Đề bài
Cho khối lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh bằng a. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B′C′ và C′D′. Mặt phẳng (AEF) chia khối lập phương đó thành hai khối đa diện (H) và (H') trong đó (H) là khối đa diện chứa đỉnh A′. Tính thể tích của (H).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xác định thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (AEF).
Phân chia và lắp ghép các khối đa diện.
Tính thể tích của (H'): V(H′)=VC′EF.CB1D1−VA.BB1D−VDD1K
Lời giải chi tiết
Cách vẽ thiết diện:
Ta có EF//B′D′ mà B′D′//BD nên từ A kẻ đường song song với BD, cắt CD kéo dài tại D1 và CB kéo dài tại B1.
Nối B1E cắt BB′ tại G. Nối D1F cắt DD′ tại K.
Thiết diện là ngũ giác AGEFK.
Hình (H) là khối AGEFK.A′B′D′.
Theo giả thiết E là trung điểm của B′C′; F là trung điểm của C′D′, ta có BB1=BC=a=2B′E ⇒BG=2GB′=23a
Từ đó VA.BB1G=13AB.SBB1G=13a.12.a.23a=a39=V1
V(A.DD1K)=13.SΔDD1K.AD=19a3=V2
Ta có:
SΔCB1D1=12CB1.CD1=2a2;
SΔEC′F=12.C′E.C′F=a28
Chiều cao hình chóp cụt CB1D1.C′EFlà CC′=a
VCC1D1.C′EF=13a(2a2+a28+a22)=7a38
Thể tích của khối (H') bằng:
V(H′)=VCC1D1.C′EF−(V1+V2)=78a3−29a3=4772a3
Từ đó thể tích của khối (H) bằng:
V(H)=Vlập phương−V(H') = a3−4772a3=2572a3
