1. Nguyên hàm và tính chất
a. Định nghĩa
Kí hiệu \(K\) là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của \(R\).
Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(K\).
Hàm số \(F(x)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(K\) nếu \(F'(x) = f(x)\) với mọi \(x ∈ K\).
b. Định lý
1) Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K thì với mỗi hằng số \(C\), hàm số \(G(x) = F(x)+C\) cũng là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(K\).
2) Ngược lại, nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(K\) thì mọi nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\) đều có dạng \(F(x) + C\) với \(C\) là một hằng số tùy ý.
Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) là \(∫f(x)dx\)
Khi đó : \(∫f(x)dx =F(x) + C , C ∈ R.\)
c. Tính chất của nguyên hàm
\(∫f(x)dx = F(x) + C, C ∈ R.\)
\(∫kf(x)dx =k ∫f(x)dx \)(với k là hằng số khác 0)
\(∫(f(x) ± g(x)) = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx\)
d. Sự tồn tại nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(K\) đều có nguyên hàm trên \(K\).
Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp
| Nguyên hàm của hàm số sơ cấp | Nguyên hàm của hàm hợp |
| \(\int 0dx = C\) \(\int dx = x + C\) \(\int x^{\alpha }dx\) = \(\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1} +C\) (\(\alpha≠ -1)\) \(\int \frac{1}{x}dx =ln\left | x \right | +C\) \(\int e^{x}dx = e^{x} +C\) \(\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{lna} + C (a>0, a ≠ 1)\) \(\int cosxdx = sinx + C\) \(\int sinxdx = - cosx + C\) \(\int \frac{1}{(cos^{2}x)}dx = tanx + C\) \(\int \frac{1}{(sin^{2}x)}dx = - cotx + C\) |
\(\int u^{\alpha }dx = \frac{u^{\alpha +1}}{u'.(\alpha +1)}+ C\) \(\int {\frac{1}{u}} dx = \frac{{ln|u|}}{{u'}} + C\) \(\int {{e^u}} dx = \frac{{{e^u}}}{{u'}} + C\) \(\int {{a^u}} dx = \frac{{{a^u}}}{{u'.lna}} + C\) \(\int {cosudx = \frac{{sinu}}{{u'}} + C} \) \(\int {sinudx = {\rm{ }}\frac{{ - cosu}}{{u'}}{\rm{ }} + C} \) \(\int {\frac{1}{{(co{s^2}u)}}} du = {\rm{ }}\frac{{tanu}}{{u'}} + C\) \(\int {\frac{1}{{(si{n^2}u)}}} du = \frac{{ - cotu}}{{u'}} + C\) |
2. Phương pháp tìm nguyên hàm
a) Phương pháp đổi biến số
Định lý 1: Nếu \(\int {f\left( u \right)du} = F\left( u \right) + C\) và \(u = u\left( x \right)\) là hàm số có đạo hàm liên tục thì \(\int {f\left( {u\left( x \right)} \right)u'\left( x \right)dx} = F\left( {u\left( x \right)} \right) + C\)
Hệ quả: \(\int {f\left( {ax + b} \right)dx} = \frac{1}{a}F\left( {ax + b} \right) + C\left( {a \ne 0} \right)\)
b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Định lý 2: Nếu hai hàm số \(u = u\left( x \right)\) và \(y = v\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(K\) thì \(\int {u\left( x \right)v'\left( x \right)dx} = u\left( x \right)v\left( x \right) - \int {u'\left( x \right)v\left( x \right)dx} \).
Chú ý: Viết gọn \(\int {udv} = uv - \int {vdu} \).
