Bài 3 trang 146 SGK Giải tích 12

141 lượt xem

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hàm số : $y = {x^3} + a{x^2} + bx + 1.$

LG a

a) Tìm a và b để đồ thị của hàm số đi qua hai điểm A(1, 2) và B(-2, -1)

Phương pháp giải:

Thay tọa độ của hai điểm A và B vào công thức hàm số rồi giải hệ phương trình gồm 2 ẩn a, b để tìm a, b.

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số đi qua hai điểm $A(1; 2)$ và $B (-2; -1)$ khi và chỉ khi:

$\left\{ \matrix{ 2 = 1 + a + b + 1 \hfill \cr - 1 = - 8 + 4a - 2b + 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = 1 \hfill \cr b = - 1 \hfill \cr} \right.$

LG b

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với các giá trị tìm được của a và b.

Phương pháp giải:

Thay các giá trị của a, b vừa tìm được vào công thức hàm số sau đó khảo sát và vẽ đồ thị hàm số theo các bước đã được học.

Lời giải chi tiết:

Khi $a = 1, \, b = -1$ ta có hàm số: $y = {x^3} + {x^2} - x + 1.$

- Tập xác định: $(-∞; + ∞).$

- Sự biến thiên: $y' = 3{x^2} + 2x - 1.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 2x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x - 1 = 0\\ x + 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{1}{3}\\ x = - 1 \end{array} \right.. \end{array}$

Trên các khoảng $(-∞; -1)$ và $\displaystyle ({1 \over 3}; + \infty ) , \, \, y’>0$ nên hàm số đồng biến

Trên khoảng $\displaystyle ( - 1; \, {1 \over 3}), \, y’ < 0$ nên hàm số nghịch biến

- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại $x = - 1;\;{y_{CD}} = 2.$

Hàm số đạt cực tiểu tại $\displaystyle x = {1 \over 3},{y_{CT}} = {{22} \over {27}}$

- Giới hạn tại vô cực: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty$

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ $y = 1$ , cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $x ≈ -1, 84.$

LG c

c) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng $y = 0, \, x = 0, \, x = 1$ và đồ thị (C) quanh trục hoành.

Phương pháp giải:

Cho hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y = f\left( x \right);\;\;y = g\left( x \right) \,$ và hai đường thẳng $x=a; \, \, x=b \, \, \, (a<b).$ Khi quay hình phẳng trên quanh trục $Ox$ ta được khối tròn xoay có thể tích được tính bởi công thức: $V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} .$

Lời giải chi tiết:

Trong khoảng $(0; 1)$ ta có $y > 0.$

Vì vậy, thể tích cần tìm là:

$\begin{array}{l} V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^3} + {x^2} - x + 1} \right)}^2}dx} \\ = \pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^6} + 2{x^5} - {x^4} + 3{x^2} - 2x + 1} \right)dx} \\ = \left. {\pi \left( {\dfrac{{{x^7}}}{7} + \dfrac{{{x^6}}}{3} - \dfrac{{{x^5}}}{5} + {x^3} - {x^2} + x} \right)} \right|_0^1 \\ = \dfrac{{134\pi }}{{105}}. \end{array}$

SGK Toán lớp 12