Video hướng dẫn giải
Cho điểm M(1;4;2) và mặt phẳng (α):x+y+z−1=0.
LG a
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α) ;
Phương pháp giải:
Phương pháp tìm hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P).
Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P).
Bước 2: Gọi H=d∩(P), tìm tọa độ điểm H. H chính là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P).
Lời giải chi tiết:
Xét đường thẳng d qua M và d⊥(α).
Vectơ →n(1;1;1) là vectơ pháp tuyến của (α) nên →n là vectơ chỉ phương của d.
Phương trình tham số của đường thẳng d có dạng: {x=1+ty=4+tz=2+t.
Gọi H=d∩(P), H∈d⇒H(1+t;4+t;2+t), vì H∈α nên ta có:
1+t+4+t+2+t−1=0⇔3t+6=0
⇔t=−2⇒H(−1;2;0)
LG b
b) Tìm tọa độ điểm M′ đối xứng với M qua mặt phẳng (α).
Phương pháp giải:
Điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng (P) nhận H làm trung điểm, với H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P). Tìm tọa độ điểm M'.
Lời giải chi tiết:
Gọi M′(x;y;z) là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng (α), thì hình chiếu vuông góc H của M xuống (α) chính là trung điểm của MM′.
Ta có:
{xM′=2xH−xM=2.(−1)−1=−3yM′=2yH−yM=2.2−4=0zM′=2zH−zM=2.0−2=−2 ⇒M′(−3;0;−2)
LG c
c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α).
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm M(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P):Ax+By+Cz+D=0: d(M;(P))=|Ax0+By0+Cz0+D|√A2+B2+C2
Lời giải chi tiết:
Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α)
Cách 1: d(M,(α))=|1+4+2−1|√1+1+1=6√3=2√3
Cách 2: Khoảng cách từ M đến (α) chính là khoảng cách MH: d(M,(α))=MH = √22+22+22=2√3.
