Câu hỏi 1:
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
- \(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } } \)
- \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx = \int {f\left( x \right)dx.\int {g\left( x \right)dx} } } \)
- \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } } \)
- \(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } } \)
Đáp án:
\(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } } \)
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất của nguyên hàm
Lời giải chi tiết:
\(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)dx} \right]} \)\( = \int {f\left( x \right)dx} - \int {g\left( x \right)dx} \)
Câu hỏi 2:
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \cos x\) trên \(\mathbb{R}\) là
- \( - \sin x + C\)
- \(\cos x + C\)
- \(\sin x + C\)
- \( - \cos x + C\)
Đáp án:
\(\sin x + C\)
Phương pháp giải:
Sử dụng bảng nguyên hàm.
Lời giải chi tiết:
\(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\cos xdx} = \sin x + C\)
Câu hỏi 3:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;\,b} \right]\) và \(k\) là hằng số tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- \(\int_a^b {k.f\left( x \right)dx = k + \int_a^b {f\left( x \right)dx} } \)
- \(\int_a^b {k.f\left( x \right)dx = k.\int_a^b {f\left( x \right)dx} } \)
- \(\int_a^b {k.f\left( x \right)dx = \int_a^b {kdx} .\int_a^b {f\left( x \right)dx} } \)
- \(\int_a^b {k.f\left( x \right)dx = \int_a^b {f\left( {kx} \right)dx} } \)
Đáp án:
\(\int_a^b {k.f\left( x \right)dx = k.\int_a^b {f\left( x \right)dx} } \)
Phương pháp giải:
Tính chất của tích phân.
Lời giải chi tiết:
\(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)
Câu hỏi 4:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục và không âm trên đoạn \(\left[ {a;\,b} \right]\). Diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) được tính theo công thức nào dưới đây? (Hình dưới)
- \(S = \pi \int_a^b {f\left( x \right)dx} \)
- \(S = \pi \int_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} \)
- \(S = - \int_a^b {f\left( x \right)dx} \)
- \(S = \int_a^b {f\left( x \right)dx} \)
Đáp án:
\(S = \int_a^b {f\left( x \right)dx} \)
Phương pháp giải:
Tính chất của tích phân.
Diện tích hình giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right)\) với trục hoành và các đường thẳng \(x = a;x = b\left( {a < b} \right)\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)
Lời giải chi tiết:
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)\( = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) do \(f\left( x \right) > 0\forall x \in \left[ {a;b} \right]\).
Câu hỏi 5:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;\,b} \right]\). Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) được tính theo công thức
- \(S = \int_a^b {f\left( x \right)dx} \)
- \(S = \pi \int_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)
- \(S = \int_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)
- \(S = \pi \int_a^b {f\left( x \right)dx} \)
Đáp án:
\(S = \int_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)
Phương pháp giải:
Công thức tính diện tích.
Lời giải chi tiết:
Diện tích hình giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right)\) với trục hoành và các đường thẳng \(x = a;x = b\left( {a < b} \right)\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
Câu hỏi 6:
Thể tích \(V\) của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\)và hai đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) (\(a < b\)) quanh trục \(Ox\) được tính theo công thức
- \(V = \int_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)
- \(V = \int_a^b {f\left( x \right)dx} \)
- \(V = \pi \int_a^b {f\left( x \right)dx} \)
- \(V = \pi \int_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)
Đáp án:
\(V = \pi \int_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)
Phương pháp giải:
Công thức tính thể tích.
Lời giải chi tiết:
\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).
Câu hỏi 7:
Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;\,b} \right]\). Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đó và các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) được tính theo công thức
- \(S = \int_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} \)
- \(S = \pi \int_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)
- \(S = \int_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)
- \(S = \pi \int_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} \)
Đáp án:
\(S = \int_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)
Phương pháp giải:
Công thức tính diện tích hình giới hạn bởi 2 đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết:
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)
Câu hỏi 8:
Phần ảo của số phức \(z = 2 + 3i\) là
- \(3i\)
- 2
- \(2i\)
- 3
Đáp án:
3
Phương pháp giải:
Số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) có phần thực là a và phần ảo là b, i là đơn vị ảo.
Lời giải chi tiết:
Số phức \(z = 2 + 3i\) có phần thực là 2, phần ảo là 3.
Câu hỏi 9:
Tính môđun của số phức \(z = a + bi\,\,\,\left( {a,\,b \in \mathbb{R}} \right)\)
- \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
- \(\left| z \right| = {a^2} + {b^2}\)
- \(\left| z \right| = a + b\)
- \(\left| z \right| = a - b\)
Đáp án:
\(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Phương pháp giải:
Tìm mô đun của số phức
Lời giải chi tiết:
Mô đun của số phức là \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
Câu hỏi 10:
Số phức liên hợp của số phức \(z = 2 + 3i\) là
- \( - 2 + 3i\)
- \(3 + 2i\)
- \(3 - 2i\)
- \(2 - 3i\)
Đáp án:
\(2 - 3i\)
Phương pháp giải:
Số phức liên hợp của \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) là \(\overline z = a - bi\)
Lời giải chi tiết:
\(\overline z = 2 - 3i\)
Câu hỏi 11:
Trên mặt phẳng tọa độ điểm biểu diễn số phức \(z = - 1 + 2i\) là điểm nào trong các điểm sau? (hình vẽ dưới)
- M
- N
- P
- Q
Đáp án:
P
Phương pháp giải:
Số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {a;b} \right)\)
Lời giải chi tiết:
\(z = - 1 + 2i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow P\left( { - 1;2} \right)\)
Câu hỏi 12:
Cho hai số phức \({z_1} = 2 + 3i\) và \({z_2} = 1 - 2i\). Tính \({z_1} + {z_2}\)
- \(3 + i\)
- \(3 - 2i\)
- \(3 + 5i\)
- \(3 - 5i\)
Đáp án:
\(3 + i\)
Phương pháp giải:
Lấy phần thực cộng với phần thực, phần ảo cộng với phần ảo.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = \left( {2 + 3i} \right) + \left( {1 - 2i} \right)\\ = \left( {2 + 1} \right) + \left( {3i - 2i} \right) = 3 + i\end{array}\)
Câu hỏi 13:
Tính số phức \(z = \left( {2 + i} \right).i\)
- \(1 - 2i\)
- \(1 + 2i\)
- \( - 1 + 2i\)
- \( - 1 - 2i\)
Đáp án:
\( - 1 + 2i\)
Phương pháp giải:
Nhân 2 số phức.
Lời giải chi tiết:
\(z = \left( {2 + i} \right)i = 2i + {i^2} = 2i - 1\)
Câu hỏi 14:
Tìm tất cả các căn bậc hai của \( - 4\)
- \(2i\).
- \(2\).
- \(2\) và \( - 2\).
- \(2i\) và \( - 2i\).
Đáp án:
\(2i\) và \( - 2i\).
Phương pháp giải:
Giải phương trình bậc hai \({z^2} = - 4\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}{z^2} = - 4 \Leftrightarrow {z^2} = {\left( {2i} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 2i\\z = - 2i\end{array} \right.\end{array}\)
Câu hỏi 15:
Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow a = \left( {1;2; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {3; - 2; - 1} \right)\) bằng
- 2.
- -4.
- 4.
- -2.
Đáp án:
2.
Phương pháp giải:
Tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right),\overrightarrow n \left( {x;y;z} \right)\) là: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = ax + by + cz\).
Lời giải chi tiết:
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.3 + 2.\left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right).\left( { - 1} \right) = 2\)
Câu hỏi 16:
Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x - 2y + 3z - 2 = 0\)?.
- \(M\left( {1; - 2;3} \right)\).
- \(N\left( {1; - 2; - 1} \right)\).
- \(P\left( {1; - 2;1} \right)\).
- \(Q\left( { - 1;2;1} \right)\).
Đáp án:
\(N\left( {1; - 2; - 1} \right)\).
Phương pháp giải:
Điểm \(M\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right) \in \left( P \right):ax + by + cz = 0\)\( \Leftrightarrow a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} = 0\).
Lời giải chi tiết:
Thay lần lượt tọa độ các điểm vào \(\left( \alpha \right)\) ta thấy:
\(1 - 2.\left( { - 2} \right) + 3.\left( { - 1} \right) - 2 = 0\)
Điểm N thuộc \(\left( \alpha \right)\).
Câu hỏi 17:
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x + 3y - z + 1 = 0\)?
- \(4x + 6y - 2z + 2 = 0\).
- \(2x + 3y + z - 1 = 0\).
- \( - 4x - 6y + 2z + 2 = 0\).
- \(x + y + 5z + 1 = 0\).
Đáp án:
\( - 4x - 6y + 2z + 2 = 0\).
Phương pháp giải:
Hai mặt phẳng (P): \({a_1}x + {b_1}y + {c_1}z + {d_1} = 0\) và (Q): \({a_2}x + {b_2}y + {c_2}z + {d_2} = 0\)\(\left( {{a_1},{b_2},{c_2},{d_2} \ne 0} \right)\) song song khi và chỉ khi: \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}} \ne \frac{{{d_1}}}{{{d_2}}}\)
Lời giải chi tiết:
\({\overrightarrow n _{\left( \alpha \right)}} = \left( {2;3; - 1} \right)\). Ta có:
Đáp án A sai vì mặt phẳng này trùng với \(\left( \alpha \right)\).
Đáp án B, D sai vì vecto pháp tuyến của mặt phẳng này không song song với \({\overrightarrow n _{\left( \alpha \right)}}\).
Đáp án C đúng vì \(\overrightarrow n = \left( { - 4; - 6;2} \right)\). Khi đó
\(\frac{{ - 4}}{2} = \frac{{ - 6}}{2} = \frac{2}{{ - 1}} \ne \frac{2}{1}\)
Câu hỏi 18:
Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây không thuộc đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{3}\)?
- M(1; 0; -1).
- N(4; 2; 2).
- P(7; 4; -7).
- Q(-2; -2; -4).
Đáp án:
P(7; 4; -7).
Phương pháp giải:
Điểm \(M\left( {m,n,p} \right) \in d:\)\(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\)\( \Leftrightarrow \frac{{m - {x_0}}}{a} = \frac{{n - {y_0}}}{b} = \frac{{p - {z_0}}}{c}\).
Lời giải chi tiết:
Thay lần lượt các đáp án vào d:
Ta thấy khi thay P vào d thì có : \(\frac{{7 - 1}}{3} = \frac{4}{2} \ne \frac{{ - 7 + 1}}{3}\)
Câu hỏi 19:
Trong không gian Oxyz, đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 2t{\rm{ }}}\end{array}} \right.\) có một véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u \) là
- \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;0} \right)\).
- \(\overrightarrow u = \left( {2;1;2} \right)\).
- \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;2} \right)\).
- \(\overrightarrow u = \left( {2;1;0} \right)\).
Đáp án:
\(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;2} \right)\).
Phương pháp giải:
Vecto chỉ phương của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) là \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\)
Lời giải chi tiết:
\(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;2} \right)\)
Câu hỏi 20:
Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm M(3; -2; 1) và nhận véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {4; - 3;5} \right)\)làm véc tơ chỉ phương có phương trình tham số là
- \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 4t}\\{y = - 2 - 3t}\\{z = 1 + 5t}\end{array}} \right.\).
- \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4 + 3t}\\{y = - 3 - 2t}\\{z = 5 + t}\end{array}} \right.\).
- \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 4t}\\{y = 2 - 3t}\\{z = 1 + 5t}\end{array}} \right.\).
- \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 4t}\\{y = - 2 - 3t}\\{z = 1 - 5t}\end{array}} \right.\).
Đáp án:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 4t}\\{y = - 2 - 3t}\\{z = 1 + 5t}\end{array}} \right.\).
Phương pháp giải:
Đường thẳng qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) làm vecto chỉ phương là:
\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng qua M(3; -2; 1) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {4; - 3;5} \right)\) làm vecto chỉ phương là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 4t}\\{y = - 2 - 3t}\\{z = 1 + 5t}\end{array}} \right.\)
Câu hỏi 21:
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2x}}\) là
- \(\frac{1}{2}{e^{2x}} + C\).
- \({e^{2x}} + C\).
- \(2{e^{2x}} + C\).
- \(2x.{e^{2x}} + C\).
Đáp án:
\(\frac{1}{2}{e^{2x}} + C\).
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức:
\(\int {{e^{ax + b}}dx} = \frac{1}{a}{e^{ax + b}} + C\)
Lời giải chi tiết:
\(\int {f\left( x \right)dx} = \int {{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C\)
Câu hỏi 22:
Nếu đặt \(t = {x^2}\) thì tích phân \(\int_0^2 {x.{e^{{x^2}}}dx} \) trở thành tích phân nào trong các tích phân sau?
- \(\int_0^4 {{e^t}dt} \).
- \(\frac{1}{2}\int_0^2 {{e^t}dt} \).
- \(\frac{1}{2}\int_0^4 {{e^t}dt} \).
- \(\int_0^2 {{e^t}dt} \).
Đáp án:
\(\frac{1}{2}\int_0^4 {{e^t}dt} \).
Phương pháp giải:
Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow dx = 2tdt\).
Đổi cận ẩn x sang ẩn t.
Đưa tích phân về ẩn t.
Lời giải chi tiết:
Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow dx = 2tdt\)
Đổi cận:
\( = > I = \frac{1}{2}\int\limits_0^4 {{e^t}dt} \)
Câu hỏi 23:
Tính tích phân \(I = \int_0^1 {{2^x}dx} \)
- \(\frac{2}{{\ln 2}}\).
- \(\ln 2\).
- \(2.\ln 2\).
- \(\frac{1}{{\ln 2}}\).
Đáp án:
\(\frac{1}{{\ln 2}}\).
Phương pháp giải:
Sử dụng bảng nguyên hàm: \(I = \int {{2^x}dx} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\)
Lời giải chi tiết:
\(I = \int\limits_0^1 {{2^x}dx} = \left. {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right|_0^1 = \frac{1}{{\ln 2}}\)x.
Câu hỏi 24:
Cho tích phân \(I = \int_1^3 {x.\ln xdx} \). Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau
- \(I = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right)} \right|_1^3 - \int_1^3 {xdx} \).
- \(I = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right)} \right|_1^3 - \frac{1}{2}\int_1^3 {xdx} \).
- \(I = \left. {\left( {{x^2}\ln x} \right)} \right|_1^3 - \int_1^3 {xdx} \).
- \(I = \left. {\left( {{x^2}\ln x} \right)} \right|_1^3 - \frac{1}{2}\int_1^3 {xdx} \).
Đáp án:
\(I = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right)} \right|_1^3 - \frac{1}{2}\int_1^3 {xdx} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}I = \int\limits_1^3 {x\ln xdx} \\ = \int\limits_1^3 {\frac{1}{2}\ln x} d{x^2}\\ = \left. {\frac{{{x^2}\ln x}}{2}} \right|_1^3 - \frac{1}{2}\int\limits_1^3 {{x^2}d\left( {\ln x} \right)} \\ = \left. {\frac{{{x^2}\ln x}}{2}} \right|_1^3 - \frac{1}{2}\int\limits_1^3 {xdx} \end{array}\)
Câu hỏi 25:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;\,c} \right]\) có đồ thị như hình vẽ bên, biết \(\int_a^b {f\left( x \right)dx = - 2} \) và \(\int_b^c {f\left( x \right)dx = 3} \). Tính diện tích \(S\) của hình phẳng được tô đậm
- \(S = 1\).
- \(S = 3.\)
- \(S = 5\).
- \(S = 7.\)
Đáp án:
\(S = 5\).
Phương pháp giải:
Diện tích hình phẳng bằng: \(\int_a^c {\left| {f\left( x \right)} \right|dx = \int_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} } \)\( + \int_b^c {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)
Xét dấu của f(x) trong [a;b] và [b;c].
\(\left| {f\left( x \right)} \right| = f\left( x \right) \Leftrightarrow \) đồ thị nằm bên trên trục Ox.
\(\left| {f\left( x \right)} \right| = - f\left( x \right) \Leftrightarrow \) đồ thị nằm bên dưới trục Ox.
Lời giải chi tiết:
\(S = \int_a^c {\left| {f\left( x \right)} \right|dx = \int_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} } \)\( + \int_b^c {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)
\(\begin{array}{l} = \int_a^b { - f\left( x \right)dx} + \int_b^c {f\left( x \right)dx} \\ = 2 + 3 = 5\end{array}\)
Câu hỏi 26:
Tính diện tích \(S\) hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4\), trục hoành và hai đường thẳng\(x = 0,\,\,x = 1\)
- \(S = - \frac{{11}}{3}\).
- \(S = \frac{8}{3}\).
- \(S = \frac{{11}}{3}\).
- \(S = \frac{5}{3}\).
Đáp án:
\(S = \frac{{11}}{3}\).
Phương pháp giải:
Tính diện tích \(S\) hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng\(x = a,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)
Xét dấu của f(x) trong [a;b].
Lời giải chi tiết:
\(S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {4 - {x^2}} \right)dx} = \frac{{11}}{3}\)
Câu hỏi 27:
Trong các số phức sau số phức nào là số thuần ảo?
- \(z = 2 + i\).
- \(z = 3 - i\).
- \(z = 2\).
- \(z = i\).
Đáp án:
\(z = i\).
Phương pháp giải:
Số thuần ảo là số có dạng \(z = bi,\left( {b \in \mathbb{R}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
\(z = i\) là số thuần ảo.
Câu hỏi 28:
Biết rằng tập hợp các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 1} \right| = 2\) là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm đường tròn đó.
- \(\left( { - 1;\,0} \right)\).
- \(\left( {1;\,0} \right)\).
- \(\left( {0;\,1} \right)\).
- \(\left( {0;\, - 1} \right)\).
Đáp án:
\(\left( {1;\,0} \right)\).
Phương pháp giải:
Tập hợp điểm biểu diễn z thỏa mãn \(\left| {z - {z_0}} \right| = R\) là đường tròn tâm \(M\left( {{z_0}} \right)\) bán kính R.
Lời giải chi tiết:
\(\left| {z - 1} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {z - \left( {1 + 0.i} \right)} \right| = 2\)
=> Tập hợp điểm biểu diễn z là đường tròn tâm I(1;0) bán kính 2.
Câu hỏi 29:
Tìm số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(2z + \overline z = 3 + 4i\)
- \(z = 3 + 4i\).
- \(z = 1 - 4i\).
- \(z = 1 + 4i\).
- \(z = 3 - 4i\).
Đáp án:
\(z = 1 + 4i\).
Phương pháp giải:
Đặt \(z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\)
Tìm \(\overline z \) và sử dụng cách đồng nhất hệ số để tìm a và b.
Lời giải chi tiết:
Đặt \(z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\)
\(\begin{array}{l}2z + \overline z = 3 + 4i\\ \Leftrightarrow 2\left( {a + bi} \right) + a - bi = 3 + 4i\\ \Leftrightarrow 3a + bi = 3 + 4i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 4\end{array} \right. \Rightarrow z = 1 + 4i\end{array}\)
Câu hỏi 30:
Cho số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(i.z = 1 + 2i\). Phần thực của số phức \(z\) bằng
- \(1\).
- \( - 1\).
- \(2\).
- \( - 2\).
Đáp án:
\(2\).
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất \(z.{z_1} = {z_2} \Leftrightarrow z = \frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}\) và \(\frac{1}{z} = \frac{{\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}}\).
Phần thực của số phức \(z = a + bi\) là a.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}i.z = 1 + 2i\\ \Leftrightarrow z = \frac{{1 + 2i}}{1}\\ \Leftrightarrow z = \frac{{\left( {1 + 2i} \right)\left( { - i} \right)}}{1}\\ \Leftrightarrow z = 2 - i\end{array}\)
=> Phần thực là 2.
Câu hỏi 31:
Gọi \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 5 = 0\). Tính \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\)
- \(\sqrt 5 \).
- \(\sqrt {13} \).
- \(2\sqrt {13} \).
- \(2\sqrt 5 \).
Đáp án:
\(2\sqrt 5 \).
Phương pháp giải:
\({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \(a{z^2} + bz + c = 0\) thì \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\) và
\({z_1}.{z_2} = \frac{c}{a}\)
Lời giải chi tiết:
\({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 5 = 0\) nên \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\).
Mà theo Vi-et ta có: \({z_1}.{z_2} = 5 = > \left| {{z_1}.{z_2}} \right| = \left| 5 \right|\).
=> \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 5 \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2\sqrt 5 \)
Câu hỏi 32:
Trong không gian Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2 = 0\) có bán kính bằng
- 2.
- \(\sqrt 3 \).
- \(\sqrt 6 \).
- \(\sqrt 7 \).
Đáp án:
\(\sqrt 7 \).
Phương pháp giải:
Đưa phương trình mặt cầu về dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2z - 4y - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 7\end{array}\)
=> (S) là mặt cầu tâm \(I\left( { - 1;2;0} \right)\) bán kính \(R = \sqrt 7 \).
Câu hỏi 33:
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (Oxy) có một véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) là
- \(\overrightarrow n = \left( {1;1;0} \right)\).
- \(\overrightarrow n = \left( {1;0;0} \right)\).
- \(\overrightarrow n = \left( {0;1;0} \right)\).
- \(\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)\).
Đáp án:
\(\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)\).
Phương pháp giải:
Mặt phẳng (Oxy) có một véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow k = \left( {0,0,1} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng (Oxy) có một véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {0,0,1} \right)\)
Câu hỏi 34:
Khoảng cách từ điểm \(M\left( {1;\,2;\,3} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 2z - 1 = 0\) bằng
- \(\frac{7}{3}\).
- \(\frac{5}{3}\).
- \(\frac{2}{3}\).
- \(\frac{{10}}{3}\).
Đáp án:
\(\frac{{10}}{3}\).
Phương pháp giải:
Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\) bằng:
\(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)
Lời giải chi tiết:
Khoảng cách từ điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 2z - 1 = 0\) bằng
\(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.2 + 2.3 - 1} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }}\)\( = \frac{{10}}{3}\)
Câu hỏi 35:
Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm \(M\left( {1;2; - 3} \right),N\left( {3;4;5} \right)\)có phương trình tham số là
- \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = 3 + t}\\{z = 1 + 4t}\end{array}} \right.\).
- \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + 2t}\\{z = 3 + 8t}\end{array}} \right.\).
- \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + t}\\{y = 4 - t}\\{z = 5 + 4t}\end{array}} \right.\).
- \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - 2t}\\{y = 2 - 2t}\\{z = - 3 + 8t}\end{array}} \right.\)
Đáp án:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = 3 + t}\\{z = 1 + 4t}\end{array}} \right.\).
Phương pháp giải:
Tìm \(\overrightarrow {MN} \).
Đường thẳng đi qua 2 điểm M,N nhận \(k.\overrightarrow {MN} \left( {k \ne 0} \right)\) làm vecto chỉ phương.
Lời giải chi tiết:
\(\overrightarrow {MN} = \left( {2;2;8} \right)\)
Đường thẳng đi qua 2 điểm M,N nhận \(\overrightarrow u = \left( {1;1;4} \right)\) làm vecto chỉ phương nên loại C, D.
Thay tọa độ điểm M vào đáp án A ta tìm được \(t = - 1\).
Câu hỏi 36:
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
- \(\int {\sqrt {x + 1} dx = \frac{1}{2}\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} + C} \).
- \(\int {\sqrt {x + 1} dx = \frac{2}{3}x\sqrt {x + 1} + C} \).
- \(\int {\sqrt {x + 1} dx = \frac{1}{2}x\sqrt {x + 1} + C} \).
- \(\int {\sqrt {x + 1} dx = \frac{2}{3}\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} + C} \).
Đáp án:
\(\int {\sqrt {x + 1} dx = \frac{2}{3}\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} + C} \).
Phương pháp giải:
Biến đổi \(\sqrt {x + 1} = {\left( {x + 1} \right)^{\frac{1}{2}}}\).
Sử dụng công thức \(\int {{{\left( {ax + b} \right)}^m}dx} = \frac{1}{a}.\frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{m + 1}}}}{{m + 1}} + C\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\int {\sqrt {x + 1} dx} = \int {{{\left( {x + 1} \right)}^{\frac{1}{2}}}dx} \\ = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C\\ = \frac{2}{3}\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} + C\end{array}\)
Câu hỏi 37:
Biết rằng số phức \(z = a + bi\,\,\,\left( {a,\,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(i.z + 2.\overline z = 6 + 3i\). Tính \(a - b\)
- \(2\).
- \(4\).
- \(3\).
- \(1\).
Đáp án:
\(3\).
Phương pháp giải:
Số phức liên hợp của \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) là \(\overline z = a - bi\)
Thay vào biểu thức \(i.z + 2.\overline z = 6 + 3i\) tìm a và b.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}i.z + 2.\overline z = 6 + 3i\\ \Leftrightarrow i\left( {a + bi} \right) + 2\left( {a - bi} \right) = 6 + 3i\\ \Leftrightarrow \left( {a - 2b} \right)i + 2a - b = 6 + 3i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 2b = 3\\2a - b = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 0\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow a - b = 3\)
Câu hỏi 38:
Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 1 - {x^2},\,y = 0\) quanh trục \(Ox\).
- \(\frac{4}{3}\).
- \(\frac{{4\pi }}{3}\).
- \(\frac{{16}}{{15}}\).
- \(\frac{{16\pi }}{{15}}.\)
Đáp án:
\(\frac{{16\pi }}{{15}}.\)
Phương pháp giải:
Tìm hoành độ giao điểm của 2 đồ thị \(y = 1 - {x^2},\,y = 0\).
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right),y = 0\) , \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\) quanh trục \(Ox\) là \(I = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)
Lời giải chi tiết:
Hoành độ giao điểm của 2 đồ thị \(y = 1 - {x^2},y = 0\) là nghiệm của phương trình:
\(1 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 1 - {x^2},y = 0\) quanh trục \(Ox\) là
\(\begin{array}{l}I = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}dx} \\ = \frac{{16\pi }}{{15}}\end{array}\)
Câu hỏi 39:
Tính tích phân \(I = \int_1^4 {\frac{{\sqrt x + f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} \) biết rằng \(\int_1^2 {f\left( x \right)dx = 2} \)
- \(I = 7\).
- \(I = 5\).
- \(I = 8\).
- \(I = 9\).
Đáp án:
\(I = 7\).
Phương pháp giải:
Tách tích phân thành \(\int\limits_1^4 {1dx} + \int\limits_1^4 {\frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} \)
Đổi biến số \(t = \sqrt x \) tính \(\int\limits_1^4 {\frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} \).
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}I = \int\limits_1^4 {\frac{{\sqrt x + f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} \\ = \int\limits_1^4 {1dx} + \int\limits_1^4 {\frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} \\ = 3 + 2\int\limits_1^4 {f\left( {\sqrt x } \right)d\left( {\sqrt x } \right)} \end{array}\)
Đặt \(t = \sqrt x \)
Đổi cận:
\( = > I = 3 + 2\int\limits_1^2 {f\left( t \right)dt} = 3 + 2.2 = 7\)
Câu hỏi 40:
Cho số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\frac{{2z}}{i} + \left| z \right|.i = 3\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
- \(0 < \left| z \right| < 1\).
- \(1 < \left| z \right| < 2\).
- \(2 < \left| z \right| < 3\).
- \(3 < \left| z \right| < 4\).
Đáp án:
\(1 < \left| z \right| < 2\).
Phương pháp giải:
Nhân 2 vế với i.
Đặt \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\)
Biếnđổi biểu thức rồi đồng nhất hệ số tìm \({a^2},{b^2}\).
Mô đun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
Lời giải chi tiết:
\(\frac{{2z}}{i} + \left| z \right|.i = 3\). Nhân 2 vế với i.
Ta được:
\(2z - \left| z \right| = 3i\)
Đặt \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\)
\(\begin{array}{l}2z - \left| z \right| = 3i\\ \Leftrightarrow 2\left( {a + bi} \right) - \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 3i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 0\\2b = 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\{a^2} + {b^2} = 4{a^2}\\b = \frac{3}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = \frac{3}{4}\\b = \frac{3}{2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt 3 \\ \Rightarrow 1 < \left| z \right| < 2\end{array}\)
Câu hỏi 41:
Gọi \({z_0}\) là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình \({z^4} + {z^2} - 6 = 0\). Tính \(i.{z_0}\)
- \(\sqrt 3 \).
- \( - \sqrt 3 \).
- \(\sqrt 2 .i\).
- \( - \sqrt 2 .i\).
Đáp án:
\( - \sqrt 3 \).
Phương pháp giải:
Giải phương trình trùng phương \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\) tìm nghiệm phức có phần ảo dương.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}{z^4} + {z^2} - 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = 2\\{z^2} = - 3 = {\left( {\sqrt 3 i} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \sqrt 2 \\z = - \sqrt 2 \\z = \sqrt 3 i\\z = - \sqrt 3 i\end{array} \right.\\ \Rightarrow {z_0} = \sqrt 3 i \Rightarrow i{z_0} = - \sqrt 3 \end{array}\)
Câu hỏi 42:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;-2;0), B(-3;6;2). Mặt cầu đường kính AB có phương trình là
- \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 21\).
- \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 21\).
- \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\).
- \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\).
Đáp án:
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 21\).
Phương pháp giải:
Mặt cầu đường kính AB có tâm là M bán kính \(R = \frac{{AB}}{2}\)
Lời giải chi tiết:
M là trung điểm của AB
=> \(M\left( { - 1;2;1} \right)\).
Mặt cầu đường kính AB có tâm là M bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \sqrt {21} \) là:
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 21\)
Câu hỏi 43:
Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = 2, SB = 4. Gọi điểm M là trung điểm của SB. Biết khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (ABC) bằng \(\frac{2}{3}\). Tính độ dài cạnh SC
- SC = 2.
- SC = 4.
- SC = 6.
- SC = 8.
Đáp án:
SC = 6.
Phương pháp giải:
SA, SB, SC đôi một vuông góc nên \(SH \bot \left( {ABC} \right)\). Với H là trực tâm của tam giác ABC.
Tìm SH.
Kẻ \(CN \bot AB\) và chứng minh \(AB \bot SN\).
Tam giác \(SAB\) đường cao SN ứng với cạnh huyền có: \(\frac{1}{{S{N^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}}\).
Lời giải chi tiết:
SA, SB, SC đôi một vuông góc nên \(SH \bot \left( {ABC} \right)\). Với H là trực tâm của tam giác ABC.
Goi I là trung điểm của BH.
=> MI//SH
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SH = 2MI\\MI \bot \left( {ABC} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow MI = d\left( {M,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{2}{3}\\ \Rightarrow SH = 2MI = \frac{4}{3}\end{array}\)
Kẻ \(CN \bot AB\)
\(\begin{array}{l}SC \bot AB\\ \Rightarrow AB \bot \left( {SCN} \right)\\ \Rightarrow AB \bot SN\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{S{N^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}} = \frac{5}{{16}}\\ \Rightarrow \frac{1}{{S{C^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} - \frac{1}{{S{N^2}}} = \frac{1}{4}\\ \Rightarrow SC = 2\end{array}\)
Câu hỏi 44:
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4 + 2t}\\{y = 2 - t}\\{z = 1 - 3t}\end{array}} \right.\) và \({d^{\bf{/}}}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 2{t^{\bf{/}}}}\\{y = 3 + {t^{\bf{/}}}}\\{z = 4 + 3{t^{\bf{/}}}}\end{array}} \right.\)
Xét vị trí tương đối của \(d\) và \(d'\) .
- d trùng với d’.
- d song song với d’.
- d cắt d’.
- d chéo d’
Đáp án:
d trùng với d’.
Phương pháp giải:
Tìm \({\overrightarrow u _d}\) và \({\overrightarrow u _{d'}}\). Nhận xét mối quan hệ giữa \({\overrightarrow u _d}\) và \({\overrightarrow u _{d'}}\) suy ra mối quan hệ giữa \(d\) và \(d'\) .
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}{\overrightarrow u _d} = \left( {2; - 1; - 3} \right),{\overrightarrow u _{d'}} = \left( { - 2;1;3} \right)\\ \Rightarrow {\overrightarrow u _d}//{\overrightarrow u _{d'}} \Rightarrow d//d'\end{array}\)
Câu hỏi 45:
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; 1; 3) và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{2}\). Gọi \(\overrightarrow u = \left( {a;b;3} \right)\) là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng \(\Delta \)và cắt trục Oy. Tính \(a + b\)
- -6.
- 6.
- 4.
- -4.
Đáp án:
6.
Phương pháp giải:
Tìm \({\overrightarrow u _\Delta }\)
\(\overrightarrow u \) là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng \(\Delta \)nên \(\overrightarrow u \bot {\overrightarrow u _\Delta } \Rightarrow \overrightarrow u .{\overrightarrow u _\Delta } = 0\).
Lập hệ phương trình giao điểm của d cắt Oy.
Tìm a,b.
Lời giải chi tiết:
\({\overrightarrow u _\Delta } = \left( {1; - 2;2} \right)\)
\(\overrightarrow u = \left( {a;b;3} \right)\) là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng \(\Delta \)nên \(\overrightarrow u \bot {\overrightarrow u _\Delta } \Rightarrow \overrightarrow u .{\overrightarrow u _\Delta } = 0\).
Hay \(a - 2b + 6 = 0 \Leftrightarrow a = 2b - 6\)
Có \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 1 + bt\\z = 3 + 3t\end{array} \right.\)
Vì d cắt Oy nên hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2 + at = 0\\1 + bt = t'\\3 + 3t = 0\end{array} \right.\) có nghiệm
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}at = - 2\\bt = t' - 1\\t = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 4\\t = - 1\\t' = - 3\end{array} \right.\\ \Rightarrow a + b = 6\end{array}\)
Câu hỏi 46:
Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(y = mx\) (\(m\) là tham số dương) và đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) bằng \(1\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
- \(0 < m < 1\).
- \(1 < m < 2\).
- \(2 < m < 3\).
- \(3 < m < 4\).
Đáp án:
\(1 < m < 2\).
Phương pháp giải:
+ Tìm hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = mx\) và đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) .
+ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(y = f\left( x \right)\) (\(m\) là tham số dương) và đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\)bằng \(I = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)
Giải phương trình \(I = 1\) tìm m.
Lời giải chi tiết:
Hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = mx\) và đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} = mx \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = m\end{array} \right.\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(y = mx\) (\(m\) là tham số dương) và đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) bằng
\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^m {\left| {{x^2} - mx} \right|dx} \\ = \int\limits_0^m {\left( {mx - {x^2}} \right)dx} \\ = \frac{{{m^3}}}{6}\\ \Rightarrow \frac{{{m^3}}}{6} = 1 \Leftrightarrow m = \sqrt[3]{6}\end{array}\)
Câu hỏi 47:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( x \right) + f\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x.\cos x\) và \(f\left( 0 \right) = 0\). Tính tích phân \(I = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {x.f'\left( x \right)dx} \)
- \(I = - \frac{1}{4}\).
- \(I = \frac{1}{4}\).
- \(I = - \frac{3}{4}\).
- \(I = - \frac{1}{2}\).
Đáp án:
\(I = - \frac{1}{4}\).
Phương pháp giải:
+ Sử dụng phương pháp tích phân từng phần u=x,v=f(x).
+ Đổi biến số \(t = \frac{\pi }{2} - x\)
+ Sử dụng tính chất \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {f\left( t \right)dt} \).
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xf'\left( x \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xd\left[ {f\left( x \right)} \right]} \\ = x.f\left( x \right) - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \end{array}\)
Ta có \(f\left( x \right) + f\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x.\cos x\) nên
\(f\left( x \right) = \sin x.\cos x - f\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\) thay vào I ta được:
\(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) - \sin x.\cos x} \right]dx} \)
Đặt \(t = \frac{\pi }{2} - x \Rightarrow x = \frac{\pi }{2} - t \Rightarrow dx = - dt\)
Đổi cận:
\(\begin{array}{l}I = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^0 {\left[ {f\left( t \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{2} - t} \right).\cos \left( {\frac{\pi }{2} - t} \right)} \right]\left( { - tdt} \right)} \\ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( t \right) - \sin t.\cos t} \right]dt} \\ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) - \sin x.\cos x} \right]dx} \\ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} { - \sin x.\cos x} - I = - \frac{1}{2} - I\\ \Rightarrow I = - \frac{1}{4}\end{array}\)
Câu hỏi 48:
Cho số phức \(z\) thỏa \(\frac{{1 + 2i}}{{\bar z}} = \frac{{\left( {1 - i} \right).z}}{{{{\left| z \right|}^2}}} + 1 + 3i\), giá trị của \(\left| z \right|\) bằng
- \(\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).
- \(\frac{{2\sqrt {10} }}{{10}}\).
- \(\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\).
- \(\frac{{2\sqrt {10} }}{5}\).
Đáp án:
\(\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\).
Phương pháp giải:
Sử dụng các tính chất: \(\frac{z}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{1}{{\overline z }};\left| z \right| = \left| {\overline z } \right|\), \(\left| {{z_1}.{z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right|.\left| {{z_2}} \right|\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\frac{{1 + 2i}}{{\bar z}} = \frac{{\left( {1 - i} \right).z}}{{{{\left| z \right|}^2}}} + 1 + 3i\\ \Leftrightarrow \frac{{1 + 2i}}{{\bar z}} = \frac{{\left( {1 - i} \right)}}{{\overline z }} + 1 + 3i\\ \Leftrightarrow \frac{{1 + 2i - 1 + i}}{{\overline z }} = 1 + 3i\\ \Leftrightarrow \frac{{3i}}{{\overline z }} = 1 + 3i\\ \Rightarrow \frac{{\left| {3i} \right|}}{{\left| {\overline z } \right|}} = \left| {1 + 3i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| z \right| = \left| {\overline z } \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{3}\end{array}\)
Câu hỏi 49:
Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức \({\rm{w}} = \frac{{1 + iz}}{{2 + z}}\,\,\,\left( {z \ne - 2} \right)\) là một đường thẳng. Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {z - 4i} \right|\)là
- \(6\).
- \(7\).
- \(5\).
- \(8\).
Đáp án:
\(6\).
Phương pháp giải:
Đặt \({\rm{w}} = x + yi\).
Đưa về dạng \(z.{z_1} = {z_2}\) rồi lấy mô đun 2 vế.
Biện luận \({\left| z \right|^2}\)
Sử dụng bất đẳng thức \(\left| {{z_1} \pm {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left|{{z_2}} \right|\).
Lời giải chi tiết:
Đặt \(w= x + yi\).
Từ giả thiết \(w= \frac{{1 + iz}}{{2 + z}} \Rightarrow w\left( {2 + z} \right) = 1 + iz\)
\( \Rightarrow z\left( w- i \right) = 1 - 2w\)
\( \Rightarrow z\left[ {x + yi - i} \right] = 1 - 2\left( {x + yi} \right)\) (1)
Lấy modun hai vế biểu thức (1) ta được
\(\left| z \right|\sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {1 - 2x} \right)}^2} + {{\left( { - 2y} \right)}^2}} \)
\( \Rightarrow {\left| z \right|^2}\left( {{x^2} + {y^2} - 2y + 1} \right)\)\( = \left( {4{x^2} + 4{y^2} - 4x + 1} \right)\) (2)
Từ (2) suy ra:
Nếu \({\left| z \right|^2} \ne 4\) thì tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w\) là đường tròn.
Nếu \({\left| z \right|^2} = 4\) thì tập hợp các điểm biểu diễn số phức \({\rm{w}}\) là đường thẳng thỏa mãn đề bài.
Suy ra \(\left| z \right| = 2\)
+ \(P = \left| {z - 4i} \right| \le \left| z \right| + \left| {4i} \right| = 6\) . Dấu “=” xảy ra khi \(z = - 2i\) vì z phải là số thuần ảo giống -4i. Vậy GTLN của P bằng \(6\).
Câu hỏi 50:
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 1; 2) và đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = t}\\{z = 1 - t}\end{array}} \right.\). Xét mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cách điểm M một khoảng lớn nhất. Giả sử mặt phẳng (P) có phương trình dạng \(ax + by + cz - 1 = 0\). Tính \(T = a + b + c\)
- T = 0.
- T = 2.
- T = 4.
- T = 6.
Đáp án:
T = 2.
Phương pháp giải:
+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d. Khi đó mp (P) thỏa yêu cầu bài toán vuông góc với MH tại H.
+ Tìm tọa độ điểm H sau đó viết ptmp (P)
Lời giải chi tiết:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d.
Goi (Q) là mặt phẳng qua M và vuông góc với d. Khi đó \(\left( Q \right) \cap d = \left\{ H \right\}\)
\(\begin{array}{l}\left( Q \right):0\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 1} \right) - \left( {z - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow y - z + 1 = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow H\left( {1;0;1} \right) \Rightarrow MH = \left( {0; - 1; - 1} \right)\)
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cách điểm M một khoảng lớn nhất khi và chỉ khi \(MH \bot \left( P \right)\) tại H. Hay
\(\begin{array}{l}\left( P \right):0\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 0} \right) + \left( {z - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 0x + y + z - 1 = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow T = a + b + c = 0 + 1 + 1 = 2\)
