Đề bài
Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB=5a,BC=6a,CA=7a. Các mặt bên SAB,SBC,SCA tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp đó.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hình chóp có các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau có hình chiếu của đỉnh trùng với tâm đường tròn nội tiếp đáy.
Áp dụng công thức tính thể tích Vchóp=13Sh trong đó S là diện tích đáy và h là chiều cao của khối chóp.
Lời giải chi tiết
Kẻ SH⊥(ABC) và từ H kẻ HI⊥AB,HJ⊥BC,HK⊥CA.
Từ định lý ba đường vuông góc, ta suy ra:
SI⊥AB,SJ⊥BC,SK⊥AC do đó:
+) Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) là ^SIH=600
+) Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là ^SJH=600
+) Góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) là ^SKH=600
Từ đây ta có: △SIH=△SJH=△SKH (c.g.v.g.n)
⇒IH=JH=KH
⇒H là tâm đường tròn nội tiếp △ABC.
Tam giác ABC có chu vi: 2p=AB+BC+CA=18a⇒p=9a
Theo công thức Hê-rông, ta có: SABC=√p(p−AB)(p−AC)(p−BC) =√9a.4a.2a.3a=6a2√6
Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC:
IH=r=SABCp=6a2√69a⇒IH=2a√63
Xét tam giác vuông SHI có: SH=r.tan600 = 2a√63.√3=2a√2
Vậy thể tích khối chóp: VS.ABC=13.2a√2.6a2√6=8a3√3
