Đề bài
Câu 1: Cho \(\int\limits_0^3 {{e^{\sqrt {x\, + \,1} }}.\dfrac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt {x + 1} }}} = a.{e^2} + b.e + c,\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên. Tính \(S = a + b + c.\)
A. \(S = 4.\)
B. \(S = 1.\)
C. \(S = 0.\)
D. \(S = 2.\)
Câu 2: Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = - \,{x^4} + 3{x^2} + 1\) trên \(\left[ {0;2} \right]\) là
A. \(y = - \,3.\)
B. \(y = 1.\)
C. \(y = \dfrac{{13}}{4}.\)
D. \(y = 29.\)
Câu 3: Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của đúng một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ?
A. \(y = \dfrac{{ - \,2x + 2}}{{x + 1}}.\)
B. \(y = \dfrac{{ - \,x + 2}}{{x + 2}}.\)
C. \(y = \dfrac{{2x - 2}}{{x + 1}}.\)
D. \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}.\)
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):3x - 2y + z + 6 = 0.\) Hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {2; - \,1;0} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có tọa độ là
A. \(\left( {1;0;3} \right).\)
B. \(\left( { - \,1;1; - \,1} \right).\)
C. \(\left( {2; - \,2;3} \right).\)
D. \(\left( {1;1; - \,1} \right).\)
Câu 5: Tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng \(a.\)
A. \(V = \dfrac{{{a^3}}}{3}.\)
B. \(V = \dfrac{{{a^3}}}{6}.\)
C. \(V = {a^3}.\)
D. \(V = \dfrac{{2{a^3}}}{3}.\)
Câu 6: Với các số thực dương a, b bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.\(\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b\).
B. \(\ln \dfrac{a}{b} = \dfrac{{\ln a}}{{\ln b}}\)
C. \(\ln \dfrac{a}{b} = \ln b - \ln a\).
D. \(\ln \left( {ab} \right) = \ln a.\ln b\).
Câu 7: Tìm đạo hàm của hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right).\)
A. \(y' = \dfrac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2}}.\)
B. \(y' = \dfrac{1}{{{x^2} + 1}}.\)
C. \(y' = \dfrac{1}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2}}.\)
D. \(y' = \dfrac{{2x}}{{{x^2} + 1}}.\)
Câu 8: Bất phương trình \({\log _4}\left( {x + 7} \right) > {\log _2}\left( {x + 1} \right)\) có tập nghiệm là
A. \(\left( {2;4} \right).\)
B. \(\left( { - \,3;2} \right).\)
C. \(\left( { - \,1;2} \right).\)
D. \(\left( {5; + \,\infty } \right).\)
Câu 9: Giá trị cực tiểu của hàm số \(y = {x^3} - 3x + 2\) là
A. \( - \,1.\)
B. \(4.\)
C. \(1.\)
D. \(0.\)
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) tính khoảng cách từ điểm \(M\left( {1;2; - \,3} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z - 2 = 0.\)
A. 3.
B. \(\dfrac{{11}}{3}.\)
C. \(\dfrac{1}{3}.\)
D. \(1.\)
Câu 11: Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {{{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right)} .\)
A. \(D = \left[ {1; + \,\infty } \right).\)
B. \(D = \left( {\dfrac{1}{2};1} \right].\)
C. \(D = \left( {\dfrac{1}{2};1} \right).\)
D. \(D = \left( {1; + \,\infty } \right).\)
Câu 12: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
A. \(\int {{e^x}\,{\rm{d}}x} = {e^x} + C.\)
B. \(\int {0\,{\rm{d}}x} = C.\)
C. \(\int {\dfrac{1}{x}\,{\rm{d}}x} = \ln x + C.\)
D. \(\int {\,{\rm{d}}x} = x + C.\)
Câu 13: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó ?
A. \(y = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x}.\)
B. \(y = {\left( {\dfrac{e}{\pi }} \right)^x}.\)
C. \(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}.\)
D. \(y = {\left( {0,5} \right)^x}.\)
Câu 14: Tích giá trị tất cả các nghiệm của phương trình \({\left( {\log {x^3}} \right)^2} - 20\log \sqrt x + 1 = 0\) bằng
A. \(10\sqrt[9]{{10}}\).
B. 10
C. 1
D. \(\sqrt[{10}]{{10}}\)
Câu 15: Tính thể tích khối chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng \(a\) và chiều cao bằng \(3a.\)
A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}.\)
B. \({a^3}.\)
C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\)
D. \(\dfrac{{{a^3}}}{3}.\)
Câu 16: Tìm tất cả giá trị của \(m\) để phương trình \({x^3} - 3x - m + 1 = 0\) có ba nghiệm phân biệt.
A. \(m = 1.\)
B. \(\left[ \begin{array}{l}m < - \,1\\m > 3\end{array} \right..\)
C. \( - \,1 \le m \le 3.\)
D. \( - \,1 < m < 3.\)
Câu 17: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a.\) Hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm tam giác \(ABD.\) Cạnh bên \(SD\) tạo với đáy một góc \({60^0}.\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD.\)
A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {15} }}{3}.\)
B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {15} }}{{27}}.\)
C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {15} }}{9}.\)
D. \(\dfrac{{{a^3}}}{3}.\)
Câu 18: Một lô hàng có 20 sản phẩm, trong đó có 4 phế phẩm. Lấy tùy ý 6 sản phẩm từ lô hàng đó. Hãy tính xác suất để trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá 1 phế phẩm.
A. \(\dfrac{7}{9}.\)
B. \(\dfrac{{91}}{{323}}.\)
C. \(\dfrac{{637}}{{969}}.\)
D. \(\dfrac{{91}}{{285}}.\)
Câu 19: Cho một khối nón có bán kính đáy là \(9\,\,cm,\) góc giữa đường sinh và mặt đáy là \({30^0}.\) Tính diện tích thiết diện của khối nón cắt bởi mặt phẳng đi qua hai đường sinh vuông góc với nhau.
A. \(162\,\,c{m^2}.\)
B. \(27\,\,c{m^2}.\)
C. \(\dfrac{{27}}{2}\,\,c{m^2}.\)
D. \(54\,\,c{m^2}.\)
Câu 20: Cho tích phân \(\int\limits_0^{\sqrt 7 } {\dfrac{{{x^3}\,{\rm{d}}x}}{{\sqrt[3]{{1 + {x^2}}}}}} = \dfrac{m}{n},\) với \(\dfrac{m}{n}\) là một phân số tối giản. Tính \(m - 7n.\)
A. 2.
B. 1.
C. 0.
D. 91.
Câu 21: Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp một hình lăng trụ tam giác đều có các cạnh đều bằng \(a.\)
A. \(\dfrac{{7\pi {a^2}}}{3}.\)
B. \(\dfrac{{3\pi {a^2}}}{7}.\)
C. \(\dfrac{{7\pi {a^2}}}{5}.\)
D. \(\dfrac{{7\pi {a^2}}}{6}.\)
Câu 22: Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt {6 - {x^2}} }}{{{x^2} + 3x - 4}}\) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận ?
A. 1.
B. 0.
C. 2.
D. 3.
Câu 23: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị \(y = {x^2} - 2x\) và \(y = - \,{x^2} + x.\)
A. \(6.\)
B. \(12.\)
C. \(\dfrac{9}{8}.\)
D. \(\dfrac{{10}}{3}.\)
Câu 24: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin x.f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} = f\left( 0 \right) = 1.\) Tính \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\cos x.f'\left( x \right)\,{\rm{d}}x} .\)
A. \(I = 2.\)
B. \(I = - \,1.\)
C. \(I = 1.\)
D. \(I = 0.\)
Câu 25: Số \({7^{100000}}\) có bao nhiêu chữ số ?
A. 85409.
B. 194591.
C. 194592.
D. 84510.
Câu 26: Phương trình \(\dfrac{1}{2}{\log _{\sqrt 3 }}\left( {x + 3} \right) + \dfrac{1}{2}{\log _9}{\left( {x - 1} \right)^4} = 2{\log _9}\left( {4x} \right)\) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt ?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 0.
Câu 27: Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 5 quyển sách lý, 6 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển sách được lấy ra có ít nhất một quyển sách là toán.
A. \(\dfrac{{33}}{{91}}.\)
B. \(\dfrac{{24}}{{455}}.\)
C. \(\dfrac{{58}}{{91}}.\)
D. \(\dfrac{{24}}{{91}}.\)
Câu 28: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho hàm số \(y = \dfrac{{mx + 4}}{{x + m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \,\infty ;1} \right).\)
A. \( - \,2 \le m \le - \,1.\)
B. \( - \,2 \le m \le 2.\)
C. \( - \,2 < m < 2.\)
D. \( - \,2 < m \le - \,1.\)
Câu 29: Tìm \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {2m - 1} \right)x + 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
A. \(m = 1.\)
B. Luôn thỏa mãn với mọi \(m.\)
C. Không có giá trị \(m\) thỏa mãn
D. \(m \ne 1.\)
Câu 30: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) tam giác\(SAB\) là tam giác đều nằm trong mặt phẳng tạo với đáy một góc \({60^0}.\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD.\)
A. \(\dfrac{{{a^3}}}{4}.\)
B. \(\dfrac{{3{a^3}}}{4}.\)
C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}.\)
D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\)
Câu 31: Tìm phần thực của số phức \(z_1^2 + z_2^2,\) biết rằng \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 4z + 5 = 0.\)
A. 4.
B. 6.
C. 8.
D. 5.
Câu 32: Giải phương trình \(\cos 3x.\tan 4x = \sin 5x\)
A. \(x = \dfrac{{k2\pi }}{3},\,\,x = \dfrac{\pi }{{16}} + \dfrac{{k\pi }}{8}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
B. \(x = k\pi ,\,\,x = \dfrac{\pi }{{16}} + \dfrac{{k\pi }}{8}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
C. \(x = k2\pi ,\,\,x = \dfrac{\pi }{{16}} + \dfrac{{k3\pi }}{8}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
D. \(x = \dfrac{{k\pi }}{2},\,\,x = \dfrac{\pi }{{16}} + \dfrac{{k3\pi }}{8}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Câu 33: Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \(y = {2^{\dfrac{{mx\, + \,1}}{{x\, + \,m}}}}\) nghịch biến trên \(\left( {\dfrac{1}{2}; + \,\infty } \right).\)
A. \(m \in \left[ { - \dfrac{1}{2};1} \right).\)
B. \(m \in \left( {\dfrac{1}{2};1} \right).\)
C. \(m \in \left[ {\dfrac{1}{2};1} \right].\)
D. \(m \in \left( { - \,1;1} \right).\)
Câu 34: Tính \(\lim \,n\left( {\sqrt {4{n^2} + 3} - \sqrt[3]{{8{n^3} + n}}} \right)\)
A. \( + \,\infty .\)
B. \( - \,\infty .\)
C. \(\dfrac{2}{3}.\)
D. \(1.\)
Câu 35: Cho số phức \(z = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i.\) Tìm số phức \(w = 1 + z + {z^2}.\)
A. \( - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i.\)
B. \(0.\)
C. \(1.\)
D. \(2 - \sqrt 3 i.\)
Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( {3; - \,2;3} \right),\,\,B\left( {1;0;5} \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{{ - \,2}} = \dfrac{{z - 3}}{2}.\) Tìm tọa độ điểm \(M\) trên đường thẳng \(\left( d \right)\) để \(M{A^2} + M{B^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
A. \(M\left( {2;0;5} \right).\)
B. \(M\left( {1;2;3} \right).\)
C. \(M\left( {3; - \,2;7} \right).\)
D. \(M\left( {3;0;4} \right).\)
Câu 37: Cho hình trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a.\) Hình chiếu vuông góc của điểm \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với trọng tâm tam giác \(ABC.\) Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\) bằng \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\) Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'.\)
A. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}.\)
B. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}.\)
C. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.\)
D. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}.\)
Câu 38: Một người vay ngân hàng 500 triệu đồng với lãi suất 0,5% trên 1 tháng. Theo thỏa thuận cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng 10 triệu đồng và cứ trả hàng tháng như thế cho đến khi hết nợ (tháng cuối cùng có thể trả dưới 10 triệu). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả được hết nợ ngân hàng.
A. 57.
B. 56.
C. 58.
D. 69.
Câu 39: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 3} \right)\left( {{x^4} - 1} \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}.\) Tính số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right).\)
A. 3.
B. 2.
C. 4.
D. 1.
Câu 40: Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn điều kiện \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} = 4,\,\,\int\limits_0^3 {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} = 6.\)
Tính \(I = \int\limits_{ - \,1}^1 {f\left( {\left| {2x + 1} \right|} \right)\,{\rm{d}}x} .\)
A. \(I = 6.\)
B. \(I = 3.\)
C. \(I = 4.\)
D. \(I = 5.\)
Câu 41: Xét các số thực dương x, y thỏa mãn \({\log _{\sqrt 3 }}\dfrac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x(x - 3) + y(y - 3) + xy\). Tìm giá trị \({P_{\max }}\) của biểu thức \(P = \dfrac{{3x + 2y + 1}}{{x + y + 6}}\).
A. \({P_{\max }} = 0\).
B. \({P_{\max }} = 2\) .
C. \({P_{\max }} = 1\).
D. \({P_{\max }} = 3\) .
Câu 42: Có 15 học sinh giỏi gồm 6 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh.
A. 5005.
B. 805.
C. 4250.
D. 4249.
Câu 43: Một nhà máy cần sản suất các hộp hình trụ kín cả hai đầu có thể tích \(V\) cho trước. Mối quan hệ giữa bán kính đáy \(R\) và chiều cao \(h\) của hình trụ để diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất là ?
A. \(R = 2h.\)
B. \(h = 2R.\)
C. \(h = 3R.\)
D. \(R = h.\)
Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho ba điểm \(A\left( {1;2;3} \right),\,\,B\left( {3;4;4} \right),\,\,C\left( {2;6;6} \right)\) và \(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\) Tính \(S = a + b + c.\)
A. \(\dfrac{{63}}{5}.\)
B. \(\dfrac{{46}}{5}.\)
C. \(\dfrac{{31}}{3}.\)
D. \(10.\)
Câu 45: Cho \({\log _9}x = {\log _{12}}y = {\log _{16}}\left( {x + 3y} \right).\) Tính giá trị \(\dfrac{x}{y}.\)
A. \(\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}.\)
B. \(\dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2}.\)
C. \(\dfrac{{3 + \sqrt {13} }}{2}.\)
D. \(\dfrac{{\sqrt {13} - 3}}{2}.\)
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho ba điểm \(A\left( {1;1;1} \right),\,\,B\left( {0;1;2} \right),\,\,C\left( { - \,2;1;4} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + z + 2 = 0.\) Tìm điểm \(N \in \left( P \right)\) sao cho \(S = 2N{A^2} + N{B^2} + N{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất
A. \(N\left( { - \,2;0;1} \right).\)
B. \(N\left( { - \,\dfrac{4}{3};2;\dfrac{4}{3}} \right).\)
C. \(N\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{5}{4};\dfrac{3}{4}} \right).\)
D. \(N\left( { - 1;2;1} \right).\)
Câu 47: Cho hàm số \(y = {x^4} - 2\left( {1 - {m^2}} \right){x^2} + m + 1.\) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất.
A. \(m = 0.\)
B. \(m = - \,\dfrac{1}{2}.\)
C. \(m = 1.\)
D. \(m = \dfrac{1}{2}.\)
Câu 48: Cho các số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}a + c > b + 1\\a + b + c + 1 < 0\end{array} \right..\) Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) và trục \(Ox.\)
A. 0.
B. 2.
C. 3.
D. 1.
Câu 49: Cho hai số thực \(x \ne 0,\,\,y \ne 0\) thay đổi và thỏa mãn điều kiện \(\left( {x + y} \right)xy = {x^2} + {y^2} - xy.\) Giá trị lớn nhất của biểu thức \(M = \dfrac{1}{{{x^3}}} + \dfrac{1}{{{y^3}}}\) là
A. 18.
B. 1.
C. 9.
D. 16.
Câu 50: Bạn Hoàn có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Hoàn muốn biến hình tròn đó thành một cái phễu hình nón. Khi đó Hoàn phải cắt bỏ hình quạt AOB rồi dán hai bán kính OA và OB lại với nhau (diện tích chỗ dán nhỏ không đáng kể). Gọi \(x\) là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu. Tìm \(x\) để thể tích phễu lớn nhất ?
A. \(\dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\pi .\)
B. \(\dfrac{\pi }{3}.\)
C. \(\dfrac{\pi }{2}.\)
D. \(\dfrac{\pi }{4}.\)
Lời giải chi tiết
| 1. D | 2. C | 3. A | 4. B | 5. C |
| 6. A | 7. A | 8. C | 9. D | 10. A |
| 11. B | 12. C | 13. C | 14. A | 15. B |
| 16. D | 17. C | 18. C | 19. D | 20.B |
| 21. A | 22. A | 23. C | 24. D | 25. D |
| 26. B | 27. C | 28. D | 29. A | 30. A |
| 31. B | 32. B | 33. A | 34. C | 35. B |
| 36. A | 37. B | 38. C | 39. A | 40. D |
| 41. C | 42. C | 43. B | 44. B | 45. D |
| 46. D | 47. A | 48. C | 49. D | 50. A |
Xem thêm: Lời giải chi tiết Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán tại Tuyensinh247.com
