Đề bài
Trong hệ toạ độ OxyzOxyz, cho điểm M(2;1;0)M(2;1;0) và mặt phẳng (α):x+3y−z−27=0(α):x+3y−z−27=0. Tìm toạ độ điểm M′ đối xứng với M qua (α).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (α) và M′ là điểm đối xứng của M qua (α) thì H là trung điểm của đoạn thẳng MM′.
+) Xác định tọa độ hình chiếu H của M trên mặ phẳng (α).
+) Xác định tọa độ điểm M': {xM′=2xH−xMyM′=2yH−yMzM′=2zH−zM
Lời giải chi tiết
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (α) và M′ là điểm đối xứng của M qua (α) thì H là trung điểm của đoạn thẳng MM′. Xét đường thẳng ∆ qua M và ∆ vuông góc với (α).
Phương trình ∆ đi qua M và nhận →n(α)=(1;3;−1) là 1 VTCP có dạng:{x=2+ty=1+3tz=−t
Gọi H=Δ∩(α)⇒H(2+t;1+3t;−t)
Thay tọa độ điểm H vào phương trình (α) ta được: 2+t+3(1+3t)−(−t)−27=0⇒11t=22⇒t=2
⇒H(4;7;−2)
M và M′ đối xứng nhau qua (α) nên H là trung điểm của MM'
{xM′=2xH−xM=6yM′=2yH−yM=13zM′=2zH−zM=−4⇒M′(6;13;−4)
