Video hướng dẫn giải
LG a
Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:
\(y=\dfrac{2-x}{9-x^2}\)
Phương pháp giải:
- Tìm tiệm cận ngang:
+ Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) \)
+ Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\), ta kết luận: \(y=y_0\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)
- Tìm tiệm cận đứng:
+ Tìm TXĐ
+ Tính \(\mathop {\lim } f\left( x \right)\) khi \(x \to {x_0} ^+\) và \(x \to {x_0} ^-\) với \( x_0\) là giá trị làm hàm số không xác định.
Nếu \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty \end{array}\)
Ta kết luận: Đường thẳng \(x=x_0\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ { \pm 3} \right\}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow (-3)^+}\dfrac{2-x}{9-x^2}=+\infty\) nên đường thẳng \(x=-3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 3^+}\dfrac{2-x}{9-x^2}=+\infty\) nên đường thẳng \(x=3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{2-x}{9-x^2}=0\) nên đường thẳng: \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
LG b
\(y=\dfrac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2}\)
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ { - 1;\dfrac{3}{5}} \right\}\)
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = + \infty ;\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)}^ + }} \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \infty ;\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)}^ - }} \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = + \infty \end{array}\)
Nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng: \(x=-1;x=\dfrac{3}{5}\).
Vì: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \dfrac{1}{5};\) \( \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \dfrac{1}{5}\)
Nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=-\dfrac{1}{5}\).
LG c
\(y=\dfrac{x^2-3x+2}{x+1}\)
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}} = - \infty ;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ +}} \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}} = + \infty\) nên đường thẳng \(x=-1\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\dfrac{x^{2}-3x+2}{x+1}\)\(=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\dfrac{x^2(1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^{2}})}{x(1+\dfrac{1}{x})}=-\infty\) và \(\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim}\dfrac{x^{2}-3x+2}{x+1}=+\infty\) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
LG d
\(y=\dfrac{\sqrt {x}+1}{\sqrt {x}-1}\)
Lời giải chi tiết:
Hàm số xác định khi: \(\left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ \sqrt{x}-1\neq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ x\neq 1 \end{matrix}\right.\)
\( \Rightarrow D = \left[ {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 1^-}\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=-\infty\) nên đường thẳng \(x = 1\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)\(=\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{\sqrt{x}(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}})}{\sqrt{x}(1-\dfrac{1}{\sqrt{x}})}=1\) nên đường thẳng \(y = 1\) là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Chú ý: Có thể sử dụng MTCT để tính toán các giới hạn.
