Video hướng dẫn giải
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
LG a
a) f(x)=2x3–3x2–12x+1 trên đoạn [−2;52].
Phương pháp giải:
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y=f(x) trên đoạn [a; b] ta làm như sau :
+) Tìm các điểm x1; x2; x3;...; xn thuộc đoạn [a; b] mà tại đó hàm số có đạo hàm f′(x)=0 hoặc không có đạo hàm.
+) Tính f(x1); f(x2); f(x3);...; f(xn) và f(a); f(b).
+) So sánh các giá trị tìm được ở trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của hàm số y=f(x) trên [a; b] và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của hàm số y=f(x) trên [a; b].
maxx∈[a; b]f(x)=max{f(x1);...; f(xn); f(a); f(b)}.minx∈[a; b]f(x)=min{f(x1);...; f(xn); f(a); f(b)}.
Lời giải chi tiết:
f(x)=2x3–3x2–12x+1 ⇒f′(x)=6x2–6x–12
f′(x)=0⇔x=−1 hoặc x=2
So sánh các giá trị:
f(−2)=−3; f(−1)=8;
f(2)=−19, f(52)=−332
Suy ra:
maxx∈[−2,52]f(x)=f(−1)=8minx∈[−2,52]f(x)=f(2)=−19
LG b
b) f(x)=x2lnx trên đoạn [1;e].
Lời giải chi tiết:
f(x)=x2lnx ⇒f′(x)=2xlnx+x>0,∀x∈[1,e] nên f(x) đồng biến.
Do đó:
maxx∈[1,e]f(x)=f(e)=e2minx∈[1,e]f(x)=f(1)=0
LG c
c) f(x)=xe−x trên nửa khoảng [0;+∞).
Lời giải chi tiết:
f(x)=xe−x ⇒f′(x)=e−x–xe−x=(1–x)e−x nên:
f′(x)=0⇔x=1,f′(x)>0,∀x∈(0,1) và f′(x)<0,∀x∈(1,+∞)
nên: maxx∈[0,+∞)f(x)=f(1)=1e.
Ngoài ra f(x)=xe−x≥0,∀x∈[0,+∞) và f(0)=0 suy ra
minx∈[0,+∞)f(x)=f(0)=0
LG d
d) f(x)=2sinx+sin2x trên đoạn [0;3π2].
Lời giải chi tiết:
f(x)=2sinx+sin2x ⇒f′(x)=2cosx+2cos2x
f′(x)=0⇔cos2x=−cosx ⇔ 2x = ± (π – x) + k2π
\displaystyle ⇔ x \in \left\{ { - \pi + k2\pi ;{\pi \over 3} + {{k2\pi } \over 3}} \right\}
Trong khoảng \displaystyle\left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right] , phương trình f’(x) = 0 chỉ có hai nghiệm là \displaystyle {x_1} = {\pi \over 3};{x_2} = \pi
So sánh bốn giá trị: f(0) = 0; \displaystyle f({\pi \over 3}) = {{3\sqrt 3 } \over 2};f(\pi ) = 0;f({{3\pi } \over 2}) = - 2
Suy ra:
\eqalign{ & \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]} f(x) = f({\pi \over 3}) = {{3\sqrt 3 } \over 2} \cr & \mathop {\min}\limits_{x \in \left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]} f(x) = f({{3\pi } \over 2}) = - 2 \cr}
