Video hướng dẫn giải
Cho hàm số: \(f(x)= x^3– 3mx^2+ 3(2m-1)x + 1\) (\(m\) là tham số).
LG a
a) Xác định \(m\) để hàm số đồng biến trên tập xác định.
Phương pháp giải:
Hàm số \(y=f(x)\) đồng biến trên tập xác định \( \Leftrightarrow f'(x) \geq 0\) với mọi \(x\) thuộc tập xác định.
Lời giải chi tiết:
\(y=f(x)= x^3– 3mx^2+ 3(2m-1)x + 1\)
Tập xác định: \(D =\mathbb R\)
\(y’= 3x^2-6mx + 3(2m-1)\\ = 3(x^2– 2mx + 2m – 1)\)
Hàm số đồng biến trên \(D =\mathbb R \) \(⇔ y’ ≥ 0, ∀x ∈ R\)
\(⇔ x^2– 2mx + 2m - 1≥0, ∀x ∈\mathbb R\)
\(⇔ Δ’ \leq 0 \). Mà \( Δ’ = m^2– 1.(2m - 1)\)
\( ⇔ m^2– 2m + 1 \leq 0 \\ ⇔ (m-1)^2\le 0 \\ ⇔ m =1.\)
(Vì \({\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0,\forall m\) nên \({\left( {m - 1} \right)^2} \le 0\) chỉ xảy ra khi \(m-1=0\))
LG b
b) Với giá trị nào của tham số \(m\), hàm số có một cực đại và một cực tiểu.
Phương pháp giải:
Hàm số có một cực đại và một cực tiểu \(\Leftrightarrow y'=0\) có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải chi tiết:
Hàm số có một cực đại và một cực tiểu
\(⇔\) phương trình \(y’= 0\) có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt
\(⇔ \Delta' >0\). Mà \( Δ’ = m^2– 1.(2m - 1)\)
\( ⇔ (m-1)^2> 0 ⇔ m≠1.\)
LG c
c) Xác định \(m\) để \(f’’(x)>6x.\)
Phương pháp giải:
Tính \(f''(x)\) sau đó giải bất phương trình \(f’’(x)>6x.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(f(x)= x^3– 3mx^2+ 3(2m-1)x + 1\)
\(\Rightarrow f'(x)= 3x^2– 3.2mx+ 3(2m-1) = 3x^2 -6mx + 3(2m-1)\)
\(\Rightarrow f’’(x) = 6x – 6m \)
Để \(f''(x) > 6x ⇔ 6x – 6m > 6x\)
\(⇔ -6m > 0\)
\(⇔ m < 0.\)
