Đề bài
Trong không gian \(Oxyz\) cho ba điểm \(A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3)\). Hãy tìm tọa độ một vecto pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng vuông góc với cả hai véc tơ \(\overrightarrow {AB}\) và \(\overrightarrow {AC}\)
- Tính tích có hướng của hai véc tơ và chọn ra một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (2,1, - 2);\;\;\overrightarrow {AC} = ( - 12,6,0)\)
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{l}}
{1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \; - 2}\\
{6{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} 0}
\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{l}}
{ - 2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \;\;\;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2}\\
{0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \;\;{\mkern 1mu} - 12}
\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{l}}
{2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \;\;{\mkern 1mu} \;\;1}\\
{ - 12\;\;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 6}
\end{array}} \right|} \right) = (12,24,24) = 12(1,2,2){\rm{ }}\)
Chọn \(\overrightarrow n (1,2,2)\) là pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\).
Lưu ý: Các em thể chọn véc tơ pháp tuyến khác , chẳng hạn như \(\overrightarrow n (-1,-2,-2)\) hay \(\overrightarrow n (12,24,24)\) nhưng để tiện cho tính toán ta thường chọn tọa độ đơn giản nhất \(\overrightarrow n (1,2,2)\)
