Video hướng dẫn giải
Cho hàm số: f(x)=x3–3mx2+3(2m−1)x+1 (m là tham số).
LG a
a) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.
Phương pháp giải:
Hàm số y=f(x) đồng biến trên tập xác định ⇔f′(x)≥0 với mọi x thuộc tập xác định.
Lời giải chi tiết:
y=f(x)=x3–3mx2+3(2m−1)x+1
Tập xác định: D=R
y′=3x2−6mx+3(2m−1)=3(x2–2mx+2m–1)
Hàm số đồng biến trên D=R ⇔y′≥0,∀x∈R
⇔x2–2mx+2m−1≥0,∀x∈R
⇔ Δ’ \leq 0 . Mà Δ’ = m^2– 1.(2m - 1)
⇔ m^2– 2m + 1 \leq 0 \\ ⇔ (m-1)^2\le 0 \\ ⇔ m =1.
(Vì {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0,\forall m nên {\left( {m - 1} \right)^2} \le 0 chỉ xảy ra khi m-1=0)
LG b
b) Với giá trị nào của tham số m, hàm số có một cực đại và một cực tiểu.
Phương pháp giải:
Hàm số có một cực đại và một cực tiểu \Leftrightarrow y'=0 có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải chi tiết:
Hàm số có một cực đại và một cực tiểu
⇔ phương trình y’= 0 có hai nghiệm phân biệt
\Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ \Delta' >0. Mà Δ’ = m^2– 1.(2m - 1)
⇔ (m-1)^2> 0 ⇔ m≠1.
LG c
c) Xác định m để f’’(x)>6x.
Phương pháp giải:
Tính f''(x) sau đó giải bất phương trình f’’(x)>6x.
Lời giải chi tiết:
Ta có: f(x)= x^3– 3mx^2+ 3(2m-1)x + 1
\Rightarrow f'(x)= 3x^2– 3.2mx+ 3(2m-1) = 3x^2 -6mx + 3(2m-1)
\Rightarrow f’’(x) = 6x – 6m
Để f''(x) > 6x ⇔ 6x – 6m > 6x
⇔ -6m > 0
⇔ m < 0.
