Lí thuyết nguyên hàm

149 lượt xem

1. Nguyên hàm và tính chất

a. Định nghĩa

Kí hiệu $K$ là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của $R$ .

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $K$ .

Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ nếu $F'(x) = f(x)$ với mọi $x ∈ K$ .

b. Định lý

1) Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên K thì với mỗi hằng số $C$ , hàm số $G(x) = F(x)+C$ cũng là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ .

2) Ngược lại, nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ thì mọi nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ đều có dạng $F(x) + C$ với $C$ là một hằng số tùy ý.

Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số $f(x)$ là $∫f(x)dx$

Khi đó : $∫f(x)dx =F(x) + C , C ∈ R.$

c. Tính chất của nguyên hàm

$∫f(x)dx = F(x) + C, C ∈ R.$

$∫kf(x)dx =k ∫f(x)dx$ (với k là hằng số khác 0)

$∫(f(x) ± g(x)) = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx$

d. Sự tồn tại nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số $f(x)$ liên tục trên $K$ đều có nguyên hàm trên $K$ .

Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm hợp

$\int 0dx = C$

$\int dx = x + C$

$\int x^{\alpha }dx$ = $\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1} +C$ ( $\alpha≠ -1)$

$\int \frac{1}{x}dx =ln\left | x \right | +C$

$\int e^{x}dx = e^{x} +C$

$\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{lna} + C (a>0, a ≠ 1)$

$\int cosxdx = sinx + C$

$\int sinxdx = - cosx + C$

$\int \frac{1}{(cos^{2}x)}dx = tanx + C$

$\int \frac{1}{(sin^{2}x)}dx = - cotx + C$

$\int u^{\alpha }dx = \frac{u^{\alpha +1}}{u'.(\alpha +1)}+ C$

$\int {\frac{1}{u}} dx = \frac{{ln|u|}}{{u'}} + C$

$\int {{e^u}} dx = \frac{{{e^u}}}{{u'}} + C$

$\int {{a^u}} dx = \frac{{{a^u}}}{{u'.lna}} + C$

$\int {cosudx = \frac{{sinu}}{{u'}} + C}$

$\int {sinudx = {\rm{ }}\frac{{ - cosu}}{{u'}}{\rm{ }} + C}$

$\int {\frac{1}{{(co{s^2}u)}}} du = {\rm{ }}\frac{{tanu}}{{u'}} + C$

$\int {\frac{1}{{(si{n^2}u)}}} du = \frac{{ - cotu}}{{u'}} + C$

2. Phương pháp tìm nguyên hàm

a) Phương pháp đổi biến số

Định lý 1: Nếu $\int {f\left( u \right)du} = F\left( u \right) + C$ và $u = u\left( x \right)$ là hàm số có đạo hàm liên tục thì $\int {f\left( {u\left( x \right)} \right)u'\left( x \right)dx} = F\left( {u\left( x \right)} \right) + C$

Hệ quả: $\int {f\left( {ax + b} \right)dx} = \frac{1}{a}F\left( {ax + b} \right) + C\left( {a \ne 0} \right)$

b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Định lý 2: Nếu hai hàm số $u = u\left( x \right)$ và $y = v\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $K$ thì $\int {u\left( x \right)v'\left( x \right)dx} = u\left( x \right)v\left( x \right) - \int {u'\left( x \right)v\left( x \right)dx}$ .

Chú ý: Viết gọn $\int {udv} = uv - \int {vdu}$ .

SGK Toán lớp 12