Đề bài
Câu 1. Tìm \(I = \int {{x^2}\cos x\,dx} \).
A. \({x^2}.\sin x + x.\cos x - 2\sin x + C\).
B. \({x^2}.\sin x + 2x.\cos x - 2\sin x + C\).
C. \(x.\sin x + 2x.\cos x + C\).
D. \(2x.\cos x + \sin + C\).
Câu 2. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và \(y = \sqrt {x\sin x} \,\,(0 \le x \le \pi )\) là:
A. \( - \dfrac{{{\pi ^2}}}{4}\) B. \(\pi^2\)
C. \(\dfrac{{{\pi ^2}}}{2}\) D. \( - \dfrac{{{\pi ^2}}}{2}\).
Câu 3. Trong các hàm số sau hàm số nào không phải là một nguyên hàm của \(f(x) = \cos x.\sin x\) ?
A. \( - \dfrac{1}{4}\cos 2x + C\)
B. \(\dfrac{1}{2}{\sin ^2}x + C\).
C. \( - \dfrac{1}{2}{\cos ^2}x + C\).
D. \(\dfrac{1}{2}\cos 2x + C\).
Câu 4. Cho \(\int\limits_2^5 {f(x)\,dx = 10} \). Khi đó, \(\int\limits_5^2 {[2 - 4f(x)]\,dx} \) có giá trị là:
A. 32 B. 34
C. 46 D. 40.
Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^4}}}\) là:
A. \( - \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{{{x^2}}} - \dfrac{4}{{3{x^2}}} + C\).
B. \(\dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{{{x^2}}} - \dfrac{4}{{3{x^2}}} + C\).
C. \( - \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{1}{{{x^3}}} + C\).
D. \( - \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}} - \dfrac{4}{{3{x^2}}} + C\).
Câu 6. Hình phẳng S giới hạn bởi các đường y = x, y = 0, y= 4 – x . Hình này quay quanh trục Oy tạo nên vật thể có thể tích là Vy. Lựa chọc phương án đúng.
A. \({V_y} = 12\pi \). B. \({V_y} = 8\pi \)
C. \({V_y} = 18\pi \). D. \({V_y} = 16\pi \).
Câu 7. Tính nguyên hàm \(\int {x\sqrt {a - x} \,dx} \) ta được :
A. \({\left( {a - x} \right)^{\dfrac{5}{2}}} + ax + C\).
B. \( - \dfrac{2}{5}{\left( {a - x} \right)^{\dfrac{5}{2}}} + ax + C\).
C.\({\left( {a - x} \right)^{\dfrac{5}{2}}} - a + C\).
D. \(\dfrac{2}{5}{\left( {a - x} \right)^{\dfrac{5}{2}}} - \dfrac{2}{3}a{\left( {a - x} \right)^{\dfrac{3}{2}}} + C\).
Câu 8. Cho miền (D) giới hạn bởi các đường sau: \(y = \sqrt x ,\,\,y = 2 - x,\,\,y = 0\). Diện tích của miền (D) có giá tri là:
A. \(\dfrac{6}{7}\) B. \(\dfrac{7}{6}\)
C. 1 D. 2.
Câu 9. Hàm số \(F(x) = \dfrac{1}{4}{\ln ^4}x + C\) là nguyên hàm của hàm số nào :
A. \(\dfrac{1}{{x{{\ln }^3}x}}\). B. \(x{\ln ^3}x\).
C. \(\dfrac{{{x^2}}}{{{{\ln }^3}x}}\). D. \(\dfrac{{{{\ln }^3}x}}{x}\).
Câu 10. Tích phân \(\int\limits_0^e {\left( {3{x^2} - 7x + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)} \,dx\) có giá trị bằng :
A. \({e^3} - \dfrac{7}{2}{e^2} + \ln \left( {1 + e} \right)\).
B. \({e^2} - 7e + \dfrac{1}{{e + 1}}\).
C. \({e^3} - \dfrac{7}{2}{e^2} - \dfrac{1}{{{{\left( {e + 1} \right)}^2}}}\).
D. \({e^3} - 7{e^2} - \ln \left( {1 + e} \right)\).
Câu 11. Tích phân \(\int\limits_0^4 {\left( {3x - {e^{\dfrac{x}{2}}}} \right)dx = a + b{e^2}} \) khi đó a – 10b bằng:
A. 6 B 46
C. 26 D. 12.
Câu 12. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ;b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục hoành, các đường thẳng x = a, x = b là :
A. \(\int\limits_a^b {\left| {f(a)} \right|\,dx} \).
B. \( - \int\limits_a^b {f(x)\,dx} \).
C. \(\int\limits_b^a {f(x)\,dx} \).
D. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx} \).
Câu 13. Cho \(\int\limits_{ - 2}^1 {f(x)\,dx = 1,\,\,\int\limits_{ - 2}^1 {g(x)\,dx = - 2} } \). Tính \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left( {1 - f(x) + 3g(x)} \right)} \,dx\).
A. 24 B. – 7
C. – 4 D. 8.
Câu 14. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b]. Hãy chọn mệnh đề sai.
A. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = \int\limits_b^a {f(x)\,dx} } \).
B. \(\int\limits_a^b {k.dx = k\left( {b - a} \right),\,\forall k \in R} \).
C. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = - \int\limits_b^a {f(x)\,dx} } \)
D. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = \int\limits_a^c {f(x)\,dx + \int\limits_c^b {f(x)\,dx\,,\,\,\,c \in [a;b]} } } \)
Câu 15. Xét tích phân \(\int\limits_0^{\dfrac{x}{3}} {\dfrac{{\sin 2x}}{{1 + \cos x}}\,dx} \). Thực hiện phép đổi biến t = cosx, ta có thể đưa I về dạng nào sau đây ?
A. \(I = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {\dfrac{{2t}}{{1 + 1}}\,dt} \).
B. \(I = \int\limits_{\dfrac{0}{2}}^{\dfrac{x}{4}} {\dfrac{{2t}}{{1 + 1}}\,dt} \).
C. \(I = - \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {\dfrac{{2t}}{{1 + 1}}\,dt} \).
D. \(I = - \int\limits_{\dfrac{0}{2}}^{\dfrac{x}{4}} {\dfrac{{2t}}{{1 + 1}}\,dt} \).
Câu 16. Tìm hai số thực A, B sao cho \(f(x) = A\sin \pi x + B\), biết rằng f’(1) = 2 và \(\int\limits_0^2 {f(x)\,dx = 4} \).
A. \(\left\{ \begin{array}{l}A = - 2\\B = - \dfrac{2}{\pi }\end{array} \right.\).
B. \(\left\{ \begin{array}{l}A = 2\\B = - \dfrac{2}{\pi }\end{array} \right.\).
C. \(\left\{ \begin{array}{l}A = - 2\\B = \dfrac{2}{\pi }\end{array} \right.\).
D. \(\left\{ \begin{array}{l}B = 2\\A = - \dfrac{2}{\pi }\end{array} \right.\)
Câu 17. Tính tích phân \(I = \int\limits_1^e {x\ln x\,dx} \).
A. \(I = \dfrac{1}{2}\)
B. \(I = \dfrac{{3{e^2} + 1}}{4}\).
C. \(I = \dfrac{{{e^2} + 1}}{4}\).
D. \(I = \dfrac{{{e^2} - 1}}{4}\).
Câu 18. Tìm nguyên hàm của \(f(x) = 4\cos x + \dfrac{1}{{{x^2}}}\)trên \((0; + \infty )\).
A. \(4\cos x + \ln x + C\).
B. \(4\cos x + \dfrac{1}{x} + C\).
C. \(4\sin x - \dfrac{1}{x} + C\).
D. \(4\sin x + \dfrac{1}{x} + C\).
Câu 19. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x + \dfrac{1}{x}\), trục hoành, đường thẳng x= - 1 và đường thẳng x = - 2 là:
A. \(2\ln 2 + 3\).
B. \(\dfrac{{\ln 2}}{2} + \dfrac{3}{4}\).
C. \(\ln 2 + \dfrac{3}{2}\).
D. \(\ln 2 + 1\).
Câu 20. Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin x\sqrt {8 + \cos x} } \,dx\). Đặt u = 8 + cosx thì kết quả nào sau đây đúng ?
A. \(I = 2\int\limits_8^9 {\sqrt u du} \).
B. \(I = \dfrac{1}{2}\int\limits_8^9 {\sqrt u \,du} \).
C. \(I = \int\limits_8^9 {\sqrt u \,du} \).
D. \(I = \int\limits_9^8 {\sqrt u \,du} \)
Câu 21. Biết F(x) là nguyên hàm của \(f(x) = \dfrac{1}{{x - 1}}\,,\,\,F(2) = 1\). Khi đó F(3) bằng :
A. \(\ln \dfrac{3}{2}\) B. \(\dfrac{1}{2}\)
C. ln 2 D. ln2 + 1.
Câu 22. Cho hình (H) giới hạn bởi các đường \(y = \sin x,y = 0,\,x = 0,\,x = \pi \). Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi (H) quay quanh trục Ox bằng :
A. \(\pi \int\limits_0^\pi {{{\sin }^2}x} \,dx\).
B. \(\dfrac{\pi }{2}\int\limits_0^\pi {{{\sin }^2}x} \,dx\).
C. \(\dfrac{\pi }{2}\int\limits_0^\pi {{{\sin }^4}x} \,dx\).
D. \(\pi \int\limits_0^\pi {\sin x} \,dx\).
Câu 23. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{2}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\,dx} \) bằng cách đặt x = 2sint. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. \(I = 2\int\limits_0^1 {dt} \).
B. \(I = 2\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {dt} \).
C. \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {dt} \).
D. \(I = 2\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {dt} \).
Câu 24. Tích phân \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{\sqrt {8\ln x + 1} }}{x}\,dx} \) bằng:
A. – 2
B. \(\dfrac{{13}}{6}\)
C. \(\ln 2 - \dfrac{3}{4}\)
D. \(\ln 3 - \dfrac{3}{5}\).
Câu 25. Tìm họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{1}{{6x - 2}}\).
A. \(\int {\dfrac{{dx}}{{6x - 2}} = 6\ln |6x - 2| + C} \).
B. \(\int {\dfrac{{dx}}{{6x - 2}} = \dfrac{1}{6}\ln |6x - 2| + C} \).
C. \(\int {\dfrac{{dx}}{{6x - 2}} = \dfrac{1}{2}\ln |6x - 2| + C} \).
D. \(\int {\dfrac{{dx}}{{6x - 2}} = \ln |6x - 2| + C} \).
Lời giải chi tiết
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| B | B | D | B | A |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| D | D | B | D | A |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| B | A | C | A | A |
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| D | C | C | C | A |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| D | A | D | B | B |
Lời giải chi tiết
Câu 1.
Ta có: \(I = \int {{x^2}\cos x\,dx} = \int {{x^2}\,d\left( {\sin x} \right)} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = d\left( {\sin x} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2x\,dx\\v = \sin x\end{array} \right.\)
Khi đó ta có \(I = \int {{x^2}d\left( {\sin x} \right)} = \left( {{x^2}\sin x} \right) - 2\int {x\sin xdx} \)
\( = \left( {{x^2}\sin x} \right) + 2\left( {x\cos x} \right) - 2\int {\cos xdx} \)
\(= \left( {{x^2}\sin x} \right) + 2\left( {x\cos x} \right) - {\mathop{\rm s}\nolimits} inx + C\).
Chọn đáp án B.
Câu 2.
Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra được xác định bằng công thức sau:
\(V = \pi \int\limits_0^\pi {\left( {x\sin x} \right)dx} = - \pi \int\limits_0^\pi {xd\left( {\cos x} \right)} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = d\left( {\cos x} \right)\end{array} \right. \)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \cos x\end{array} \right.\)
Khi đó
\(V = - \pi \left( {x\cos x} \right)\left| {_0^\pi } \right. + \pi \int\limits_0^\pi {\cos xdx} \)\(\,= - \pi \left( {x\cos x} \right)\left| {_0^\pi } \right. + \pi .\left( {\sin x} \right)\left| {_0^\pi } \right.\)\( = - \pi \left( { - \pi } \right) + 0 = {\pi ^2}\)
Chọn đáp án B.
Câu 3.
Ta có: \(\int {\cos x.\sin x} \,dx = \int {\sin x\,d\left( {\sin x} \right)} \)\(\,= \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{2} + C = \dfrac{{1 - \cos 2x}}{4} + C\)
Chọn đáp án D.
Câu 4.
Ta có: \(\int\limits_5^2 {\left[ {2 - 4f(x)} \right]dx} \)
\(= - \int\limits_2^5 {2\,dx} + 4\int\limits_2^5 {f\left( x \right)} \,dx\)
\(= - \left( {2x} \right)\left| \begin{array}{l}_{}^5\\_2^{}\end{array} \right. + 4.10 \)
\(= - \left( {10 - 4} \right) + 40 = 34\)
Chọn đáp án B.
Câu 5.
Ta có: \(\int {\dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^4}}}} \,dx = \int {\dfrac{{{x^2} + 4x + 4}}{{{x^4}}}} \,dx\)
\(= \int {\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{4}{{{x^3}}} + \dfrac{4}{{{x^4}}}} \right)} \,dx\)
\(= - \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{{{x^2}}} - \dfrac{4}{{3{x^2}}} + C\)
Chọn đáp án A.
Câu 6.
Phương trình hoành độ giao điểm \(x = 4 - x \Leftrightarrow 2x = 4 \Leftrightarrow x = 2.\)
Khi đó, thể tích hình phẳng được xác định là:\({V_y} = \pi \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - {{\left( {2 - x} \right)}^2}} \right|} \,dx = 16\pi .\)
Chọn đáp án D.
Câu 7.
Đặt \(t = \sqrt {a - x} \Rightarrow {t^2} = a - x \)
\(\Leftrightarrow x = a - {t^2} \Rightarrow dx = - 2t\,dt\)
Khi đó ta có: \(\int {x\sqrt {a - x} \,dx} = - 2\int {\left( {a - {t^2}} \right){t^2}dt\,} \)
\(= - 2\int {\left( {a{t^2} - {t^4}} \right)} \,dt\)\(\, = - 2\left( {\dfrac{{a{t^3}}}{3} - \dfrac{{{t^5}}}{5}} \right) + C \)
\(= \dfrac{2}{5}{t^5} - \dfrac{2}{3}a{t^3} + C \)
\(= \dfrac{2}{5}{\left( {a - x} \right)^{\dfrac{5}{2}}} - \dfrac{2}{3}a{\left( {a - x} \right)^{\dfrac{3}{2}}} + C\)
Chọn đáp án D.
Câu 8.
Phương trình hoành độ giao điểm giữa các đường thẳng là\(\left\{ \begin{array}{l}2 - x = 0\\\sqrt x = 0\\\sqrt x = 2 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = 1\end{array} \right.\)
Khi đó diện tích của miền \(\left( D \right)\) được xác định bởi:
\(S = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x } \right)\,dx} + \int\limits_1^2 {\left( {2 - x} \right)\,dx} \)
\(\;\;\;= \left( {\dfrac{2}{3}{x^{\dfrac{3}{2}}}} \right)\left| \begin{array}{l}_{}^1\\_0^{}\end{array} \right. + \left( {2x - \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}^2\\_1\end{array} \right.\)
\(\;\;\;= \dfrac{2}{3} + 2 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{7}{6}\)
Chọn đáp án B.
Câu 9.
Ta có: \(\int {\dfrac{{{{\ln }^3}x}}{x}\,dx} = \int {{{\ln }^3}x\,d\left( {\ln x} \right)} \)\(\,= \dfrac{1}{4}{\ln ^4}x + C\)
Chọn đáp án D.
Câu 10.
Ta có: \(\int\limits_0^e {\left( {3{x^2} - 7x + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)} \,dx\)
\(= \left( {{x^3} - \dfrac{7}{2}{x^2} + \ln \left| {x + 1} \right|} \right)\left| \begin{array}{l}^e\\_0\end{array} \right. \)
\(= \left( {{e^3} - \dfrac{7}{2}{e^2} + \ln \left( {e + 1} \right)} \right)\)
Chọn dáp án A.
Câu 11.
Ta có: \(\int\limits_0^4 \left( {3x - {e^{\dfrac{x}{2}}}} \right)dx \)
\(= \left( {\dfrac{3}{2}{x^2}} \right) \left| \begin{array}{l}^4\\_0\end{array} \right. - 2\int\limits_0^4 {{e^{\dfrac{x}{2}}}\,d\left( {\dfrac{x}{2}} \right)} \)
\(= 24 - 2\left( {{e^{\dfrac{x}{2}}}} \right)\left| \begin{array}{l}^4\\_0^{}\end{array} \right. \)
\(= 24 - 2\left( {{e^2} - 1} \right) = 26 - 2{e^2}\)
Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 26\\b = - 2\end{array} \right. \Rightarrow a - 10b = 26 + 20 = 46.\)
Chọn đáp án B.
Câu 12.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = f\left( x \right)\), trục hoành, các đường thẳng \(x = a,x = b\) là: \(\int\limits_a^b {\left| {f(a)} \right|\,dx} \)
Chọn đáp án A.
Câu 13.
Ta có: \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left( {1 - f(x) + 3g(x)} \right)} \,dx \)
\(= \left( x \right)\left| {_{ - 2}^1} \right. - \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)} \,dx + 3\int\limits_{ - 2}^1 {g\left( x \right)} \,dx \)
\(= 3 - 1 + 3.\left( { - 2} \right) = - 4\)
Chọn đáp án C.
Câu 14.
Áp dụng định nghĩa và tính chất của tích phân ta có:
+ \(\int\limits_a^b {k.dx = k\int\limits_a^b {dx} = k.\left( x \right)\left| {_a^b} \right. = k\left( {b - a} \right),\,\forall k \in R} \)
+ \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = - \int\limits_b^a {f(x)\,dx} } \)
+\(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = \int\limits_a^c {f(x)\,dx + \int\limits_c^b {f(x)\,dx\,,\,\,\,c \in [a;b]} } } \)
Chọn đáp án A.
Câu 15.
Đặt \(t = \cos x\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \to t = 1\\x = \dfrac{\pi }{3} \to t = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
Khi đó ta có: \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{\sin 2x}}{{1 + \cos x}}\,dx} \)
\(= \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{2\sin x.\cos x}}{{1 + \cos x}}\,dx} \)
\(= - 2\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{\cos x}}{{1 + \cos x}}} \,d\left( {\cos x} \right)\)
\( = - 2\int\limits_1^{\dfrac{1}{2}} {\dfrac{t}{{1 + t}}\,dt} \)
\(= \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {\dfrac{{2t}}{{t + 1}}\,dt} \)
Chọn đáp án A.
Câu 16
Ta có \(\int\limits_0^2 {\left( {A\sin \pi x + B} \right)\,dx = 4} \)
\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{\pi }\int\limits_0^2 {A\sin \pi x\,d\left( {\pi x} \right)} + B\int\limits_0^2 {dx} = 4\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{A}{\pi }\left( { - \cos \pi x} \right)\left| {_0^2} \right. + B\left( x \right)\left| {_0^2} \right. = 4 \)
\( \Leftrightarrow \dfrac{A}{\pi }\left( { - 1 - \left( { - 1} \right)} \right) + B\left( {2 - 0} \right) = 4\)
\(\Leftrightarrow B = 2\)
Khi đó \(f(x) = A\sin \pi x + 2\)\(\, \Rightarrow f'\left( x \right) = A\pi \cos \pi x\)
Theo giả thiết ta có: \(f'\left( 1 \right) = 2 \Rightarrow A\pi .\left( { - 1} \right) = 2\)\(\, \Rightarrow A = - \dfrac{2}{\pi }.\)
Chọn đáp án D.
Câu 17.
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\)
Khi đó ta có: \(I = \int\limits_1^e {x\ln x\,dx} \)
\(= \left( {\dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right)\left| \begin{array}{l}^e\\_1\end{array} \right. - \int\limits_1^e {\dfrac{x}{2}} \,dx \)
\(= \dfrac{{{e^2}}}{2} - \left( {\dfrac{{{x^2}}}{4}} \right)\left| \begin{array}{l}^e\\_1\end{array} \right. \)
\(= \dfrac{{{e^2}}}{2} - \left( {\dfrac{{{e^2}}}{4} - \dfrac{1}{4}} \right) = I = \dfrac{{{e^2} + 1}}{4}\)
Chọn đáp án C.
Câu 18.
Ta có: \(\int {\left( {4\cos x + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} \,dx \)\(\,= 4\sin x - \dfrac{1}{x} + C\)
Chọn đáp án C.
Câu 19.
Diện tích hình phằng giới hạn trên được xác định bằng công thức
\(S = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left| {x + \dfrac{1}{x}} \right|} \,dx = \left| {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| x \right|} \right|\left| \begin{array}{l}^{ - 1}\\_{ - 2}\end{array} \right. \)
\(\;\;\;= \left| {\left| {\dfrac{1}{2} + \ln 1} \right| - \left| {2 + \ln 2} \right|} \right| \)
\(\,\,\,\,= \left| {\dfrac{1}{2} - 2 - \ln 2} \right| = \dfrac{3}{2} + \ln 2\)
Chọn đáp án C.
Câu 20.
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \to u = 9\\x = \dfrac{\pi }{2} \to u = 8\end{array} \right.\)
Khi đó ta có: \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin x\sqrt {8 + \cos x} } \,dx \)
\(= - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {8 + \cos x} } \,d\left( {\cos x + 8} \right)\)
\(= - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt u } \,d\left( u \right)\)
\( = - \int\limits_9^8 {\sqrt u } du = \int\limits_8^9 {\sqrt u } \,du\)
Chọn đáp án C.
Câu 21.
Ta có: \(\int {\dfrac{1}{{x - 1}}\,dx} = \int {\dfrac{1}{{x - 1}}\,d\left( {x - 1} \right)}\)\(\, = \ln \left| {x - 1} \right| + C\)
Theo giả thiết: \(F\left( 2 \right) = 1 \Rightarrow \ln 1 + C = 1 \Leftrightarrow C = 1\)
Khi đó \(F\left( 3 \right) = \ln 2 + 1.\)
Chọn đáp án D.
Câu 22.
Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi \(\left( H \right)\)quay quanh trục Ox được xác định bằng công thức
\(V = \pi \int\limits_0^\pi {{{\sin }^2}x} \,dx\)
Chọn đáp án A.
Câu 23.
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \to t = 0\\x = 1 \to t = \dfrac{\pi }{6}\end{array} \right.\)
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^1 {\dfrac{2}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\,dx} \\= \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {\dfrac{4}{{\sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} }}\,d\left( {\sin t} \right) }\\= \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {\dfrac{2}{{\cos t}}} .\cos t\,dt = I = 2\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {dt} \\\end{array}\)
Chọn đáp án D.
Câu 24.
Ta có:
\(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{\sqrt {8\ln x + 1} }}{x}\,dx} \)
\(= \dfrac{1}{8}\int\limits_1^e {\sqrt {8\ln x + 1} \,d\left( {8\ln x + 1} \right)}\)
\( = \dfrac{1}{8}.\dfrac{2}{3}{\left( {8\ln x + 1} \right)^{\dfrac{3}{2}}}\left| \begin{array}{l}^e\\_1\end{array} \right.\)
\( = \dfrac{1}{{12}}\left( {{9^{\dfrac{3}{2}}} - 1} \right) = \dfrac{{13}}{6}\)
Chọn đáp án B.
Câu 25.
Ta có: \(\int {\dfrac{1}{{6x - 2}}\,dx} = \dfrac{1}{6}\int \dfrac{1}{{6x - 2}}\,d\left( {6x - 2} \right) \)\(\,= \dfrac{1}{6}\ln \left| {6x - 2} \right| + C \)
Chọn đáp án B.
