Video hướng dẫn giải
Cho hàm số y=2x2+2mx+m−1 có đồ thị là (Cm), m là tham số.
LG a
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m=1
Phương pháp giải:
* Tập xác định
Tìm tập xác định của hàm số
* Sự biến thiên của hàm số
- Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm y′
+ Tại các điểm đó đạo hàm y′ bằng 0 hoặc không xác định
+ Xét dấu đạo hàm y′ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
- Tìm cực trị
- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)
- Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)
* Đồ thị
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị,
- Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox
- Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
- Nêu lưu ý đến tính chẵn , tính lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.
Lời giải chi tiết:
y=2x2+2mx+m−1 (Cm). Đây là hàm số bậc hai, có đồ thị là parabol, bề lõm quay lên trên.
a) Với m=1 ta có hàm số: y=2x2+2x.
Tập xác định D=R
* Sự biến thiên:
Ta có: y′=4x+2.
⇒y′=0⇔4x+2=0⇔x=−12
+) Hàm số đồng biến trên khoảng (−12;+∞), nghịch biến trên khoảng (−∞;−12)
+) Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại x=−12; yCT=−12
+) Giới hạn:
limx→±∞y=+∞
Bảng biến thiên:
* Đồ thị
Đồ thị hàm số giao trục Ox tại hai điểm (−1;0) và (0;0)
Cắt Oy tại (0;0).
LG b
b) Xác định m để hàm số:
- Đồng biến trên khoảng (−1,+∞)
- Có cực trị trên khoảng (−1,+∞)
Phương pháp giải:
+) Hàm số đồng biến trên (a;b)⇔y′>0∀x≠(a;b).
+) Hàm số nghịch biến trên (a;b)⇔y′<0∀x≠(a;b).
Lời giải chi tiết:
Tổng quát y=2x2+2mx+m−1 có tập xác định D=R
Có y′=4x+2m=0⇒y′=0
⇔4x+2m=0⇔x=−m2
Suy ra y′> 0 với x>−m2;y′<0 với x<−m2 , tức là hàm số nghịch biến trên (−∞;−m2) và đồng biến trên (−m2;+∞)
i) Để hàm số đồng biến trên khoảng (−1,+∞) thì phải có điều kiện (−1;+∞)⊂(−m2;+∞)
⇔−m2≤−1⇔m≥2
ii) Hàm số đạt cực trị tại x=−m2 .
Để hàm số đạt cực trị trong khoảng (−1;+∞), ta phải có:
−m2∈(−1,+∞)⇔−m2>−1⇔1>m2⇔m<2
LG c
c) Chứng minh rằng (Cm) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m.
Phương pháp giải:
Đồ thị hàm số (Cm) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m⇔y=f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Lời giải chi tiết:
(Cm) luôn cắt Ox tại hai điểm phân biệt x=−m2
⇔ phương trình 2x2+2mx+m–1=0 có hai nghiệm phân biệt.
Ta có: Δ’ = m^2– 2m + 2 = (m-1)^2+ 1 > 0, \, ∀m
Vậy (C_m) luôn cắt O x tại hai điểm phân biệt.
Cách khác
Nhận thấy: - \dfrac{{{m^2}}}{2} + m - 1 = - \dfrac{1}{2}\left( {{m^2} - 2m + 2} \right) = - \dfrac{1}{2}{\left( {m - 1} \right)^2} - \dfrac{1}{2} < 0 với mọi m.
Suy ra, giá trị cực tiểu luôn nhỏ hơn 0 với mọi m.
Dựa vào bảng biến thiên suy ra đường thẳng y = 0 (trục hoành) luôn cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt (đpcm).
