Đề bài
Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn \(\overline z = \left( {1 - 3i} \right)\left( { - 2 + i} \right) = 2i\). Tính \(|z|\).
A. \(|z| = 2\).
B. \(|z| = 5\sqrt 2 \).
C. \(|z| = \sqrt {82} \).
D. \(|z| = 4\sqrt 5 \).
Câu 2. Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn \(|z + 1 - i| \le 3\).
A. Hình tròn tâm I(1 ; - 1) , bán kính R = 3.
B. Đường tròn tâm I(-1 ; 1), bán kính R = 9.
C. Hình tròn tâm I(- 1; 1), bán kính R = 3.
D. Đường tròn tâm I(-1 ; 1), bán kính R = 9.
Câu 3. Thu gọn số phức \(z = \dfrac{{3 + 2i}}{{1 - i}} + \dfrac{{1 - i}}{{3 + 2i}}\), ta được:
A. \(z = \dfrac{{15}}{{26}} + \dfrac{{55}}{{26}}i\).
B. \(z = \dfrac{{23}}{{26}} + \dfrac{{63}}{{26}}i\).
C. \(z = \dfrac{2}{{13}} + \dfrac{6}{{13}}i\).
D. \(z = \dfrac{{21}}{{26}} + \dfrac{{61}}{{26}}i\).
Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn \({z^2}\) là một số ảo là :
A. Trục hoành.
B. Trục tung.
C. Hai đường thẳng \(y = \pm x\)
D. Đường tròn \({x^2} + {y^2} = 1\).
Câu 5. Trong mặt phẳng phức, gọi A, B , C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức \({z_1} = - 1 + 3i\,,\,\,{z_2} = 1 + 5i\,,\,\,{z_3} = 4 + i\). Số phức z có điểm biểu diễn là điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành là:
A. \(z = 6 + 3i\).
B. \(z = 2 - i\).
C. \(z = 2 + i\).
D. \(z = 6 - 3i\).
Câu 6. Tìm số phức z thỏa mãn \(\left( {3 - 2i} \right)z + \left( {4 + 5i} \right) = 7 + 3i\).
A. \(z = - i\).
B. \(z = - 1\).
C. \(z = i\)
D. \(z = 1\).
Câu 7. Cho hai số phức \(z = a + bi\,,\,\,z' = a' + b'i\). Điều kiện để \(zz'\) là một số thực là :
A. \(ab' + a'b = 0\).
B. \(aa' + bb' = 0\).
C. \(aa' - bb' = 0\).
D. \(ab' - a'b = 0\).
Câu 8. Số phức liên hợp của số phức \(z = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}i\) là:
A. \(\overline z = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2}i\).
B. \(\overline z = - \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2}i\).
C. \(\overline z = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2}i\).
D. \(\overline z = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}i\).
Câu 9. Cho số phức z = 3 + 4i. Giá trị của \(S = 2|z| - 1\) bằng bao nhiêu ?
A. S = 10.
B. S = 9.
C. S = 11.
D. S = 5.
Câu 10. Tìm các số thực x, y thỏa mãn \(\left( {x + 2y} \right) + \left( {2x - 2y} \right)i = 7 - 4i\).
A. \(x = - \dfrac{{11}}{3}\,,\,\,y = \dfrac{1}{3}\).
B. \(x = - 1\,,\,y = - 3\).
C. x = 1, y = 3.
D. \(x = - \dfrac{{11}}{3}\,,\,\,y = - \dfrac{1}{3}\).
Câu 11. Gọi M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi,\,\,z' = a' + b'i\). Chọn câu trả lời đúng.
A. \(M(a;a')\). B. \(N(b;b')\).
C. M(a ; b). D. \(N(a';b')\).
Câu 12. Phần thực và phần ảo của số phức \(z = - \dfrac{{1 + i}}{{1 - i}}\) là:
A. 0 và 1. B. 0 và i.
C. 0 và -1. D. 0 và – i.
Câu 13. Nghiệm của phương trình \(3{z^2} - 4z + 2 = 0\) là:
A. \({z_1} = \dfrac{{ - 2 - i\sqrt 2 }}{3}\,,\,\,{z_2} = \dfrac{{ - 2 + i\sqrt 2 }}{3}\).
B. \({z_1} = \dfrac{{ - 2 - i\sqrt 2 }}{6}\,,\,\,{z_2} = \dfrac{{ - 2 + i\sqrt 2 }}{6}\)
C. \({z_1} = \dfrac{{2 - i\sqrt 2 }}{6}\,,\,\,{z_2} = \dfrac{{2 + i\sqrt 2 }}{6}\).
D. \({z_1} = \dfrac{{2 - i\sqrt 2 }}{3}\,,\,\,{z_2} = \dfrac{{2 + i\sqrt 2 }}{3}\).
Câu 14.Với hai số phức bất kì \({z_1},\,{z_2}\), khẳng định nào sau đây đúng ?
A. \(|{z_1} + {z_2}|\, \le \,|{z_1}| + |{z_2}|\).
B. \(|{z_1} + {z_2}|\, = \,|{z_1}| + |{z_2}|\).
C. \(|{z_1} + {z_2}|\, \ge \,|{z_1}| + |{z_2}|\).
D. \(|{z_1} + {z_2}|\, = \,|{z_1}| + |{z_2}| + |{z_1} - {z_2}|\).
Câu 15. Thực hiện phép tính \(A = \dfrac{{2 + 3i}}{{1 + i}} + \dfrac{{3 - 4i}}{{1 - i}} + i\left( {4 + 9i} \right)\). Ta có:
A. A = 3 + 4i.
B. A = - 3 + 4i.
C. A = 3 - 4i
D. A = - 3 – 4i.
Câu 16. Cho số phức z có \(|z| = 2\) thì số phức \(w = z + 3i\) có mô đun nhỏ nhất và lớn nhất lần lượt là:
A. 2 và 5. B. 1 và 6 .
C. 2 và 6. D. 1 và 5.
Câu 17. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \(|z + 3 - 3i| = 5\) là:
A. Đường tròn tâm I(-3 ; 3) bán kính R = 5.
B. Đường tròn tâm I(-3 ; -3) bán kính R = 5.
C. Đường tròn tâm I(3 ; 3) bán kính R = 5.
D. Đường tròn tâm I(3 ; -3) bán kính R = 5.
Câu 18. Gọi \(\varphi \) là một acgumen của z, chọn mệnh đề đúng .
A. \(\varphi + \pi \) là một acgumen của z.
B. \(\varphi - \pi \) là một acgumn của z.
C. \(\varphi - 2\pi \) là một acgumen của z.
D. \(\varphi + 3\pi \) là một acgumen của z.
Câu 19. Số phức \(z = {\left( {1 - i} \right)^3}\) bằng :
A. 1 + i.
B. – 2 – 2i.
C. – 2 + 2i.
D. 4 + 4i.
Câu 20. Nghịch đảo của số phức \(z = 4 + 3i\)là
A. 4 – 3i .
B. \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3}i\).
C. \( - \dfrac{4}{5} + \dfrac{3}{5}i\).
C. \(\dfrac{4}{{25}} - \dfrac{3}{{25}}i\).
Câu 21. Cho A và B là các điểm biểu diễn các số phức \({z_1} = 1 + 2i\,,\,\,{z_2} = 1 - 2i\). Diện tích của tam giác OAB bằng:
A. 1 B. 2
C. 4 D. \(\dfrac{5}{2}\).
Câu 22. Cho số phức z có dạng lượng giác \(z = 4\left( {\cos \left( { - \pi } \right) + i\sin \left( { - \pi } \right)} \right)\). Dạng đại số của z là :
A. z = - 4. B. z = - i.
C. z = 4i. D. z = - 4i.
Câu 23. Cho các số phức \({z_1} = 1 - 4i\,,\,\,{z_2} = - 1 - 3i\). Hãy tính \(|{z_1} + {z_2}|\).
A. 7 B. 10
C. 12 D. 9
Câu 24. Cho số phức \(z = a + bi\). Tìm mệnh đề đúng.
A. \(z - \overline z = 2a\).
B. \(z + \overline z = 2a\).
C. \(|{z^2}| = |z{|^2}\).
D. \(z.\overline z = {a^2} - {b^2}\).
Câu 25. Với hai số phức bất kì \({z_1},\,{z_2}\), khẳng định nào sau đây đúng ?
A. \(|{z_1} + {z_2}|\, = \,|{z_1}| + |{z_2}|\).
B. \(|{z_1} + {z_2}|\, \ge \,|{z_1}| + |{z_2}|\).
C. \(|{z_1} - {z_2}|\,\, \le \,|{z_1}| + |{z_2}|\).
D. \(|{z_1} + {z_2}|\, = \,|{z_1}| + |{z_2}| + |{z_1} - {z_2}|\).
Lời giải chi tiết
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| C | C | A | C | B |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| D | A | B | B | C |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| C | C | D | A | B |
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| D | A | C | B | C |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| B | A | A | B | C |
Lời giải chi tiết
Câu 1: C
Đặt \(z = x + yi\)
\(\begin{array}{l}x - yi - \left( {1 - 3i} \right)( - 2 + i) = 2i\\ \Leftrightarrow x - yi - ( - 2 + 7i - 3{i^2}) = 2i\\ \Leftrightarrow x - yi - 1 - 7i = 2i\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\y + 7 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 9\end{array} \right. \\\Rightarrow z = 1 - 9i\\ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {1 + {{( - 9)}^2}} = \sqrt {82} \end{array}\)
Câu 2: C
Đặt \(z = x + yi\)
\(\eqalign{&\left| {z + 1 - i} \right| \le 3\cr& \Rightarrow \left| {x + yi + 1 - i} \right| \le 3\cr& \Leftrightarrow \left| {\left( {x + 1} \right) + \left( {y - 1} \right)} \right| \le 3\cr& \Rightarrow \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \le 3\cr}\)
Tập hợp biểu diễn số phức z à hình tròn tâm I( -1,1), bán kính \(r=3\)
Câu 3: A
\(\eqalign{z& = \dfrac{{3 + 2i}}{{1 - i}} + \dfrac{{1 - i}}{{3 + 2i}}\cr& = \dfrac{{{{\left( {3 + 2i} \right)}^2} + {{\left( {1 - i} \right)}^2}}}{{\left( {1 - i} \right)\left( {3 + 2i} \right)}}\cr&= \dfrac{{9 + 4{i^2} + 12i + 1 + {i^2} - 2i}}{{3 - 2{i^2} - i}}\cr& = \dfrac{{5 + 10i}}{{5 - i}}\cr& = \dfrac{{5(1 + 2i)(5 + i)}}{{25 - {i^2}}}\cr& = \dfrac{{5(5 + 2{i^2} + 11i)}}{{26}}\cr&= \dfrac{{5(3 + 11i)}}{{26}} = \dfrac{{15}}{{26}} + \dfrac{{55}}{{26}}i\cr}\)
Câu 4: C
Đặt z = x +yi
Có \({z^2} = {(x + yi)^2} = {x^2} - {y^2} + 2xyi\)
Có z là 1 số thuần ảo nên \({x^2} - {y^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2} = {y^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = x\\y = - x\end{array} \right.\)
Điểm biểu diễn số phức x là đường thẳng \(y = x,{\rm{ }}y = - x\)
Câu 5: B
Câu 6: D
\(\begin{array}{l}(3 - 2i)z + 4 + 5i = 7 + 3i\\ \Leftrightarrow (3 - 2i)z = 3 - 2i\\ \Leftrightarrow z = 1\end{array}\)
Câu 7: A
\(\begin{array}{l}z = a + bi,\,\,z' = a' + bi'\\z.z = (a + i)(a' + b'i)\\\,\,\,\,\,\,\,\, = a.a' - b.b' + (a'b + ab')i\end{array}\)
Để z.z’ là số thực thì a'b + ab' = 0
Câu 8: B
Câu 9: B
\(\begin{array}{l}z = 3 + 4i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\\ \Rightarrow S = 2\left| z \right| - 1 = 2.5 - 1 = 9\end{array}\)
Câu 10: C
\(\begin{array}{l}(x + 2y) + (2x - 2y)i = 7 - 4i\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 7\\2x - 2y = - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 7\\x - y = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\end{array} \right.\end{array}\)
Câu 11: C
Câu 12: C
\(z = - \dfrac{{1 + i}}{{1 - i}} = - \dfrac{{{{(1 + i)}^2}}}{{1 - {i^2}}} = - i\)
phần thực: 0 , phần ảo: -1
Câu 13: D
\(\begin{array}{l}3{z^2} - 4z + 2 = 0\\\Delta ' = {(b')^2} - ac = 4 - 3.2 = - 2 = 2{i^2}\end{array}\)
\(\Delta \) có hai căn bậc hai là \(i\sqrt 2 \)và\( - i\sqrt 2 \)
Pt có nghiệm là \({x_1} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}i,{x_2} = \dfrac{2}{3} - \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}i\)
Câu 14: A
Câu 15: B
\(\eqalign{A& = \dfrac{{2 + 3i}}{{1 + i}} + \dfrac{{3 - 4i}}{{1 - i}} + i(4 + 9i)\cr& = \dfrac{{(2 + 3i)(1 - i) + (3 - 4i)(1 + i)}}{{1 - {i^2}}} + i(4 + 9i)\cr& = \dfrac{{2 - 3{i^2} + i + 3 - 4{i^2} - i}}{2} + 4i - 9\cr& = 6 + 4i - 9 = - 3 + 4i\cr}\)
Câu 16: D
\(\begin{array}{l}\left| {\rm{w}} \right| = \left| {z + 3i} \right|\\ \Rightarrow \left| {\left| z \right| - \left| {3i} \right|} \right| \le \left| {z + 3i} \right| \le \left| z \right| + \left| {3i} \right|\\ \Rightarrow \left| {2 - 3} \right| \le \left| {z + 3i} \right| \le 2 + 3\\ \Rightarrow 1 \le \left| {z + 3i} \right| \le 5\\ \Rightarrow \max \left| {\rm{w}} \right| = 5,\min \left| {\rm{w}} \right| = 1\end{array}\)
Câu 17: A
Đặt z = x +yi
\(\begin{array}{l}\left| {z + 3 - 3i} \right| = 5\\ \Rightarrow \left| {x + yi + 3 - 3i} \right| = 5\\ \Rightarrow \left| {\left( {x + 3} \right) + \left( {y - 3} \right)i} \right| = 5\\ \Rightarrow \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2}} = 5\end{array}\)
ð Tập hợp biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(-3,3), bán kính là 5
Câu 18: C
Câu 19: B
\(z = {(1 - i)^3} \\\;\;= {(1 - i)^2}.(1 - i) \\\;\;= (1 - 2i + {i^2})(1 - i)\\\;\; = - 2i(1 - i) = 2 - 2i\)
Câu 20: C
\(z = 4 +3i\)
Nghịch đảo của số phức z là: \(\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{4 + 3i}} = \dfrac{{4 - 3i}}{{16 - 9{i^2}}}\)\(\; = \dfrac{{4 - 3i}}{{25}} = \dfrac{4}{{25}} - \dfrac{3}{{25}}i\)
Câu 21: B
Có O( 0, 0); A( 1, 2); B( 1, -2)
\(OA = OB = \sqrt 5 \Rightarrow \Delta OAB\) cân tại O
Gọi H là trung điểm của AB
\( \Rightarrow H(\left( {1,0} \right) \Rightarrow OH = 1\)
Mặt khác, AB=4 nên ta có \({S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}.1.4 = 2\)
Câu 22: A
Câu 23: A
\(\begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 1 - 4i - 1 - 3i = - 7i\\ \Rightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt {{{( - 7)}^2}} = 7\end{array}\)
Câu 24: B
Câu 25: C
