Đề số 9 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 12

Đề bài

Câu 1: Cho hai số phức $z = \left( {2x + 1} \right) + \left( {3y - 2} \right)i$, $z' = \left( {x + 2} \right) + \left( {y + 4} \right)i$. Tìm các số thực $x,\,\,y$ để $z = z'.$

A. $x = 3,y = 1.$

B. $x = 1,y = 3.$

C. $x = - 1,y = 3.$

D. $x = 3,y = - 1.$

Câu 2: Nguyên hàm của hàm số $y = x{e^x}$ là:

A. $x{e^x} + C.$

B. $\left( {x + 1} \right){e^x} + C.$

C. $\left( {x - 1} \right){e^x} + C.$

D. ${x^2}{e^x} + C.$

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ biết $A\left( {2;1;4} \right);$ $B\left( { - 1; - 3; - 5} \right)$ là:

A. $3x + 4y + 9z + 7 = 0.$

B. $- 3x - 4y - 9z + 7 = 0.$

C. $3x + 4y + 9z = 0.$

D. $- 3x - 4y - 9z + 5 = 0.$

Câu 4: Số phức liên hợp của số phức $z = {\left( {\sqrt 3 - 2i} \right)^2}$là:

A. $\overline z = - 1 + 4\sqrt 3 i$.

B. $\overline z = - 1 - 4\sqrt 3 i$

C. $\overline z = 1 - 4\sqrt 3 i.$

D. $\overline z = 1 + 4\sqrt 3 i.$

Câu 5: Giá trị của $\int\limits_0^\pi {\left( {2\cos x - \sin 2x} \right)dx}$ là:

A. $1$. B. $0$

C. $- 1.$ D. $- 2.$.

Câu 6: Hai điểm biểu diễn số phức $z = 1 + i$ và $z' = - 1 + i$ đối xứng nhau qua:

A. Gốc $O$ B. Điểm$E\left( {1;1} \right)$.

C. Trục hoành. D. Trục tung.

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các vecto $\overrightarrow a = \left( {3; - 1; - 2} \right);$ $\overrightarrow b = \left( {1;2;m} \right);$ $\overrightarrow c = \left( {5;1;7} \right)$. Để $\overrightarrow c = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right]$ khi giá trị của $m$ là:

A. $m = 0.$ B. $m = 1.$

C. $m = - 1.$ D. $m = 2.$

Câu 8: Cho $\int\limits_0^3 {\left( {x - 3} \right)f'\left( x \right)dx} = 12$ và $f\left( 0 \right) = 3$. Khi đó giá trị $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}$ là:

A. $- 21.$ B. $- 3.$

C.12. D. 9.

Câu 9: Cho số phức ${z_1} = 2 + 6i$ và ${z_2} = 5 - 8i$. Modun của số phức ${\rm{w}} = {z_1}.{z_2}$ là:

A. $\left| {\rm{w}} \right| = 2\sqrt {601} .$

B. $\left| {\rm{w}} \right| = 2\sqrt {610} .$

C. $\left| {\rm{w}} \right| = 2\sqrt {980} .$

D. $\left| {\rm{w}} \right| = 2\sqrt {890} .$

Câu 10: Cho $\int\limits_0^3 {f\left( {{x^2}} \right)xdx = 3}$.Khi đó giá trị của $\int\limits_0^9 {f\left( x \right)dx}$ là:

A. 6. B. 9.

C. 12. D. 3.

Câu 11: Trong không gian với hê tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt cầu có đường kính $AB$ với $A\left( {4; - 3;7} \right);$ $B\left( {2;1;3} \right)$ là:

A. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 36.$

B. ${\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 9.$

C. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 36.$

D. ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 9.$

Câu 12: Rút gọn biểu thức $M = {i^{2018}} + {i^{2019}}$ ta được:

A. $M = 1 + i.$

B. $M = - 1 + i.$

C. $M = 1 - i.$

D. $M = - 1 - i.$

Câu 13: Nguyên hàm của hàm số $y = x\cos x$ là:

A. $x\cos x - \sin x + C.$

B. $x\cos x + \sin x + C.$

C. $x\sin x + c{\rm{os}}x + C.$

D. $x\sin x - c{\rm{os}}x + C.$

Câu 14: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số : $y = x\sqrt[3]{{1 - x}};$ $y = 0;$ $x = 1;$ $x = 9$ là

A. $S = \frac{{468}}{7}.$

B. $S = \frac{{568}}{{11}}.$

C. $S = \frac{{468}}{{11}}.$

D. $S = \frac{{467}}{9}.$

Câu 15: Biết $\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}dx = a + \ln b}$. Khi đó $a + b$ bằng.

A. 3. B. 4.

C. 0. D. 2

Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, bán kính của mặt cầu đi qua bốn điểm $O\left( {0;0;0} \right);$

$A\left( {4;0;0} \right);$ $B\left( {0;4;0} \right);$ $C\left( {0;0;4} \right)$ là:

A. $R = 3\sqrt 3$

B. $R = 4\sqrt 3$

C. $R = \sqrt 3$

D. $R = 2\sqrt 3$

Câu 17: Biết $\int {\frac{{4x - 3}}{{2{x^2} - 3x - 2}}dx}$$= \ln \left| {x - a} \right| + b\ln \left| {cx + 1} \right| + C$. Khi đó $a + b - c$ bằng:

A. 5. B. 1.

C. $- 2.$ D. $- 3.$

Câu 18: Giá trị $\int\limits_0^1 {\left( {2x + 2} \right){e^x}dx}$ là:

A. $3e$. B. $4e$.

C. $e$. D. $2e$.

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M\left( {3;6; - 2} \right)$ và mặt cầu

$\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2}$$- 6x - 4y + 2z - 3 = 0$

Phương trình của mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu $\left( S \right)$ tại $M$ là:

A. $4y - z - 26 = 0.$

B. $4x - z - 14 = 0.$

C. $4x - y - 6 = 0.$

D. $y - 4z - 14 = 0.$

Câu 20: Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = {x^2} - 2x$ và $y = x$ là:

A. $S = \frac{9}{4}.$ B. $S = \frac{9}{2}.$

C. $S = \frac{{13}}{2}.$ D. $S = \frac{{13}}{4}.$

Câu 21: Để hàm số $F\left( x \right) = \left( {a\sin x + b\cos x} \right){e^x}$ là một nguyên hàm của hàm số

$f\left( x \right) = \left( {3\sin x - 2\cos x} \right){e^x}$ thì giá trị $a + b$ là:

A. $a + b = - 2.$

B. $a + b = 2.$

C. $a + b = - 3.$

D. $a + b = 3.$

Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình của đường thẳng $d$ đi qua điểm

$A\left( {1; - 2;3} \right);$ $B\left( {3;0;0} \right)$ là:

A. $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 + 2t\\z = 3 + 3t\end{array} \right.$

B. $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = - 2t\\z = 3t\end{array} \right.$

C. $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 + 2t\\z = 3 - 3t\end{array} \right.$

D. $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 2 - 2t\\z = - 3 + 3t\end{array} \right.$

Câu 23: Biết $\int\limits_0^1 {\ln \left( {2x + 1} \right)dx = \frac{a}{b}\ln 3 - c}$ với $a,\,\,b,\,\,c$ là các số nguyên dương. Mệnh đề đúng là:

A. $a + b = c.$

B. $a - b = c.$

C. $a + b = 2c.$

D. $a - b = 2c.$

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, các phương trình dưới đây, phương trình nào là phương trình của một mặt cầu :

A. ${x^2} + {y^2} + {z^2}$$+ 4x - 2xy + 6z + 5 = 0.$

B. $2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2}$$+ 2x + 5y + 6z + 2019 = 0.$

C. ${x^2} + {y^2} + {z^2}$$+ 4x - 2yz - 1 = 0.$

D. $2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2}$$- 2x + 5y + 6z - 2019 = 0.$

Câu 25: Cho số phức $z = 2 - 2\sqrt 3 i$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. $\left| z \right| = 4.$

B. $\overline z = 2 + 2\sqrt 3 i$

C. $z = {\left( {\sqrt 3 - i} \right)^2}$

D. ${z^3} = 64$

Câu 26: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường:

$y = {x^2} - 4x + 4,$ $y = 0,$ $x = 0,$ $x = 3$ xung quanh trục $Ox$ là:

A. $V = \frac{{33\pi }}{5}$ B. $V = \frac{{33}}{5}$

C. $V = \frac{{29\pi }}{4}$ D. $V = \frac{{29}}{4}$

Câu 27: Số phức $z = \left( {7 - 2i} \right){\left( {1 + 5i} \right)^2}$ có phần ảo là

A. 118i. B. 118.

C. $- 148$ D. $- 148i$

Câu 28: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {x^2};$ $x = {y^2}$ xung quanh trục $Ox$ là:

A. $V = \frac{3}{{10}}$ B. $V = \frac{{3\pi }}{{10}}$

C. $V = \frac{{10\pi }}{3}$ D. $V = \frac{{10}}{3}$

Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình của mặt phẳng đi qua 3 điểm

$A\left( {1;1;1} \right);$ $B\left( {2;4;5} \right);$ $C\left( {4;1;2} \right)$ là:

A. $3x - 11y + 9z - 1 = 0.$

B. $3x + 3y - z - 5 = 0$

C. $3x + 11y - 9z - 5 = 0$

D. $9x + y - 10z = 0$

Câu 30: Cho $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = - 3} ,$ $\int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx = 7}$. Khi đó $\int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx}$ bằng:

A. 3. B. 4.

C. 7. D. 10.

Câu 31: Giải phương trình ${z^2} - 2z + 3 = 0$ trên tậ số phức ta được các nghiệm:

A. ${z_1} = 2 + \sqrt 2 i;\,\,{z_2} = 2 - \sqrt 2 i$

B. ${z_1} = - 1 + \sqrt 2 i;\,\,{z_2} = - 1 - \sqrt 2 i$

C. ${z_1} = - 2 + \sqrt 2 i;\,\,{z_2} = - 2 - \sqrt 2 i$

D. ${z_1} = 1 + \sqrt 2 i;\,\,{z_2} = 1 - \sqrt 2 i$

Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt cầu có phương trình :

$\left( {{S_m}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2}$$- 4mx + 4y + 2mz + {m^2} + 4m = 0.$

$\left( {{S_m}} \right)$ là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất khi $m$ là:

A. $m = 0.$ B. $m = \frac{1}{2}.$

C. $m = - 1.$ D. $m = - \frac{3}{2}.$

Câu 33: Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 4 - {x^2}$ và trục hoành là:

A. $S = \frac{{32}}{3}.$ B. $S = \frac{{33}}{2}.$

C. $S = \frac{{23}}{2}.$ D. $S = \frac{{22}}{3}.$

Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M\left( {5;3;2} \right)$ và đường thẳng$\left( d \right):\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z + 2}}{3}$. Tọa độ điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $\left( d \right)$ là:

A. $H\left( {1; - 3; - 2} \right)$

B. $H\left( {3;1;4} \right)$

C. $H\left( {2; - 1;1} \right)$

D. $H\left( {4;3;7} \right)$

Câu 35: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z + i - 1} \right| = \left| {\overline z - 2i} \right|$ là:

A.Một đường thẳng. B.Một đường tròn.

C.Một Parabol. D. Một Elip.

Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( {3; - 3;5} \right)$ và đường thẳng:$\left( d \right):\frac{{x + 2}}{1} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 3}}{4}$. Phương trình của đường thẳng qua $A$ và song song với $\left( d \right)$ là

A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 3 + 3t\\z = 4 - 5t\end{array} \right.$

B. $\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + t\\y = 3 + 3t\\z = - 5 + 4t\end{array} \right.$

C. $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 3 - 3t\\z = 4 + 5t\end{array} \right.$

D. $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = - 3 + 3t\\z = 5 + 4t\end{array} \right.$

Câu 37: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = \sqrt x ;$ $y = x - 2;$ $y = - x$ là

A. $S = \frac{{11}}{2}.$ B. $S = \frac{{11}}{3}.$

C. $S = \frac{{13}}{2}.$ D. $S = \frac{{13}}{3}.$

Câu 38: Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z + i - 1} \right| = \left| {\overline z - 2i} \right|$. Giá trị nhỏ nhất $\left| z \right|$ là:

A. $\sqrt 2$ B. $2\sqrt 2$

C. $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$ D. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$

Câu 39: Cho hình phẳng giới hạn bởi các dường $y = \frac{4}{{x - 4}},$ $y = 0,$ $x = 0$ và $x = 2$ quay quanh trục $Ox$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành là:

A. $V = 4.$ B. $V = 9.$

C. $V = 4\pi .$ D. $V = 9\pi .$

Câu 40: Số phức $z$ thỏa mãn $z + 2\overline z = {\left( {1 + 5i} \right)^2}$ có phần ảo là:

A. $- 8$ B. $- 8i$

C. $- 10$ D. $- 10i$

Câu 41: Giá trị của $\int\limits_0^{16} {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 9} - \sqrt x }}}$ là:

A. 4. B. 9.

C. 12. D. 15.

Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):2x + y - z - 8 = 0$,$\left( Q \right):3x + 4y - z - 11 = 0$. Gọi $\left( d \right)$ là giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$, phương trình của đường thẳng $\left( d \right)$ là:

A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 1 - t\\z = - 5 + 5t\end{array} \right.$

B. $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 3t\\y = t\\z = - 2 - 5t\end{array} \right.$

C. $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = t\\z = - 2 + 5t\end{array} \right.$

D. $\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 1 + t\\z = - 7 + 5t\end{array} \right.$

Câu 43: Nguyên hàm của hàm số $y = \cot x$ là:

A. $\ln \left| {\cos x} \right| + C$

B. $\ln \left| {\sin x} \right| + C$

C. $\sin x + C$

D. $\tan x + C$

Câu 44: Nguyên hàm của hàm số $y = {\tan ^2}x$

A. $\tan x + x + C.$

B. $- \tan x - x + C.$

C. $\tan x - x + C.$

D. $- \tan x + x + C.$

Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tâm và bán kính của mặt cầu $\left( S \right):$${x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 6z + 5 = 0$ là:

A. $I\left( { - 2;1; - 3} \right),R = 3$

B. $I\left( {2; - 1;3} \right),R = 3$

C. $I\left( {4; - 2;6} \right),R = 5$

D. $I\left( { - 4;2; - 6} \right),R = 5$

Câu 46: Giá trị của $\int\limits_0^\pi {\sqrt {1 + \cos 2x} dx}$ là:

A. 0. B. $3\sqrt 2$

C. $2\sqrt 2$ D. 1.

Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho 3 điểm $A\left( {0;0;3} \right),$ $B\left( {1;1;3} \right),$ $C\left( {0;1;1} \right)$. Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng:

A. 1. B. 2.

C. 3. D. 4.

Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( {2; - 1;0} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y + z + 2 = 0$. Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$. Phương trình của mặt cầu tâm $I$ và đi qua $A$ là:

A. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6.$

B. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6.$

C. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6.$

D. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6.$

Câu 49: Với số phức $z$ tùy ý, cho mệnh đề $\left| { - z} \right| = \left| z \right|;$ $\left| {\overline z } \right| = \left| z \right|;$ $\left| {z + \overline z } \right| = 0;$ $\left| z \right| > 0.$ Số mệnh đề đúng là:

A. 2. B. 4.

C. 1. D. 3.

Câu 50: Cho số phức $z = \frac{{m + 3i}}{{1 - i}},\,\,m \in \mathbb{R}$. Số phức ${\rm{w}} = {z^2}$ có $\left| {\rm{w}} \right| = 9$ khi các giá trị của $m$ là:

A. $m = \pm 1.$ B. $m = \pm 2.$

C. $m = \pm 3.$ D. $m = \pm 4.$

Lời giải chi tiết

Câu 1 (TH)

Phương pháp:

Áp dụng tính chất:

${z_1} = {a_1} + {b_1}i;{z_2} = {a_2} + {b_2}i$

${z_1} = {z_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} = {b_2}\end{array} \right.$

Cách giải:

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}z = \left( {2x + 1} \right) + \left( {3y - 2} \right)i\\z' = \left( {x + 2} \right) + \left( {y + 4} \right)i\end{array} \right.$

Để $z = z'$ thì: $\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 = x + 2\\3y - 2 = y + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\end{array} \right..$

Chọn B.

Câu 2 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần $\int {udv} = uv - \int {vdu}$.

Cách giải:

Ta có $\int {ydx} = \int {x{e^x}dx}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int {ydx} = x{e^x} - \int {{e^x}dx} \\ = x{e^x} - {e^x} + C = \left( {x - 1} \right){e^x} + C.\end{array}$

Chọn C.

Câu 3 (TH)

Phương pháp:

- Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ đi qua trung điểm của $AB$ và nhận $\overrightarrow {AB}$ là 1 VTPT.

- Điểm $I$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.$.

- Mặt phẳng đi qua $I\left( {a;b;c} \right)$ có 1 VTPT $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$ có phương trình: $A\left( {x - a} \right) + B\left( {y - b} \right) + C\left( {z - c} \right) = 0$.

Cách giải:

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ ta có $I\left( {\frac{1}{2}; - 1; - \frac{1}{2}} \right).$

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng trung trực của $AB$. Khi đó $\left( P \right)$ đi qua trung điểm $I\left( {\frac{1}{2}; - 1; - \frac{1}{2}} \right)$ của $AB$ và có 1 vecto pháp tuyến $\overrightarrow n = \overrightarrow {BA} = \left( {3;4;9} \right).$

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là:

$3\left( {x - \frac{1}{2}} \right) + 4\left( {y + 1} \right) + 9\left( {z + \frac{1}{2}} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 3x + 4y + 9z + 7 = 0$

Chọn A.

Câu 4 (TH)

Phương pháp:

- Khai triển số phức $z$, đưa số phức $z$ về dạng $z = a + bi$.

- Số phức liên hợp của $z = a + bi$ là $\overline z = a - bi$.

Cách giải:

Ta có $z = {\left( {\sqrt 3 - 2i} \right)^2} = - 1 - 4\sqrt 3 i$.

Vậy số phức liên hợp của số phức $z$ là: $\overline z = - 1 + 4\sqrt 3 i.$

Chọn A.

Câu 5 (NB)

Phương pháp:

Sử dụng các công thức nguyên hàm hàm số lượng giác: $\int {\sin kxdx} = - \frac{1}{k}\cos kx + C$, $\int {\cos kxdx} = \frac{1}{k}\sin kx + C$.

Cách giải:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\int\limits_0^\pi {\left( {2\cos x - \sin 2x} \right)dx} \\ = \left. {\left( {2\sin x + \frac{1}{2}\cos 2x} \right)} \right|_0^\pi \\ = 2\sin \pi + \frac{1}{2}\cos 2\pi - 2\sin 0 - \frac{1}{2}\cos 0\\ = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0\end{array}$

Chọn B.

Câu 6 (TH)

Phương pháp:

- Tìm điểm biểu diễn của hai số phức rồi kết luận.

- Điểm biểu diễn số phức $z = a + bi$ là $M\left( {a;b} \right)$.

Cách giải:

Ta có $z = 1 + i$ có điểm biểu diễn là $M\left( {1;1} \right)$

$z' = - 1 + i$ có điểm biểu diễn là $M'\left( { - 1;1} \right)$

Hai điểm $M$ và $M'$ đối xứng nhau qua trục $Oy$.

Chọn D.

Câu 7 (TH)

Phương pháp:

- Tìm tích có hướng của $\overrightarrow a ;\,\,\overrightarrow b$.

- Tìm điều kiện để hai vectơ bằng nhau.

- Giải hệ phương trình tìm $m$.

Cách giải:

Ta có $\overrightarrow a = \left( {3; - 1; - 2} \right);\overrightarrow b = \left( {1;2;m} \right)$ $\Rightarrow \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right] = \left( { - m + 4; - 2 - 3m;7} \right)$.

$\begin{array}{l}\overrightarrow c = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right]\\ \Rightarrow \left( { - m + 4; - 2 - 3m;7} \right) = \left( {5;1;7} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m + 4 = 5\\ - 2 - 3m = 1\\7 = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 1\end{array}$

Chọn C.

Câu 8 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: $\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu}$.

Cách giải:

Ta có $\int\limits_0^3 {\left( {x - 3} \right)f'\left( x \right)dx = 12}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x - 3\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.$

Khi đó

$\begin{array}{l}12 = \left. {\left( {x - 3} \right)f\left( x \right)} \right|_0^3 - \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \\ \Leftrightarrow 12 = - 3f\left( 0 \right) - \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \\ \Leftrightarrow 12 = - 3.3 - \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \\ \Leftrightarrow \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = - 21.\end{array}$

Chọn A.

Câu 9 (TH)

Phương pháp:

- Áp dụng công thức tính tích hai số phức.

- Số phức $z = a + bi$ thì $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$.

Cách giải:

Ta có ${\rm{w}} = {z_1}.{z_2} = \left( {2 + 6i} \right)\left( {5 - 8i} \right)$

$= 58 + 14i$ (sử dụng MTCT)

$\Rightarrow \left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {{{58}^2} + {{14}^2}} = 2\sqrt {890} .$

Chọn D.

Câu 10:

Phương pháp:

- Sử dụng phương pháp đổi biến số.

- Đặt ẩn phụ $t = {x^2}$, đổi cận.

- Sử dụng tính chất không phụ thuộc vào biến của tích phân: $\int {f\left( x \right)dx} = \int {f\left( u \right)du} = \int {f\left( t \right)dt} ...$

Cách giải:

Ta có $\int\limits_0^3 {f\left( {{x^2}} \right)xdx} = 3$

Đặt ${x^2} = t$$\Rightarrow 2xdx = dt \Leftrightarrow xdx = \frac{1}{2}dt$.

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 3 \Rightarrow y = 9\end{array} \right.$.

Khi đó $3 = \frac{1}{2}\int\limits_0^9 {f\left( t \right).dt}$$\Rightarrow 6 = \int\limits_0^9 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^9 {f\left( x \right)dx}$

Chọn A.

Câu 11 (TH)

Phương pháp:

- Tìm trung điểm I của AB chính là tâm mặt cầu. Điểm $I$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.$.

- Tìm bán kính của mặt cầu:

$R = IA$$= \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_I}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_I}} \right)}^2} + {{\left( {{z_A} - {z_I}} \right)}^2}}$

- Mặt cầu tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ bán kính $R$ có phương trình: ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$.

Cách giải:

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow I\left( {3; - 1;5} \right)$ là tâm mặt cầu đường kính $AB$.

Bán kính mặt cầu đường kính $AB$ là:

$R = IA$$= \sqrt {{{\left( {4 - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 3 + 1} \right)}^2} + {{\left( {7 - 5} \right)}^2}} = 3.$

Vậy phương trình mặt cầu đường kính $AB$ là ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 9.$

Chọn D.

Câu 12 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng ${i^2} = - 1$.

Cách giải:

$M = {i^{2018}} + {i^{2019}} = {i^{2018}}\left( {1 + i} \right)$$= {\left( {{i^2}} \right)^{1006}}\left( {1 + i} \right) = 1 + i$

Chọn A.

Câu 13 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần $\int {udv} = uv - \int {vdu}$.

Cách giải:

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \cos xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \sin x\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int {x\cos xdx} \\ = x\sin x - \int {\sin xdx} \\ = x\sin x + \cos x + C\end{array}$

Chọn C.

Câu 14 (VD)

Phương pháp:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm các nghiệm thuộc $\left[ {1;9} \right]$.

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, $y = g\left( x \right)$, đường thẳng $x = a,\,\,x = b$ là: $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$.

- Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt $t = \sqrt[3]{{1 - x}}.$

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: $x\sqrt[3]{{1 - x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin \left[ {1;9} \right]\\x = 1\end{array} \right.$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = x\sqrt[3]{{1 - x}};$ $y = 0;$ $x = 1;$ $x = 9$ là: $S = \int\limits_1^9 {\left| {x\sqrt[3]{{1 - x}}} \right|dx} = \left| {\int\limits_1^9 {x\sqrt[3]{{1 - x}}dx} } \right|$

Đặt $t = \sqrt[3]{{1 - x}} \Leftrightarrow {t^3} = 1 - x$$\Leftrightarrow 3{t^2}dt = - dx.$

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\\x = 9 \Rightarrow t = - 2\end{array} \right.$.

Khi đó

$\begin{array}{l}S = \left| { - 3\int\limits_0^{ - 2} {\left( {1 - {t^3}} \right).t.{t^2}dt} } \right|\\ = \left| {3\int\limits_0^{ - 2} {\left( {{t^6} - {t^3}} \right)dt} } \right|\\ = \left| {\left. {3\left( {\frac{{{t^7}}}{7} - \frac{{{t^4}}}{4}} \right)} \right|_0^{ - 2}} \right|\\ = \left| {3\left( { - \frac{{156}}{7}} \right)} \right| = \frac{{468}}{7}\end{array}$

Chọn A.

Câu 15 (TH)

Phương pháp:

- Chia tử cho mẫu.

- Áp dụng các công thức nguyên hàm cơ bản và mở rộng: $\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left( {n \ne - 1} \right)$, $\int {\frac{{dx}}{{ax + b}}} = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C$.

Cách giải:

$\begin{array}{l}\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {x + \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_1^2\\ = 2 + \ln 3 - \frac{1}{2} - \ln 2\\ = \frac{3}{2} + \ln \frac{3}{2}\end{array}$

$\Rightarrow a = b = \frac{3}{2}$$\Rightarrow a + b = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3.$

Chọn A.

Câu 16 (TH)

Phương pháp:

- Gọi $I\left( {a;b;c} \right)$ là tâm mặt cầu $\Rightarrow IO = IA = IB = IC$.

- Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}IO = IA\\IO = IB\\IO = IC\end{array} \right.$ tìm $a,\,\,b,\,\,c$. Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng:

$AB =$$\sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}}$

- Tính bán kính mặt cầu $R = IO$.

Cách giải:

Gọi $I\left( {a;b;c} \right)$ là tâm mặt cầu cân tìm, khi đó ta có $IO = IA = IB = IC$.

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}IO = IA\\IO = IB\\IO = IC\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a - 4} \right)^2} + {b^2} + {c^2}\\{a^2} + {b^2} + {c^2} = {a^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} + {c^2}\\{a^2} + {b^2} + {c^2} = {a^2} + {b^2} + {\left( {c - 4} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = - 8a + 16\\0 = - 8b + 16\\0 = - 8c + 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\\c = 2\end{array} \right.\end{array}$

Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là: $R = IO = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2}}$$= 2\sqrt 3$

Chọn D.

Câu 17 (VD)

Phương pháp:

- Phân tích mẫu thành nhân tử.

- Đưa biểu thức dưới dấu tích phân về dạng $\frac{A}{{x - 2}} + \frac{B}{{2x + 1}}$.

- Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng: $\int {\frac{{dx}}{{ax + b}}} = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C$.

- Đồng nhất hệ số tìm $a,\,\,b,\,\,c$ và tính $a + b - c$.

Cách giải:

Ta có

$\begin{array}{l}I = \int {\frac{{4x - 3}}{{2{x^2} - 3x - 2}}dx} \\ = \int {\frac{{2\left( {x - 2} \right) + 2x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x + 1} \right)}}dx} \\\,\,\, = \int {\left( {\frac{1}{{x - 2}} + \frac{2}{{2x + 1}}} \right)dx} \\ = \ln \left| {x - 2} \right| + \ln \left| {2x + 1} \right| + C\end{array}$

Mà $a = 2;\,\,b = 1;\,\,c = 2.$

Vậy $a + b - c = 2 + 1 - 2 = 1.$

Chọn B.

Câu 18 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: $\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu}$.

Cách giải:

Gọi $I = \int\limits_0^1 {\left( {2x + 2} \right){e^x}dx} .$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = 2x + 2\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2dx\\v = {e^x}\end{array} \right.$

Khi đó

$\begin{array}{l}I = \left. {\left( {2x + 2} \right){e^x}} \right|_0^1 - 2\int\limits_0^1 {{e^x}dx} \\\,\,\,\, = 4e - 2 - \left. {2{e^x}} \right|_0^1\\\,\,\,\, = 4e - 2 - \left( {2e - 2} \right) = 2e.\end{array}$.

Chọn D.

Câu 19 (TH)

Phương pháp:

- Mặt cầu

$\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2}$$- 2ax - 2by -2cz + d = 0$

có tâm $I\left( { a; b; c} \right)$.

- Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ tại $M$ là mặt phẳng có 1 vecto pháp tuyến là $\overrightarrow {IM}$ và đi qua điểm $M$.

- Mặt phẳng đi qua $M\left( {a;b;c} \right)$ có 1 VTPT $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$ có phương trình: $A\left( {x - a} \right) + B\left( {y - b} \right) + C\left( {z - c} \right) = 0$.

Cách giải:

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm là $I\left( {3;2; - 1} \right).$

Mà $M\left( {3;6; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IM} = \left( {0;4; - 1} \right).$

Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ tại $M$ là mặt phẳng có 1 vecto pháp tuyến là $\overrightarrow {IM}$ và đi qua điểm $M$ có phương trình: $4\left( {y - 6} \right) - \left( {z + 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow 4y - z - 26 = 0.$

Chọn A.

Câu 20 (TH)

Phương pháp:

- Tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, $y = g\left( x \right)$, đường thẳng $x = a,\,\,x = b$ là: $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$.

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: ${x^2} - 2x = x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right..$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đã cho là: $S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx}$$= \int\limits_0^3 {\left( {3x - {x^2}} \right)dx} = \frac{9}{2}$

Chọn B.

Câu 21 (TH)

Phương pháp:

- $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ thì $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$.

- Đồng nhất hệ số tìm $a,\,\,b$ và tính tổng $a + b$.

Cách giải:

Vì $F\left( x \right) = \left( {a\sin x + b\cos x} \right){e^x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \left( {3\sin x - 2\cos x} \right){e^x}$ nên ta có:

Vậy $a + b = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} = - 2$.

Chọn A.

Câu 22 (TH)

Phương pháp:

- Đường thẳng đi qua $A,\,\,B$ nhận $\overrightarrow {AB}$ là 1 VTCP.

- Phương trình đường thẳng đi qua $A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.$.

Cách giải:

Ta có $A\left( {1; - 2;3} \right);B\left( {3;0;0} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {2;2; - 3} \right)$

Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A\left( {1; - 2;3} \right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} = \left( {2;2; - 3} \right)$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 + 2t\\z = 3 - 3t\end{array} \right.$

Chọn C.

Câu 23 (TH)

Phương pháp:

- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: $\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu}$.

- Đồng nhất hệ số tìm $a,\,\,b,\,\,c$.

Cách giải:

Gọi $I = \int\limits_0^1 {\ln \left( {2x + 1} \right)dx}$.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {2x + 1} \right)\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{2}{{2x + 1}}dx\\v = x\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \left. {x\ln \left( {2x + 1} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\frac{{2x}}{{2x + 1}}dx} \\ \Rightarrow I = \ln 3 - \int\limits_0^1 {\left( {1 - \frac{1}{{2x + 1}}} \right)dx} \\ \Rightarrow I = \ln 3 - \left. {\left( {x - \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1\\ \Rightarrow I = \ln 3 - \left( {1 - \frac{1}{2}\ln 3} \right)\\ \Rightarrow I = \frac{3}{2}\ln 3 - 1\\ \Rightarrow a = 3,\,\,b = 2,\,\,c = 1\end{array}$

Vậy $a - b = c$.

Chọn B.

Câu 24 (TH)

Phương pháp:

Phương trình mặt cầu có dạng $a{x^2} + a{y^2} + a{z^2} - 2mx - 2ny - 2tz + d = 0$ thỏa mãn ${\left( {\frac{m}{a}} \right)^2} + {\left( {\frac{n}{a}} \right)^2} + {\left( {\frac{t}{a}} \right)^2} - d > 0.$

Cách giải:

Loại A, C vì trong phương trình chứa hạng tử $xy$ và $yz$.

Loại B vì ${\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - 5}}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - 3}}{2}} \right)^2} - 2019 < 0$.

Chọn D.

Câu 25 (TH)

Phương pháp:

- Tính môđun số phức $z = a + bi$ $\Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$.

- Số phức $z = a + bi$ có số phức liên hợp $\overline z = a - bi$.

Cách giải:

Ta có $z = 2 - 2\sqrt 3 i$ $\Rightarrow {z^3} = {\left( {2 - 2\sqrt 3 i} \right)^3} = - 64$ nên D sai.

Chọn D.

Câu 26 (VD)

Phương pháp:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm các nghiệm thuộc $\left[ {0;3} \right]$.

- Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, $y = g\left( x \right)$, đường thẳng $x = a$, $x = b$ khi quanh quay trục hoành là: $V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx}$.

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: ${x^2} - 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$.

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình giới hạn bởi $y = {x^2} - 4x + 4,$ $y = 0,$ $x = 0,$ $x = 3$ xung quanh trục $Ox$ là:

$\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^3 {\left| {{{\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)}^2}} \right|dx} \\ = \pi \left| {\int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)}^2}dx} } \right|\\ + \pi \left| {\int\limits_2^3 {{{\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)}^2}dx} } \right|\\ = \frac{{32}}{5}\pi + \frac{1}{5}\pi = \frac{{33\pi }}{5}\end{array}$

Chọn A.

Câu 27 (TH)

Phương pháp:

- Nhân khai triển số phức, đưa số phức về dạng $z = a + bi$.

- Số phức $z = a + bi$ có phần ảo bằng $b$.

Cách giải:

Ta có $z = \left( {7 - 2i} \right){\left( {1 + 5i} \right)^2}$$= - 148 + 118i$

Vậy số phức đã cho có phần ảo là 118.

Chọn B.

Câu 28 (TH)

Phương pháp:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm.

- Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, $y = g\left( x \right)$, đường thẳng $x = a$, $x = b$ khi quanh quay trục hoành là: $V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx}$.

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: ${x^2} = \pm \sqrt x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right..$

Thể tích khối tròn xoay là $V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} - x} \right|dx} = \frac{{3\pi }}{{10}}.$

Chọn B.

Câu 29 (TH)

Phương pháp:

- Mặt phẳng đi qua 3 điểm $A,\,\,B,\,\,C$ nhận $\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]$ là 1 VTPT.

- Mặt phẳng đi qua $A\left( {a;b;c} \right)$ có 1 VTPT $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$ có phương trình: $A\left( {x - a} \right) + B\left( {y - b} \right) + C\left( {z - c} \right) = 0$.

Cách giải:

Ta có $A\left( {1;1;1} \right);B\left( {2;4;5} \right);C\left( {4;1;2} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {1;3;4} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {3;0;1} \right)$

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3;11; - 9} \right).$

Mặt phẳng đi qua 3 điểm $A,\,\,B,\,\,C$ nhận $\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3;11; - 9} \right)$ là 1 VTPT có phương trình:

$3\left( {x - 1} \right) + 11\left( {y - 1} \right) - 9\left( {z - 1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 3x + 11y - 9z - 5 = 0.$

Chọn C.

Câu 30 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng tính chất tích phân: $\int\limits_a^b {f\left( x \right)d} x + \int\limits_b^c {f\left( x \right)d} x = \int\limits_a^c {f\left( x \right)d} x$.

Cách giải:

Ta có

$\begin{array}{l}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx} \\ \Rightarrow - 3 + \int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx} = 7\\ \Leftrightarrow \int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx} = 7 - \left( { - 3} \right) = 10.\end{array}$

Chọn D.

Câu 31 (NB)

Phương pháp:

Sử dụng máy tính bấm nghiệm của phương trình.

Cách giải:

${z^2} - 2z + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 1 + \sqrt 2 i\\{z_2} = 1 - \sqrt 2 i\end{array} \right..$

Chọn D.

Câu 32 (VD)

Phương pháp:

- Mặt cầu $\left( S \right):$${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ có bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$.

- Tìm GTNN của biểu thức, đưa về hằng đẳng thức hoặc sử dụng phương pháp hàm số.

Cách giải:

Mặt cầu:

$\left( {{S_m}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2}$$- 4mx + 4y + 2mz + {m^2} + 4m = 0$

có bán kính

$\begin{array}{l}R =\\ \sqrt {{{\left( {2m} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - m} \right)}^2} - {m^2} - 4m} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {4{m^2} - 4m + 4} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {2m - 1} \right)}^2} + 3} \ge \sqrt 3 \end{array}$

Vậy mặt cầu $\left( {{S_m}} \right)$ có bán kính nhỏ nhất $R = \sqrt 3 \Leftrightarrow 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$.

Chọn B.

Câu 33 (TH)

Phương pháp:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm.

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, $y = g\left( x \right)$, đường thẳng $x = a,\,\,x = b$ là: $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$.

Cách giải:

Hoành độ giao điểm của hàm số với trục hoành là $4 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2$

Diện tích hình phẳng cần tìm là: $S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {4 - {x^2}} \right|dx}$$= \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {4 - {x^2}} \right)dx} = \frac{{32}}{3}.$

Chọn A.

Câu 34 (VD)

Phương pháp:

- Tham số hóa tọa độ điểm $H \in d$ theo ẩn $t$.

- $MH \bot d \Rightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_d}} = 0$ với $\overrightarrow {{u_d}}$ là 1 VTCP của đường thẳng $d$.

- Đường thẳng $d:\,\,\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}$ có 1 VTCP $\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)$.

- Giải phương trình tìm ẩn $t$, từ đó suy ra tọa độ điểm $H$.

Cách giải:

Gọi $H\left( {1 + t;\,\, - 3 + 2t;\,\, - 2 + 3t} \right) \in d.$

$\Rightarrow \overrightarrow {MH} = \left( {t - 4;\,\,2t - 6;\,\,3t - 4} \right)$.

Đường thẳng $d$ có 1 VTCP là $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;2;3} \right)$.

Vì $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $d$ nên $MH \bot d \Rightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_d}} = 0$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1.\left( {t - 4} \right) + 2.\left( {2t - 6} \right) + 3.\left( {3t - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 14t - 28 = 0 \Leftrightarrow t = 2.\end{array}$

Vậy $H\left( {3;1;4} \right).$

Chọn B.

Câu 35 (VD)

Phương pháp:

- Đặt $z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi$.

- Thay $z,\,\,\overline z$ vào phương trình đề bài cho.

- Sử dụng công thức $\left| {a + bi} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$.

- Bình phương hai vế, tìm mối quan hệ giữa $x,\,\,y$ và kết luận.

Cách giải:

Đặt $z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi$. Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left| {z + i - 1} \right| = \left| {\overline z - 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi + i - 1} \right| = \left| {x - yi - 2z} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x - 1 + \left( {y + 1} \right)i} \right| = \left| {x - \left( {y + 2} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} + 2y + 1\\ = {x^2} + {y^2} + 4y + 4\\ \Leftrightarrow 2x + 2y + 2 = 0\\ \Leftrightarrow x + y + 1 = 0\end{array}$

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường thẳng có phương trình $x + y + 1 = 0$.

Chọn A.

Câu 36 (TH)

Phương pháp:

- Đường thẳng $d'$ song song với đường thẳng $d$ thì $\overrightarrow {{u_{d'}}} = \overrightarrow {{u_d}}$.

- Phương trình đường thẳng đi qua $A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.$.

Cách giải:

Gọi $\left( {d'} \right)$ là đường thẳng chứa A và song song với $\left( d \right)$.

Vì $d'\parallel d \Rightarrow \overrightarrow {{u_{d'}}} = \overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;3;4} \right)$.

Vậy phương trình đường thẳng $d'$ đi qua $A\left( {3; - 3;5} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {1;3;4} \right)$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = - 3 + 3t\\z = 5 + 4t\end{array} \right..$

Chọn D.

Câu 37 (VD)

Phương pháp:

- Vẽ đồ thị hàm số, xác định các giao điểm.

- Chia diện tích cần tính thành các diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, $y = g\left( x \right)$, $x = a,\,\,x = b$.

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, $y = g\left( x \right)$, đường thẳng $x = a,\,\,x = b$ là: $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$.

Cách giải:

Xét các phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{array}{l} - x = x - 2 \Leftrightarrow x = 1\\x - 2 = \sqrt x \Leftrightarrow x = 4\end{array}$

Ta xác định được ${x_A} = 1,\,\,{x_B} = 4$.

Diện tích hình phẳng cần tính bao gồm:

- ${S_1}$: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt x ,\,\,y = - x$, $x = 0,\,\,x = 1$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow {S_1} = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x - \left( { - x} \right)} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1\\ = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 0 = \frac{7}{6}\end{array}$

- ${S_2}$: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt x ,\,\,y = x - 2$, $x = 1,\,\,x = 4$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow {S_1} = \int\limits_1^4 {\left( {\sqrt x - \left( {x - 2} \right)} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} - \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_1^4\\ = \frac{2}{3}.8 - 8 + 8 - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 2\\ = \frac{{19}}{6}\end{array}$

Vậy diện tích cần tính là: $S = {S_1} + {S_2} = \frac{7}{6} + \frac{{19}}{6} = \frac{{13}}{3}$.

Chọn D.

Câu 38 (VD)

Phương pháp:

- Đặt $z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi$.

- Thay vào giả thiết, tìm quỹ tích các điểm biểu diễn số phức $z$ là 1 đường thẳng $d$.

- Khi đó $\left| z \right|$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow \left| z \right| = d\left( {O;d} \right)$.

- Khoảng cách từ $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ đến đường thẳng $d:\,\,ax + by + c = 0$ là $d\left( {M;d} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0}} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$.

Cách giải:

Đặt $z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi$

Khi đó

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left| {z + i - 1} \right| = \left| {\overline z - 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi + i - 1} \right| = \left| {x - yi - 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 1} \right) + \left( {y + 1} \right)i} \right| = \left| {x - \left( {y + 2} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} + 2y + 1\\ = {x^2} + {y^2} + 4y + 4\\ \Leftrightarrow 2x + 2y + 2 = 0\\ \Leftrightarrow x + y + 1 = 0\end{array}$

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường thẳng $\left( d \right):\,\,x + y + 1 = 0$.

Khi đó $\left| z \right| = OM$ đạt giá trị nhỏ nhất $\Leftrightarrow OM = d\left( {O;d} \right)$$= \frac{{\left| {0 + 0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

Chọn C.

Câu 39 (TH)

Phương pháp:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm các nghiệm thuộc $\left[ {0;2} \right]$.

- Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, $y = g\left( x \right)$, đường thẳng $x = a$, $x = b$ khi quanh quay trục hoành là: $V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx}$.

Cách giải:

ĐKXĐ: $x \ne 4$.

Xét phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{4}{{x - 4}} = 0$ (Vô nghiệm).

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là: $V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {\frac{4}{{x - 4}}} \right)}^2}dx} = 4\pi .$

Chọn C.

Câu 40 (VD)

Phương pháp:

- Đặt $z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi$.

- Thay vào giả thiết, đưa phương trình về dạng hai số phức bằng nhau.

- Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi chúng có phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau.

- Giải hệ phương trình tìm $x,\,\,y$.

Cách giải:

Đặt $z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi$. Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,z + 2\overline z = {\left( {1 + 5i} \right)^2}\\ \Leftrightarrow x + yi + 2\left( {x - yi} \right) = - 24 + 10i\\ \Leftrightarrow 3x - yi = - 24 + 10\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = - 24\\ - y = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 8\\y = - 10\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $z = - 8 - 10i$ có phần ảo bằng $- 10$.

Chọn C.

Câu 41 (VD)

Phương pháp:

- Nhân liên hợp.

- Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng: $\int {\sqrt {ax + b} dx} = \frac{1}{a}.\frac{{2\sqrt {{{\left( {ax + b} \right)}^3}} }}{3} + C$.

Cách giải:

$\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{16} {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 9} - \sqrt x }}} \\\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{16} {\frac{{\left( {\sqrt {x + 9} + \sqrt x } \right)dx}}{{x + 9 - x}}} \\\,\,\,\, = \int\limits_0^{16} {\frac{{\left( {\sqrt {x + 9} + \sqrt x } \right)dx}}{9}} \\\,\,\,\, = \left. {\frac{1}{9}.\frac{2}{3}\left[ {\sqrt {{{\left( {x + 9} \right)}^3}} + \sqrt {{x^3}} } \right]} \right|_0^{16}\\\,\,\,\, = \frac{2}{{27}}\left( {125 + 64 - 27 - 0} \right) = 12.\end{array}$

Chọn C.

Câu 42 (VD)

Phương pháp:

- Cho $x = 0$ và $y = 0$, tìm hai điểm $A,\,\,B$ cùng thuộc hai mặt phẳng.

- Viết phương trình đường thẳng giao tuyến là đường thẳng đi qua 2 điểm $A,\,\,B$.

Cách giải:

Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + y - z - 8 = 0\\3x + 4y - z - 11 = 0\end{array} \right.$ là tập hợp các điểm cùng thuộc hai mặt phẳng.

Cho $x = 0$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y - z - 8 = 0\\4y - z - 11 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\z = - 7\end{array} \right.$ $\Rightarrow A\left( {0;1; - 7} \right) \in \left( P \right) \cap \left( Q \right).$

Cho $y = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - z - 8 = 0\\3x - z - 11 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\z = - 2\end{array} \right.$ $\Rightarrow B\left( {3;0; - 2} \right) \in \left( P \right) \cap \left( Q \right).$

Khi đó đường thẳng $d$ là giao tuyến của $\left( P \right);\left( Q \right)$ là đường thẳng đi qua $A,\,\,B$, nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1;5} \right)$ là 1 VTCP. Do đó chỉ có đáp án A thỏa mãn.

Chọn A.

Câu 43 (TH)

Phương pháp:

- Sử dụng công thức $\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}$.

- Đặt $t = \sin x$, sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: $\int {\frac{{dt}}{t}} = \ln \left| t \right| + C$.

Cách giải:

$\int {\cot xdx = \int {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}dx} }$

Đặt $t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx$.

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}\int {\cot xdx = \int {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}dx} } \\ = \int {\frac{{dt}}{t}} = \ln \left| t \right| + C\\ = \ln \left| {\sin x} \right| + C\end{array}$

Chọn B.

Câu 44 (TH)

Phương pháp:

- Áp dụng ${\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1$.

- Áp dụng công thức tính nguyên hàm: $\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}} = \tan x + C$, $\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left( {n \ne - 1} \right)$.

Cách giải:

$\begin{array}{l}\int {{{\tan }^2}x} dx = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} \\ = \tan x - x + C\end{array}$

Chọn C.

Câu 45 (NB)

Phương pháp:

Mặt cầu $\left( S \right):$${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$, bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$ (với ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$).

Cách giải:

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm là $I\left( { - 2;1; - 3} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} - 5} = 3.$

Chọn A.

Câu 46 (VD)

Phương pháp:

- Sử dụng công thức nhân đôi: $\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1.$

- Nhận xét dấu của biểu thức, phá căn.

- Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: $\int {\cos xdx} = \sin x + C$.

Cách giải:

Ta có

$\begin{array}{l}I = \int\limits_0^\pi {\sqrt {1 + \cos 2x} } dx\\ = \int\limits_0^\pi {\sqrt {2{{\cos }^2}x} dx} = \int\limits_0^\pi {\sqrt 2 } \left| {\cos x} \right|dx\end{array}$

Xét trên $\left[ {0;\pi } \right]$ ta có: $\cos x \ge 0 \Leftrightarrow \left| {\cos x} \right| = \cos x$.

Vậy $I = \int\limits_0^\pi {\sqrt 2 } \cos xdx = \sqrt 2 \left. {\sin x} \right|_0^\pi = 0$.

Chọn A.

Câu 47 (VD)

Phương pháp:

- Viết phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ đi qua $A$ và nhận $\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]$ là 1 VTPT.

- Mặt phẳng đi qua $A\left( {a;b;c} \right)$ có 1 VTPT $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$ có phương trình: $A\left( {x - a} \right) + B\left( {y - b} \right) + C\left( {z - c} \right) = 0$.

- Khoảng cách từ $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến $\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0$ là: $d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$ ,

Cách giải:

Ta có

$\begin{array}{l}A\left( {0;0;3} \right);B\left( {1;1;3} \right);C\left( {0;1;1} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;0} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {0;1; - 2} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 2;2;1} \right)\end{array}$

Khi đó phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ đi qua $A$ và nhận $\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 2;2;1} \right)$ là 1 VTPT.$- 2.\left( {x - 0} \right) + 2.\left( {y - 0} \right) + 1.\left( {z - 3} \right) = 0$$\Leftrightarrow - 2x + 2y + z - 3 = 0.$

Vậy $d\left( {O;\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 3} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2} + {1^2}} }} = 1$.

Chọn A.

Câu 48 (VD)

Phương pháp:

- Viết phương trình đường thẳng $IA$ đi qua $A$ và vuông góc với $\left( P \right)$.

- Tìm tọa độ điểm $I = IA \cap \left( P \right)$.

- Mặt cầu tâm $I$ đi qua $A$ có bán kính:

$R = IA$$= \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_I}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_I}} \right)}^2} + {{\left( {{z_A} - {z_I}} \right)}^2}}$

- Mặt cầu tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ bán kính $R$ có phương trình ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$.

Cách giải:

Vì $I$ là hình chiếu của $A$ lên $\left( P \right) \Rightarrow IA \bot \left( P \right)$.

$\Rightarrow \overrightarrow {{u_{IA}}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;1} \right)$ là 1 VTCP của đường thẳng $IA$.

$\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng $IA$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 - 2t\\z = t\end{array} \right.$.

Gọi $I\left( {2 + t; - 1 - 2t;t} \right) \in \left( {IA} \right)$.

Mà $I$ là hình chiếu của $A$ lên $\left( P \right) \Rightarrow I \in \left( P \right)$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 + t - 2.\left( { - 1 - 2t} \right) + t + 2 = 0\\ \Leftrightarrow 6t + 6 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\\ \Rightarrow I\left( {1;1; - 1} \right)\end{array}$

Khi đó bán kính mặt cầu tâm $I$ đi qua $A$ là:

$R = IA$$= \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 0} \right)}^2}}$$= \sqrt 6$

Phương trình mặt cầu tâm $I\left( {1;1; - 1} \right)$ bán kính $R = \sqrt 6$ là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6.$

Chọn C.

Câu 49 (VD)

Phương pháp:

Đặt $z = a + bi$, xét từng mệnh đề.

Cách giải:

+) Đặt $z = a + bi \Rightarrow - z = - a - bi.$

Ta có: $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,$$\left| { - z} \right| = \sqrt {{{\left( { - a} \right)}^2} + {{\left( { - b} \right)}^2}}$

$\Rightarrow \left| z \right| = \left| { - z} \right|$ là mệnh đề đúng.

+) Đặt $z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi.$

Ta có: $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,$$\left| {\overline z } \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( { - b} \right)}^2}}$

$\Rightarrow \left| z \right| = \left| {\overline z } \right|$ là mệnh đề đúng.

+) Đặt $z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi$$\Rightarrow z + \overline z = 2a$

$\Rightarrow \left| {z + \overline z } \right| = \left| {2a} \right|$ $\Rightarrow \left| {z + \overline z } \right| = 0$ là mệnh đề sai.

+) Đặt $z = a + bi$$\Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \ge 0$

$\Rightarrow \left| z \right| > 0$ là mệnh đề sai.

Vậy có 2 mệnh đề đúng.

Chọn A.

Câu 50 (VD)

Phương pháp:

- Tính $w = {z^2}$ rồi suy ra $\left| {\rm{w}} \right|$.

- Giải phương trình tìm $m$.

Cách giải:

Ta có $z = \frac{{m + 3i}}{{1 - i}}$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow w = {z^2} = {\left( {\frac{{m + 3i}}{{1 - i}}} \right)^2}\\ \Rightarrow w = \frac{{{m^2} + 6mi - 9}}{{ - 2i}}\\ = \frac{{\left( {{m^2} - 9} \right) + 6mi}}{{ - 2i}}\\ = \frac{{\left( {{m^2} - 9} \right)i + 6m{i^2}}}{{ - 2{i^2}}}\\ = \frac{{\left( {{m^2} - 9} \right)i - 6m}}{2}\\ \Rightarrow \left| w \right| = \frac{{\sqrt {{{\left( {{m^2} - 9} \right)}^2} + 36{m^2}} }}{2}\end{array}$

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}\left| w \right| = 9 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{{\left( {{m^2} - 9} \right)}^2} + 36{m^2}} }}{2} = 9\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {{m^2} - 9} \right)}^2} + 36{m^2}} = 18\\ \Leftrightarrow {\left( {{m^2} - 9} \right)^2} + 36{m^2} = 324\\ \Leftrightarrow {m^4} + 18{m^2} - 243 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 9\\{m^2} = - 27\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \pm 3\end{array}$

Vậy $m = \pm 3$.

Chọn C.

Nguồn: Sưu tầm