Video hướng dẫn giải
Trong không gian OxyzOxyz cho bốn điểm A(2;4;−1),B(1;4;−1),A(2;4;−1),B(1;4;−1), C(2;4;3),D(2;2;−1)C(2;4;3),D(2;2;−1).
LG a
Chứng minh rằng các đường thẳng AB,AC,ADAB,AC,AD vuông góc với nhau từng đôi một. Tính thể tích khối tứ diện ABCDABCD.
Phương pháp giải:
Ta xét các tích vô hướng →AB.→AC−−→AB.−−→AC; →AB.→AD−−→AB.−−→AD; →AC.→AD
⇒VABCD=16AB.AC.AD
Lời giải chi tiết:
a) Ta xét các tích vô hướng →AB.→AC; →AB.→AD; →AC.→AD
Ta có: →AB=(−1;0;0), →AC=(0;0;4), →AD=(0;−2;0)
→AB.→AC=(−1).0+0.0+0.4=0⇔→AB⊥→AC
Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự.
Ta có: VABCD =16.AB.AC.AD
Mà AB=1;AC=4;AD=2
⇒VABCD=16.1.4.2=43(đvtt)
LG b
Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D.
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, xác định tâm I và tính bán kính R=IA.
Lời giải chi tiết:
Gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
IA=IB=IC ⇒I nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD. Tam giác ACD vuông tại đỉnh A nên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD là đường thẳng vuông góc với mp (ACD) và đi qua trung điểm M của cạnh huyền CD.
Như vậy MI//AB (1)
Ta lại có IA=IB. Gọi P là trung điểm của AB, ta có:
MI=AP = 12AB (2)
Từ (1) và (2), suy ra →MI=12→AB
Với C(2;4;3),D(2;2;−1) ⇒M(2;3;1)
→MI=(a−2;b−3;c−1);→AB=(−1;0;0)
{a−2=12(−1)⇒a=32b−3=12.0⇒b=3c−1=12.0⇒c=1
Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là I(32;3;1)
Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là r thì:
r2=IA2 =(2−32)2+(4−3)2+(−1−1)2=214
Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD:
(x−32)2+(y−3)2+(z−1)2=214.
Cách khác:
Gọi mặt cầu (S):x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0 đi qua 4 điểm A, B, C, D.
Khi đó {4+16+1+4a+8b−2c+d=01+16+1+2a+8b−2c+d=04+16+9+4a+8b+6c+d=04+4+1+4a+4b−2c+d=0
⇔{4a+8b−2c+d=−212a+8b−2c+d=−184a+8b+6c+d=−294a+4b−2c+d=−9
⇔{2a=−38b−2c+d=−158b+6c+d=−234b−2c+d=−3
⇔{a=−32b=−3c=−1d=7
Vậy phương trình mặt cầu là: x2+y2+z2−3x−6y−2z+7=0 hay (x−32)2+(y−3)2+(z−1)2=214
LG b
Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng (ABD).
Phương pháp giải:
Xác định VTPT của mặt phẳng α, viết phương trình mặt phẳng α khi biết VTPT.
α tiếp xúc với (S) ⇔d(I;(α))=R với I;R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu (S).
Lời giải chi tiết:
Ta có:AC⊥(ABD); (α)//(ABD) nên nhận →AC làm vectơ pháp tuyến.
Ta có →AC=(0;0;4) nên (α):z+D=0.
Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (α) là:
d(I,(α))=|1+D|1=|1+D|
Để mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu, ta cần có:
d(I,(α))=r⇒|1+D|=√212
Ta có hai mặt phẳng:
TH1: 1+D=√212⇒D=√212−1
⇒(α1):z+√212−1=0
TH2: 1+D=−√212⇒D=−√212−1
⇒(α2):z−√212−1=0
