Đề bài
Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số \(m\), hàm số
\(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}m{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1\)
luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
B1: Tính \(y'\)
B2: Chứng tỏ phương trình \(y'=0\) luôn có 2 nghiệm phân biệt, với mọi m
Từ đó suy ra dấy của \(y'\) và sự tồn tại cực đại cực tiểu.
Lời giải chi tiết
TXĐ: \(D = \mathbb R.\)
Ta có: \(y'{\rm{ }} = {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}2mx{\rm{ }}-{\rm{ }}2{\rm{ }}\)
Xét phương trình: \(3{x^2}-2mx-2=0\)
Có: \(\Delta ' = {\rm{ }}{m^{2}} - (-2).3 = {\rm{ }}{m^{2}} +6 > {\rm{ }}0 \,\,\forall m \)
\(\Rightarrow\) phương trình \(y’ = 0\) luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\).
Giả sử \(x_1 < x_2\), ta có bảng biến thiên:
Dễ thấy hàm số đạt cực đại tại \(x=x_1\) và đạt cực tiểu tại \(x=x_2\).
Vậy hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.
