Giải đề thi học kì 2 toán lớp 12 năm 2020 - 2021 trường THPT Lê Quý Đôn

155 lượt xem

Bài trước

Bài sau

Câu hỏi 1:

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

$\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } }$
$\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx = \int {f\left( x \right)dx.\int {g\left( x \right)dx} } }$
$\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } }$
$\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } }$

Đáp án:

$\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } }$

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của nguyên hàm

Lời giải chi tiết:

$\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)dx} \right]}$ $= \int {f\left( x \right)dx} - \int {g\left( x \right)dx}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2:

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \cos x$ trên $\mathbb{R}$ là

$- \sin x + C$
$\cos x + C$
$\sin x + C$
$- \cos x + C$

Đáp án:

$\sin x + C$

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng nguyên hàm.

Lời giải chi tiết:

$\int {f\left( x \right)dx} = \int {\cos xdx} = \sin x + C$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3:

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;\,b} \right]$ và $k$ là hằng số tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

$\int_a^b {k.f\left( x \right)dx = k + \int_a^b {f\left( x \right)dx} }$
$\int_a^b {k.f\left( x \right)dx = k.\int_a^b {f\left( x \right)dx} }$
$\int_a^b {k.f\left( x \right)dx = \int_a^b {kdx} .\int_a^b {f\left( x \right)dx} }$
$\int_a^b {k.f\left( x \right)dx = \int_a^b {f\left( {kx} \right)dx} }$

Đáp án:

$\int_a^b {k.f\left( x \right)dx = k.\int_a^b {f\left( x \right)dx} }$

Phương pháp giải:

Tính chất của tích phân.

Lời giải chi tiết:

$\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4:

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục và không âm trên đoạn $\left[ {a;\,b} \right]$ . Diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a,\,\,x = b$ được tính theo công thức nào dưới đây? (Hình dưới)

$S = \pi \int_a^b {f\left( x \right)dx}$
$S = \pi \int_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx}$
$S = - \int_a^b {f\left( x \right)dx}$
$S = \int_a^b {f\left( x \right)dx}$

Đáp án:

$S = \int_a^b {f\left( x \right)dx}$

Phương pháp giải:

Tính chất của tích phân.

Diện tích hình giới hạn bởi đồ thị $y = f\left( x \right)$ với trục hoành và các đường thẳng $x = a;x = b\left( {a < b} \right)$ là: $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$

Lời giải chi tiết:

$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$ $= \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$ do $f\left( x \right) > 0\forall x \in \left[ {a;b} \right]$ .

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5:

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;\,b} \right]$ . Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a,\,\,x = b$ được tính theo công thức

$S = \int_a^b {f\left( x \right)dx}$
$S = \pi \int_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$
$S = \int_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$
$S = \pi \int_a^b {f\left( x \right)dx}$

Đáp án:

$S = \int_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$

Phương pháp giải:

Công thức tính diện tích.

Lời giải chi tiết:

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6:

Thể tích $V$ của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ , trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = a,\,\,x = b$ ( $a < b$ ) quanh trục $Ox$ được tính theo công thức

$V = \int_a^b {{f^2}\left( x \right)dx}$
$V = \int_a^b {f\left( x \right)dx}$
$V = \pi \int_a^b {f\left( x \right)dx}$
$V = \pi \int_a^b {{f^2}\left( x \right)dx}$

Đáp án:

$V = \pi \int_a^b {{f^2}\left( x \right)dx}$

Phương pháp giải:

Công thức tính thể tích.

Lời giải chi tiết:

$V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx}$ .

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7:

Cho hai hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;\,b} \right]$ . Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đó và các đường thẳng $x = a,\,\,x = b$ được tính theo công thức

$S = \int_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx}$
$S = \pi \int_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$
$S = \int_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$
$S = \pi \int_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx}$

Đáp án:

$S = \int_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$

Phương pháp giải:

Công thức tính diện tích hình giới hạn bởi 2 đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8:

Phần ảo của số phức $z = 2 + 3i$ là

$3i$
2
$2i$
3

Đáp án:

Phương pháp giải:

Số phức $z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$ có phần thực là a và phần ảo là b, i là đơn vị ảo.

Lời giải chi tiết:

Số phức $z = 2 + 3i$ có phần thực là 2, phần ảo là 3.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9:

Tính môđun của số phức $z = a + bi\,\,\,\left( {a,\,b \in \mathbb{R}} \right)$

$\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$
$\left| z \right| = {a^2} + {b^2}$
$\left| z \right| = a + b$
$\left| z \right| = a - b$

Đáp án:

$\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$

Phương pháp giải:

Tìm mô đun của số phức

Lời giải chi tiết:

Mô đun của số phức là $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$ .

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10:

Số phức liên hợp của số phức $z = 2 + 3i$ là

$- 2 + 3i$
$3 + 2i$
$3 - 2i$
$2 - 3i$

Đáp án:

$2 - 3i$

Phương pháp giải:

Số phức liên hợp của $z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$ là $\overline z = a - bi$

Lời giải chi tiết:

$\overline z = 2 - 3i$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11:

Trên mặt phẳng tọa độ điểm biểu diễn số phức $z = - 1 + 2i$ là điểm nào trong các điểm sau? (hình vẽ dưới)

Đáp án:

Phương pháp giải:

Số phức $z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$ có điểm biểu diễn là $M\left( {a;b} \right)$

Lời giải chi tiết:

$z = - 1 + 2i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow P\left( { - 1;2} \right)$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12:

Cho hai số phức ${z_1} = 2 + 3i$ và ${z_2} = 1 - 2i$ . Tính ${z_1} + {z_2}$

$3 + i$
$3 - 2i$
$3 + 5i$
$3 - 5i$

Đáp án:

$3 + i$

Phương pháp giải:

Lấy phần thực cộng với phần thực, phần ảo cộng với phần ảo.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = \left( {2 + 3i} \right) + \left( {1 - 2i} \right)\\ = \left( {2 + 1} \right) + \left( {3i - 2i} \right) = 3 + i\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13:

Tính số phức $z = \left( {2 + i} \right).i$

$1 - 2i$
$1 + 2i$
$- 1 + 2i$
$- 1 - 2i$

Đáp án:

$- 1 + 2i$

Phương pháp giải:

Nhân 2 số phức.

Lời giải chi tiết:

$z = \left( {2 + i} \right)i = 2i + {i^2} = 2i - 1$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14:

Tìm tất cả các căn bậc hai của $- 4$

$2i$ .
$2$ .
$2$ và $- 2$ .
$2i$ và $- 2i$ .

Đáp án:

$2i$ và $- 2i$ .

Phương pháp giải:

Giải phương trình bậc hai ${z^2} = - 4$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}{z^2} = - 4 \Leftrightarrow {z^2} = {\left( {2i} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 2i\\z = - 2i\end{array} \right.\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15:

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai véc tơ $\overrightarrow a = \left( {1;2; - 3} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {3; - 2; - 1} \right)$ bằng

Đáp án:

Phương pháp giải:

Tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right),\overrightarrow n \left( {x;y;z} \right)$ là: $\overrightarrow u .\overrightarrow v = ax + by + cz$ .

Lời giải chi tiết:

$\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.3 + 2.\left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right).\left( { - 1} \right) = 2$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16:

Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right):x - 2y + 3z - 2 = 0$ ?.

$M\left( {1; - 2;3} \right)$ .
$N\left( {1; - 2; - 1} \right)$ .
$P\left( {1; - 2;1} \right)$ .
$Q\left( { - 1;2;1} \right)$ .

Đáp án:

$N\left( {1; - 2; - 1} \right)$ .

Phương pháp giải:

Điểm $M\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right) \in \left( P \right):ax + by + cz = 0$ $\Leftrightarrow a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} = 0$ .

Lời giải chi tiết:

Thay lần lượt tọa độ các điểm vào $\left( \alpha \right)$ ta thấy:

$1 - 2.\left( { - 2} \right) + 3.\left( { - 1} \right) - 2 = 0$

Điểm N thuộc $\left( \alpha \right)$ .

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây song song với mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x + 3y - z + 1 = 0$ ?

$4x + 6y - 2z + 2 = 0$ .
$2x + 3y + z - 1 = 0$ .
$- 4x - 6y + 2z + 2 = 0$ .
$x + y + 5z + 1 = 0$ .

Đáp án:

$- 4x - 6y + 2z + 2 = 0$ .

Phương pháp giải:

Hai mặt phẳng (P): ${a_1}x + {b_1}y + {c_1}z + {d_1} = 0$ và (Q): ${a_2}x + {b_2}y + {c_2}z + {d_2} = 0$ $\left( {{a_1},{b_2},{c_2},{d_2} \ne 0} \right)$ song song khi và chỉ khi: $\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}} \ne \frac{{{d_1}}}{{{d_2}}}$

Lời giải chi tiết:

${\overrightarrow n _{\left( \alpha \right)}} = \left( {2;3; - 1} \right)$ . Ta có:

Đáp án A sai vì mặt phẳng này trùng với $\left( \alpha \right)$ .

Đáp án B, D sai vì vecto pháp tuyến của mặt phẳng này không song song với ${\overrightarrow n _{\left( \alpha \right)}}$ .

Đáp án C đúng vì $\overrightarrow n = \left( { - 4; - 6;2} \right)$ . Khi đó

$\frac{{ - 4}}{2} = \frac{{ - 6}}{2} = \frac{2}{{ - 1}} \ne \frac{2}{1}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18:

Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây không thuộc đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{3}$ ?

M(1; 0; -1).
N(4; 2; 2).
P(7; 4; -7).
Q(-2; -2; -4).

Đáp án:

P(7; 4; -7).

Phương pháp giải:

Điểm $M\left( {m,n,p} \right) \in d:$ $\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}$ $\Leftrightarrow \frac{{m - {x_0}}}{a} = \frac{{n - {y_0}}}{b} = \frac{{p - {z_0}}}{c}$ .

Lời giải chi tiết:

Thay lần lượt các đáp án vào d:

Ta thấy khi thay P vào d thì có : $\frac{{7 - 1}}{3} = \frac{4}{2} \ne \frac{{ - 7 + 1}}{3}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 2t{\rm{ }}}\end{array}} \right.$ có một véc tơ chỉ phương $\overrightarrow u$ là

$\overrightarrow u = \left( {1; - 1;0} \right)$ .
$\overrightarrow u = \left( {2;1;2} \right)$ .
$\overrightarrow u = \left( {1; - 1;2} \right)$ .
$\overrightarrow u = \left( {2;1;0} \right)$ .

Đáp án:

$\overrightarrow u = \left( {1; - 1;2} \right)$ .

Phương pháp giải:

Vecto chỉ phương của đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$ là $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$

Lời giải chi tiết:

$\overrightarrow u = \left( {1; - 1;2} \right)$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm M(3; -2; 1) và nhận véc tơ $\overrightarrow u = \left( {4; - 3;5} \right)$ làm véc tơ chỉ phương có phương trình tham số là

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 4t}\\{y = - 2 - 3t}\\{z = 1 + 5t}\end{array}} \right.$ .
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4 + 3t}\\{y = - 3 - 2t}\\{z = 5 + t}\end{array}} \right.$ .
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 4t}\\{y = 2 - 3t}\\{z = 1 + 5t}\end{array}} \right.$ .
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 4t}\\{y = - 2 - 3t}\\{z = 1 - 5t}\end{array}} \right.$ .

Đáp án:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 4t}\\{y = - 2 - 3t}\\{z = 1 + 5t}\end{array}} \right.$ .

Phương pháp giải:

Đường thẳng qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và nhận $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$ làm vecto chỉ phương là:

$d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$ .

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng qua M(3; -2; 1) và nhận $\overrightarrow u = \left( {4; - 3;5} \right)$ làm vecto chỉ phương là:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 4t}\\{y = - 2 - 3t}\\{z = 1 + 5t}\end{array}} \right.$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^{2x}}$ là

$\frac{1}{2}{e^{2x}} + C$ .
${e^{2x}} + C$ .
$2{e^{2x}} + C$ .
$2x.{e^{2x}} + C$ .

Đáp án:

$\frac{1}{2}{e^{2x}} + C$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức:

$\int {{e^{ax + b}}dx} = \frac{1}{a}{e^{ax + b}} + C$

Lời giải chi tiết:

$\int {f\left( x \right)dx} = \int {{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22:

Nếu đặt $t = {x^2}$ thì tích phân $\int_0^2 {x.{e^{{x^2}}}dx}$ trở thành tích phân nào trong các tích phân sau?

$\int_0^4 {{e^t}dt}$ .
$\frac{1}{2}\int_0^2 {{e^t}dt}$ .
$\frac{1}{2}\int_0^4 {{e^t}dt}$ .
$\int_0^2 {{e^t}dt}$ .

Đáp án:

$\frac{1}{2}\int_0^4 {{e^t}dt}$ .

Phương pháp giải:

Đặt $t = {x^2} \Rightarrow dx = 2tdt$ .

Đổi cận ẩn x sang ẩn t.

Đưa tích phân về ẩn t.

Lời giải chi tiết:

Đặt $t = {x^2} \Rightarrow dx = 2tdt$

Đổi cận:

$= > I = \frac{1}{2}\int\limits_0^4 {{e^t}dt}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23:

Tính tích phân $I = \int_0^1 {{2^x}dx}$

$\frac{2}{{\ln 2}}$ .
$\ln 2$ .
$2.\ln 2$ .
$\frac{1}{{\ln 2}}$ .

Đáp án:

$\frac{1}{{\ln 2}}$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng nguyên hàm: $I = \int {{2^x}dx} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$

Lời giải chi tiết:

$I = \int\limits_0^1 {{2^x}dx} = \left. {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right|_0^1 = \frac{1}{{\ln 2}}$ x.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24:

Cho tích phân $I = \int_1^3 {x.\ln xdx}$ . Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau

$I = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right)} \right|_1^3 - \int_1^3 {xdx}$ .
$I = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right)} \right|_1^3 - \frac{1}{2}\int_1^3 {xdx}$ .
$I = \left. {\left( {{x^2}\ln x} \right)} \right|_1^3 - \int_1^3 {xdx}$ .
$I = \left. {\left( {{x^2}\ln x} \right)} \right|_1^3 - \frac{1}{2}\int_1^3 {xdx}$ .

Đáp án:

$I = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right)} \right|_1^3 - \frac{1}{2}\int_1^3 {xdx}$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}I = \int\limits_1^3 {x\ln xdx} \\ = \int\limits_1^3 {\frac{1}{2}\ln x} d{x^2}\\ = \left. {\frac{{{x^2}\ln x}}{2}} \right|_1^3 - \frac{1}{2}\int\limits_1^3 {{x^2}d\left( {\ln x} \right)} \\ = \left. {\frac{{{x^2}\ln x}}{2}} \right|_1^3 - \frac{1}{2}\int\limits_1^3 {xdx} \end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25:

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;\,c} \right]$ có đồ thị như hình vẽ bên, biết $\int_a^b {f\left( x \right)dx = - 2}$ và $\int_b^c {f\left( x \right)dx = 3}$ . Tính diện tích $S$ của hình phẳng được tô đậm

$S = 1$ .
$S = 3.$
$S = 5$ .
$S = 7.$

Đáp án:

$S = 5$ .

Phương pháp giải:

Diện tích hình phẳng bằng: $\int_a^c {\left| {f\left( x \right)} \right|dx = \int_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} }$ $+ \int_b^c {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$

Xét dấu của f(x) trong [a;b] và [b;c].

$\left| {f\left( x \right)} \right| = f\left( x \right) \Leftrightarrow$ đồ thị nằm bên trên trục Ox.

$\left| {f\left( x \right)} \right| = - f\left( x \right) \Leftrightarrow$ đồ thị nằm bên dưới trục Ox.

Lời giải chi tiết:

$S = \int_a^c {\left| {f\left( x \right)} \right|dx = \int_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} }$ $+ \int_b^c {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$

$\begin{array}{l} = \int_a^b { - f\left( x \right)dx} + \int_b^c {f\left( x \right)dx} \\ = 2 + 3 = 5\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26:

Tính diện tích $S$ hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2} - 4$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 0,\,\,x = 1$

$S = - \frac{{11}}{3}$ .
$S = \frac{8}{3}$ .
$S = \frac{{11}}{3}$ .
$S = \frac{5}{3}$ .

Đáp án:

$S = \frac{{11}}{3}$ .

Phương pháp giải:

Tính diện tích $S$ hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a,x = b$ là $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$

Xét dấu của f(x) trong [a;b].

Lời giải chi tiết:

$S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {4 - {x^2}} \right)dx} = \frac{{11}}{3}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27:

Trong các số phức sau số phức nào là số thuần ảo?

$z = 2 + i$ .
$z = 3 - i$ .
$z = 2$ .
$z = i$ .

Đáp án:

$z = i$ .

Phương pháp giải:

Số thuần ảo là số có dạng $z = bi,\left( {b \in \mathbb{R}} \right)$

Lời giải chi tiết:

$z = i$ là số thuần ảo.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28:

Biết rằng tập hợp các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| {z - 1} \right| = 2$ là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm đường tròn đó.

$\left( { - 1;\,0} \right)$ .
$\left( {1;\,0} \right)$ .
$\left( {0;\,1} \right)$ .
$\left( {0;\, - 1} \right)$ .

Đáp án:

$\left( {1;\,0} \right)$ .

Phương pháp giải:

Tập hợp điểm biểu diễn z thỏa mãn $\left| {z - {z_0}} \right| = R$ là đường tròn tâm $M\left( {{z_0}} \right)$ bán kính R.

Lời giải chi tiết:

$\left| {z - 1} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {z - \left( {1 + 0.i} \right)} \right| = 2$

=> Tập hợp điểm biểu diễn z là đường tròn tâm I(1;0) bán kính 2.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29:

Tìm số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $2z + \overline z = 3 + 4i$

$z = 3 + 4i$ .
$z = 1 - 4i$ .
$z = 1 + 4i$ .
$z = 3 - 4i$ .

Đáp án:

$z = 1 + 4i$ .

Phương pháp giải:

Đặt $z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$

Tìm $\overline z$ và sử dụng cách đồng nhất hệ số để tìm a và b.

Lời giải chi tiết:

Đặt $z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$

$\begin{array}{l}2z + \overline z = 3 + 4i\\ \Leftrightarrow 2\left( {a + bi} \right) + a - bi = 3 + 4i\\ \Leftrightarrow 3a + bi = 3 + 4i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 4\end{array} \right. \Rightarrow z = 1 + 4i\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30:

Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $i.z = 1 + 2i$ . Phần thực của số phức $z$ bằng

$1$ .
$- 1$ .
$2$ .
$- 2$ .

Đáp án:

$2$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất $z.{z_1} = {z_2} \Leftrightarrow z = \frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}$ và $\frac{1}{z} = \frac{{\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}}$ .

Phần thực của số phức $z = a + bi$ là a.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}i.z = 1 + 2i\\ \Leftrightarrow z = \frac{{1 + 2i}}{1}\\ \Leftrightarrow z = \frac{{\left( {1 + 2i} \right)\left( { - i} \right)}}{1}\\ \Leftrightarrow z = 2 - i\end{array}$

=> Phần thực là 2.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31:

Gọi ${z_1},\,\,{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} + 2z + 5 = 0$ . Tính $\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|$

$\sqrt 5$ .
$\sqrt {13}$ .
$2\sqrt {13}$ .
$2\sqrt 5$ .

Đáp án:

$2\sqrt 5$ .

Phương pháp giải:

${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $a{z^2} + bz + c = 0$ thì $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|$ và

${z_1}.{z_2} = \frac{c}{a}$

Lời giải chi tiết:

${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} + 2z + 5 = 0$ nên $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|$ .

Mà theo Vi-et ta có: ${z_1}.{z_2} = 5 = > \left| {{z_1}.{z_2}} \right| = \left| 5 \right|$ .

=> $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 5 \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2\sqrt 5$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2 = 0$ có bán kính bằng

2.
$\sqrt 3$ .
$\sqrt 6$ .
$\sqrt 7$ .

Đáp án:

$\sqrt 7$ .

Phương pháp giải:

Đưa phương trình mặt cầu về dạng ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$ .

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2z - 4y - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 7\end{array}$

=> (S) là mặt cầu tâm $I\left( { - 1;2;0} \right)$ bán kính $R = \sqrt 7$ .

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (Oxy) có một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow n$ là

$\overrightarrow n = \left( {1;1;0} \right)$ .
$\overrightarrow n = \left( {1;0;0} \right)$ .
$\overrightarrow n = \left( {0;1;0} \right)$ .
$\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)$ .

Đáp án:

$\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)$ .

Phương pháp giải:

Mặt phẳng (Oxy) có một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow k = \left( {0,0,1} \right)$ .

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng (Oxy) có một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {0,0,1} \right)$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34:

Khoảng cách từ điểm $M\left( {1;\,2;\,3} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y + 2z - 1 = 0$ bằng

$\frac{7}{3}$ .
$\frac{5}{3}$ .
$\frac{2}{3}$ .
$\frac{{10}}{3}$ .

Đáp án:

$\frac{{10}}{3}$ .

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ điểm $M\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):ax + by + cz + d = 0$ bằng:

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$

Lời giải chi tiết:

Khoảng cách từ điểm $M\left( {1;2;3} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y + 2z - 1 = 0$ bằng

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.2 + 2.3 - 1} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }}$ $= \frac{{10}}{3}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm $M\left( {1;2; - 3} \right),N\left( {3;4;5} \right)$ có phương trình tham số là

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = 3 + t}\\{z = 1 + 4t}\end{array}} \right.$ .
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + 2t}\\{z = 3 + 8t}\end{array}} \right.$ .
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + t}\\{y = 4 - t}\\{z = 5 + 4t}\end{array}} \right.$ .
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - 2t}\\{y = 2 - 2t}\\{z = - 3 + 8t}\end{array}} \right.$

Đáp án:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = 3 + t}\\{z = 1 + 4t}\end{array}} \right.$ .

Phương pháp giải:

Tìm $\overrightarrow {MN}$ .

Đường thẳng đi qua 2 điểm M,N nhận $k.\overrightarrow {MN} \left( {k \ne 0} \right)$ làm vecto chỉ phương.

Lời giải chi tiết:

$\overrightarrow {MN} = \left( {2;2;8} \right)$

Đường thẳng đi qua 2 điểm M,N nhận $\overrightarrow u = \left( {1;1;4} \right)$ làm vecto chỉ phương nên loại C, D.

Thay tọa độ điểm M vào đáp án A ta tìm được $t = - 1$ .

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36:

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

$\int {\sqrt {x + 1} dx = \frac{1}{2}\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} + C}$ .
$\int {\sqrt {x + 1} dx = \frac{2}{3}x\sqrt {x + 1} + C}$ .
$\int {\sqrt {x + 1} dx = \frac{1}{2}x\sqrt {x + 1} + C}$ .
$\int {\sqrt {x + 1} dx = \frac{2}{3}\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} + C}$ .

Đáp án:

$\int {\sqrt {x + 1} dx = \frac{2}{3}\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} + C}$ .

Phương pháp giải:

Biến đổi $\sqrt {x + 1} = {\left( {x + 1} \right)^{\frac{1}{2}}}$ .

Sử dụng công thức $\int {{{\left( {ax + b} \right)}^m}dx} = \frac{1}{a}.\frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{m + 1}}}}{{m + 1}} + C$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\int {\sqrt {x + 1} dx} = \int {{{\left( {x + 1} \right)}^{\frac{1}{2}}}dx} \\ = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C\\ = \frac{2}{3}\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} + C\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37:

Biết rằng số phức $z = a + bi\,\,\,\left( {a,\,b \in \mathbb{R}} \right)$ thỏa mãn $i.z + 2.\overline z = 6 + 3i$ . Tính $a - b$

$2$ .
$4$ .
$3$ .
$1$ .

Đáp án:

$3$ .

Phương pháp giải:

Số phức liên hợp của $z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$ là $\overline z = a - bi$

Thay vào biểu thức $i.z + 2.\overline z = 6 + 3i$ tìm a và b.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}i.z + 2.\overline z = 6 + 3i\\ \Leftrightarrow i\left( {a + bi} \right) + 2\left( {a - bi} \right) = 6 + 3i\\ \Leftrightarrow \left( {a - 2b} \right)i + 2a - b = 6 + 3i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 2b = 3\\2a - b = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 0\end{array} \right.\end{array}$

$\Rightarrow a - b = 3$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38:

Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 1 - {x^2},\,y = 0$ quanh trục $Ox$ .

$\frac{4}{3}$ .
$\frac{{4\pi }}{3}$ .
$\frac{{16}}{{15}}$ .
$\frac{{16\pi }}{{15}}.$

Đáp án:

$\frac{{16\pi }}{{15}}.$

Phương pháp giải:

Tìm hoành độ giao điểm của 2 đồ thị $y = 1 - {x^2},\,y = 0$ .

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f\left( x \right),y = 0$ , $x = a,x = b\left( {a < b} \right)$ quanh trục $Ox$ là $I = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx}$

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của 2 đồ thị $y = 1 - {x^2},y = 0$ là nghiệm của phương trình:

$1 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 1 - {x^2},y = 0$ quanh trục $Ox$ là

$\begin{array}{l}I = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}dx} \\ = \frac{{16\pi }}{{15}}\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39:

Tính tích phân $I = \int_1^4 {\frac{{\sqrt x + f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx}$ biết rằng $\int_1^2 {f\left( x \right)dx = 2}$

$I = 7$ .
$I = 5$ .
$I = 8$ .
$I = 9$ .

Đáp án:

$I = 7$ .

Phương pháp giải:

Tách tích phân thành $\int\limits_1^4 {1dx} + \int\limits_1^4 {\frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx}$

Đổi biến số $t = \sqrt x$ tính $\int\limits_1^4 {\frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx}$ .

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}I = \int\limits_1^4 {\frac{{\sqrt x + f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} \\ = \int\limits_1^4 {1dx} + \int\limits_1^4 {\frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} \\ = 3 + 2\int\limits_1^4 {f\left( {\sqrt x } \right)d\left( {\sqrt x } \right)} \end{array}$

Đặt $t = \sqrt x$

Đổi cận:

$= > I = 3 + 2\int\limits_1^2 {f\left( t \right)dt} = 3 + 2.2 = 7$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40:

Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\frac{{2z}}{i} + \left| z \right|.i = 3$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

$0 < \left| z \right| < 1$ .
$1 < \left| z \right| < 2$ .
$2 < \left| z \right| < 3$ .
$3 < \left| z \right| < 4$ .

Đáp án:

$1 < \left| z \right| < 2$ .

Phương pháp giải:

Nhân 2 vế với i.

Đặt $z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$

Biếnđổi biểu thức rồi đồng nhất hệ số tìm ${a^2},{b^2}$ .

Mô đun $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$ .

Lời giải chi tiết:

$\frac{{2z}}{i} + \left| z \right|.i = 3$ . Nhân 2 vế với i.

Ta được:

$2z - \left| z \right| = 3i$

Đặt $z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$

$\begin{array}{l}2z - \left| z \right| = 3i\\ \Leftrightarrow 2\left( {a + bi} \right) - \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 3i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 0\\2b = 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\{a^2} + {b^2} = 4{a^2}\\b = \frac{3}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = \frac{3}{4}\\b = \frac{3}{2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt 3 \\ \Rightarrow 1 < \left| z \right| < 2\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 41:

Gọi ${z_0}$ là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình ${z^4} + {z^2} - 6 = 0$ . Tính $i.{z_0}$

$\sqrt 3$ .
$- \sqrt 3$ .
$\sqrt 2 .i$ .
$- \sqrt 2 .i$ .

Đáp án:

$- \sqrt 3$ .

Phương pháp giải:

Giải phương trình trùng phương $a{x^4} + b{x^2} + c = 0$ tìm nghiệm phức có phần ảo dương.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}{z^4} + {z^2} - 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = 2\\{z^2} = - 3 = {\left( {\sqrt 3 i} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \sqrt 2 \\z = - \sqrt 2 \\z = \sqrt 3 i\\z = - \sqrt 3 i\end{array} \right.\\ \Rightarrow {z_0} = \sqrt 3 i \Rightarrow i{z_0} = - \sqrt 3 \end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 42:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;-2;0), B(-3;6;2). Mặt cầu đường kính AB có phương trình là

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 21$ .
${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 21$ .
${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9$ .
${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9$ .

Đáp án:

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 21$ .

Phương pháp giải:

Mặt cầu đường kính AB có tâm là M bán kính $R = \frac{{AB}}{2}$

Lời giải chi tiết:

M là trung điểm của AB

=> $M\left( { - 1;2;1} \right)$ .

Mặt cầu đường kính AB có tâm là M bán kính $R = \frac{{AB}}{2} = \sqrt {21}$ là:

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 21$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 43:

Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = 2, SB = 4. Gọi điểm M là trung điểm của SB. Biết khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (ABC) bằng $\frac{2}{3}$ . Tính độ dài cạnh SC

SC = 2.
SC = 4.
SC = 6.
SC = 8.

Đáp án:

SC = 6.

Phương pháp giải:

SA, SB, SC đôi một vuông góc nên $SH \bot \left( {ABC} \right)$ . Với H là trực tâm của tam giác ABC.

Tìm SH.

Kẻ $CN \bot AB$ và chứng minh $AB \bot SN$ .

Tam giác $SAB$ đường cao SN ứng với cạnh huyền có: $\frac{1}{{S{N^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}}$ .

Lời giải chi tiết:

SA, SB, SC đôi một vuông góc nên $SH \bot \left( {ABC} \right)$ . Với H là trực tâm của tam giác ABC.

Goi I là trung điểm của BH.

=> MI//SH

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SH = 2MI\\MI \bot \left( {ABC} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow MI = d\left( {M,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{2}{3}\\ \Rightarrow SH = 2MI = \frac{4}{3}\end{array}$

Kẻ $CN \bot AB$

$\begin{array}{l}SC \bot AB\\ \Rightarrow AB \bot \left( {SCN} \right)\\ \Rightarrow AB \bot SN\end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{S{N^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}} = \frac{5}{{16}}\\ \Rightarrow \frac{1}{{S{C^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} - \frac{1}{{S{N^2}}} = \frac{1}{4}\\ \Rightarrow SC = 2\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 44:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4 + 2t}\\{y = 2 - t}\\{z = 1 - 3t}\end{array}} \right.$ và ${d^{\bf{/}}}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 2{t^{\bf{/}}}}\\{y = 3 + {t^{\bf{/}}}}\\{z = 4 + 3{t^{\bf{/}}}}\end{array}} \right.$

Xét vị trí tương đối của $d$ và $d'$ .

d trùng với d’.
d song song với d’.
d cắt d’.
d chéo d’

Đáp án:

d trùng với d’.

Phương pháp giải:

Tìm ${\overrightarrow u _d}$ và ${\overrightarrow u _{d'}}$ . Nhận xét mối quan hệ giữa ${\overrightarrow u _d}$ và ${\overrightarrow u _{d'}}$ suy ra mối quan hệ giữa $d$ và $d'$ .

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}{\overrightarrow u _d} = \left( {2; - 1; - 3} \right),{\overrightarrow u _{d'}} = \left( { - 2;1;3} \right)\\ \Rightarrow {\overrightarrow u _d}//{\overrightarrow u _{d'}} \Rightarrow d//d'\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 45:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; 1; 3) và đường thẳng $\Delta :\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{2}$ . Gọi $\overrightarrow u = \left( {a;b;3} \right)$ là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng $\Delta$ và cắt trục Oy. Tính $a + b$

Đáp án:

Phương pháp giải:

Tìm ${\overrightarrow u _\Delta }$

$\overrightarrow u$ là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng $\Delta$ nên $\overrightarrow u \bot {\overrightarrow u _\Delta } \Rightarrow \overrightarrow u .{\overrightarrow u _\Delta } = 0$ .

Lập hệ phương trình giao điểm của d cắt Oy.

Tìm a,b.

Lời giải chi tiết:

${\overrightarrow u _\Delta } = \left( {1; - 2;2} \right)$

$\overrightarrow u = \left( {a;b;3} \right)$ là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng $\Delta$ nên $\overrightarrow u \bot {\overrightarrow u _\Delta } \Rightarrow \overrightarrow u .{\overrightarrow u _\Delta } = 0$ .

Hay $a - 2b + 6 = 0 \Leftrightarrow a = 2b - 6$

Có $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 1 + bt\\z = 3 + 3t\end{array} \right.$

Vì d cắt Oy nên hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2 + at = 0\\1 + bt = t'\\3 + 3t = 0\end{array} \right.$ có nghiệm

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}at = - 2\\bt = t' - 1\\t = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 4\\t = - 1\\t' = - 3\end{array} \right.\\ \Rightarrow a + b = 6\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 46:

Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $y = mx$ ( $m$ là tham số dương) và đồ thị hàm số $y = {x^2}$ bằng $1$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

$0 < m < 1$ .
$1 < m < 2$ .
$2 < m < 3$ .
$3 < m < 4$ .

Đáp án:

$1 < m < 2$ .

Phương pháp giải:

+ Tìm hoành độ giao điểm của đường thẳng $y = mx$ và đồ thị hàm số $y = {x^2}$ .

+ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $y = f\left( x \right)$ ( $m$ là tham số dương) và đồ thị hàm số $y = g\left( x \right)$ và các đường thẳng $x = a,x = b\left( {a < b} \right)$ bằng $I = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$

Giải phương trình $I = 1$ tìm m.

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của đường thẳng $y = mx$ và đồ thị hàm số $y = {x^2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} = mx \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = m\end{array} \right.$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $y = mx$ ( $m$ là tham số dương) và đồ thị hàm số $y = {x^2}$ bằng

$\begin{array}{l}I = \int\limits_0^m {\left| {{x^2} - mx} \right|dx} \\ = \int\limits_0^m {\left( {mx - {x^2}} \right)dx} \\ = \frac{{{m^3}}}{6}\\ \Rightarrow \frac{{{m^3}}}{6} = 1 \Leftrightarrow m = \sqrt[3]{6}\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 47:

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left( x \right) + f\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x.\cos x$ và $f\left( 0 \right) = 0$ . Tính tích phân $I = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {x.f'\left( x \right)dx}$

$I = - \frac{1}{4}$ .
$I = \frac{1}{4}$ .
$I = - \frac{3}{4}$ .
$I = - \frac{1}{2}$ .

Đáp án:

$I = - \frac{1}{4}$ .

Phương pháp giải:

+ Sử dụng phương pháp tích phân từng phần u=x,v=f(x).

+ Đổi biến số $t = \frac{\pi }{2} - x$

+ Sử dụng tính chất $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {f\left( t \right)dt}$ .

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xf'\left( x \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xd\left[ {f\left( x \right)} \right]} \\ = x.f\left( x \right) - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \end{array}$

Ta có $f\left( x \right) + f\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x.\cos x$ nên

$f\left( x \right) = \sin x.\cos x - f\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)$ thay vào I ta được:

$I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) - \sin x.\cos x} \right]dx}$

Đặt $t = \frac{\pi }{2} - x \Rightarrow x = \frac{\pi }{2} - t \Rightarrow dx = - dt$

Đổi cận:

$\begin{array}{l}I = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^0 {\left[ {f\left( t \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{2} - t} \right).\cos \left( {\frac{\pi }{2} - t} \right)} \right]\left( { - tdt} \right)} \\ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( t \right) - \sin t.\cos t} \right]dt} \\ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) - \sin x.\cos x} \right]dx} \\ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} { - \sin x.\cos x} - I = - \frac{1}{2} - I\\ \Rightarrow I = - \frac{1}{4}\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 48:

Cho số phức $z$ thỏa $\frac{{1 + 2i}}{{\bar z}} = \frac{{\left( {1 - i} \right).z}}{{{{\left| z \right|}^2}}} + 1 + 3i$ , giá trị của $\left| z \right|$ bằng

$\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}$ .
$\frac{{2\sqrt {10} }}{{10}}$ .
$\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}$ .
$\frac{{2\sqrt {10} }}{5}$ .

Đáp án:

$\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất: $\frac{z}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{1}{{\overline z }};\left| z \right| = \left| {\overline z } \right|$ , $\left| {{z_1}.{z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right|.\left| {{z_2}} \right|$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\frac{{1 + 2i}}{{\bar z}} = \frac{{\left( {1 - i} \right).z}}{{{{\left| z \right|}^2}}} + 1 + 3i\\ \Leftrightarrow \frac{{1 + 2i}}{{\bar z}} = \frac{{\left( {1 - i} \right)}}{{\overline z }} + 1 + 3i\\ \Leftrightarrow \frac{{1 + 2i - 1 + i}}{{\overline z }} = 1 + 3i\\ \Leftrightarrow \frac{{3i}}{{\overline z }} = 1 + 3i\\ \Rightarrow \frac{{\left| {3i} \right|}}{{\left| {\overline z } \right|}} = \left| {1 + 3i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| z \right| = \left| {\overline z } \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{3}\end{array}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 49:

Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức ${\rm{w}} = \frac{{1 + iz}}{{2 + z}}\,\,\,\left( {z \ne - 2} \right)$ là một đường thẳng. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \left| {z - 4i} \right|$ là

$6$ .
$7$ .
$5$ .
$8$ .

Đáp án:

$6$ .

Phương pháp giải:

Đặt ${\rm{w}} = x + yi$ .

Đưa về dạng $z.{z_1} = {z_2}$ rồi lấy mô đun 2 vế.

Biện luận ${\left| z \right|^2}$

Sử dụng bất đẳng thức $\left| {{z_1} \pm {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left|{{z_2}} \right|$ .

Lời giải chi tiết:

Đặt $w= x + yi$ .

Từ giả thiết $w= \frac{{1 + iz}}{{2 + z}} \Rightarrow w\left( {2 + z} \right) = 1 + iz$

$\Rightarrow z\left( w- i \right) = 1 - 2w$

$\Rightarrow z\left[ {x + yi - i} \right] = 1 - 2\left( {x + yi} \right)$ (1)

Lấy modun hai vế biểu thức (1) ta được

$\left| z \right|\sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {1 - 2x} \right)}^2} + {{\left( { - 2y} \right)}^2}}$

$\Rightarrow {\left| z \right|^2}\left( {{x^2} + {y^2} - 2y + 1} \right)$ $= \left( {4{x^2} + 4{y^2} - 4x + 1} \right)$ (2)

Từ (2) suy ra:

Nếu ${\left| z \right|^2} \ne 4$ thì tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w$ là đường tròn.

Nếu ${\left| z \right|^2} = 4$ thì tập hợp các điểm biểu diễn số phức ${\rm{w}}$ là đường thẳng thỏa mãn đề bài.

Suy ra $\left| z \right| = 2$

+ $P = \left| {z - 4i} \right| \le \left| z \right| + \left| {4i} \right| = 6$ . Dấu “=” xảy ra khi $z = - 2i$ vì z phải là số thuần ảo giống -4i. Vậy GTLN của P bằng $6$ .

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 50:

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 1; 2) và đường thẳng $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = t}\\{z = 1 - t}\end{array}} \right.$ . Xét mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cách điểm M một khoảng lớn nhất. Giả sử mặt phẳng (P) có phương trình dạng $ax + by + cz - 1 = 0$ . Tính $T = a + b + c$

T = 0.
T = 2.
T = 4.
T = 6.

Đáp án:

T = 2.

Phương pháp giải:

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d. Khi đó mp (P) thỏa yêu cầu bài toán vuông góc với MH tại H.

+ Tìm tọa độ điểm H sau đó viết ptmp (P)

Lời giải chi tiết:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d.

Goi (Q) là mặt phẳng qua M và vuông góc với d. Khi đó $\left( Q \right) \cap d = \left\{ H \right\}$

$\begin{array}{l}\left( Q \right):0\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 1} \right) - \left( {z - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow y - z + 1 = 0\end{array}$

$\Rightarrow H\left( {1;0;1} \right) \Rightarrow MH = \left( {0; - 1; - 1} \right)$

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cách điểm M một khoảng lớn nhất khi và chỉ khi $MH \bot \left( P \right)$ tại H. Hay

$\begin{array}{l}\left( P \right):0\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 0} \right) + \left( {z - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 0x + y + z - 1 = 0\end{array}$

$\Rightarrow T = a + b + c = 0 + 1 + 1 = 2$

Đáp án - Lời giải

Xem thêm các chương trình khác:

Bài trước

Bài sau

SGK Toán lớp 12