương pháp:
- Bước 1: Tính y′,y″.
- Bước 2: Nêu điều kiện để x = {x_0} là điểm cực trị của hàm số:
+ x = {x_0} là điểm cực đại nếu \left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right.
+ x = {x_0} là điểm cực tiểu nếu \left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right.
- Bước 3: Kết luận.
Phương pháp:
- Bước 1: Tính y'.
- Bước 2: Nêu điều kiện để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thỏa mãn điều kiện:
+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về hai phía trục tung
\Leftrightarrow y' = 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu \Leftrightarrow ac < 0
+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục tung
\Leftrightarrow y' = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\end{array} \right.
+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về bên phải trục tung
\Leftrightarrow y' = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dương \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.
+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về bên trái trục tung
\Leftrightarrow y' = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng âm \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.
+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right) thỏa mãn đẳng thức liên hệ giữa {x_1},{x_2} thì ta biến đổi đẳng thức đã cho làm xuất hiện {x_1} + {x_2},{x_1}.{x_2} rồi sử dụng hệ thức Vi-et để thay \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = S\\{x_1}{x_2} = P\end{array} \right. và tìm m.
Phương pháp:
- Bước 1: Tính y'.
- Bước 2: Nêu điều kiện để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thỏa mãn điều kiện:
+ Ba điểm cực trị A,B,C trong đó A\left( {0;c} \right) lập thành một tam giác vuông (vuông cân)
\Leftrightarrow \Delta ABC vuông tại A \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0 .
Khi đó:
y' = 4a{x^3} + 2bx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} \end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;c} \right),B\left( { - \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ;c - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} \right),C\left( {\sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ;c - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} \right)
\Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ; - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {\sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ; - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} \right)
\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{b}{{2a}} + \dfrac{{{b^4}}}{{16{a^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 8ab + {b^4} = 0\\ \Leftrightarrow 8a + b^3 = 0\\ \Leftrightarrow b = -2\sqrt[3]{a}\end{array}
Đây là công thức tính nhanh trong bài toán trắc nghiệm.
+ Ba điểm cực trị A,B,C trong đó A\left( {0;c} \right) tạo thành tam giác đều \Leftrightarrow AB = BC = CA.
+ Ba điểm cực trị A,B,C trong đó A\left( {0;c} \right) tạo thành tam giác có diện tích {S_0} cho trước
\Leftrightarrow {S_0} = \dfrac{1}{2}AH.BC với H là trung điểm của BC.
+ Ba điểm cực trị A,B,C trong đó A\left( {0;c} \right) tạo thành tam giác có diện tích {S_0} lớn nhất
\Leftrightarrow Tìm \max {S_0} với {S_0} = \dfrac{1}{2}AH.BC,H là trung điểm của BC.
+ Ba điểm cực trị A,B,C trong đó A\left( {0;c} \right) tạo thành tam giác cân có góc ở đỉnh bằng \alpha cho trước
\Leftrightarrow \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \cos \alpha
+ Ba điểm cực trị A,B,C trong đó A\left( {0;c} \right) tạo thành tam giác có ba góc nhọn
\Leftrightarrow \alpha là góc ở đỉnh phải nhọn \Leftrightarrow \cos \alpha = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} > 0
- Bước 3: Kết luận.
Phương pháp:
- Bước 1: Tính y'.
- Bước 2: Lấy y chia y' ta được đa thức dư g\left( x \right) = mx + n.
- Bước 3: Kết luận: y = mx + n là đường thẳng cần tìm.
