Đề bài
Câu 1. Cho hình (H) giới hạn bởi đường cong \({y^2} + x = 0\), trục Oy và hai đường thẳng y = 0, y= 1. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Oy được tính bởi:
A. \(V = {\pi ^2}\int\limits_0^1 {{x^4}\,dx} \).
B. \(V = \pi \int\limits_0^1 {{y^2}\,dy} \).
C. \(V = \pi \int\limits_0^1 {{y^4}\,dy} \).
D. \(V = \pi \int\limits_0^1 { - {y^4}\,dy} \).
Câu 2. Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{2004\pi } {\sqrt {1 - \cos 2x} \,dx} \). Phát biểu nào sau đây sai?
A. \(I = \sqrt 2 \cos x\left| \begin{array}{l}2004\pi \\0\end{array} \right.\).
B. \(I = 2004\int\limits_0^\pi {\sqrt {1 - \cos 2x} } \,dx\).
C. \(I = 4008\sqrt 2 \).
D. \(I = 2004\sqrt 2 \int\limits_0^\pi {\sin x\,dx} \).
Câu 3. Tìm nguyên hàm của \(f(x) = 4\cos x + \dfrac{1}{{{x^2}}}\) trên \((0; + \infty )\).
A. \(4\cos x + \ln x + C\).
B. \(4\cos x + \dfrac{1}{x} + C\).
C. \(4\sin x - \dfrac{1}{x} + C\).
D. \(4\sin x + \dfrac{1}{x} + C\).
Câu 4. Mệnh đề nào sau đây là sai ?
A. \(\int\limits_a^c {f(x)\,dx = \int\limits_a^b {f(x)\,dx + \int\limits_b^c {f(x)\,dx} } } \).
B. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = \int\limits_a^c {f(x)\,dx - \int\limits_b^c {f(x)\,dx} } } \).
C. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = \int\limits_b^a {f(x)\,dx + \int\limits_a^c {f(x)\,dx} } } \).
D. \(\int\limits_a^b {cf(x)\,dx = - c\int\limits_b^a {f(x)\,dx} } \)
Câu 5. Tính nguyên hàm \(\int {{{\sin }^3}x.\cos x\,dx} \) ta được kết quả là:
A. \( - {\sin ^4}x + C\).
B. \(\dfrac{1}{4}{\sin ^4}x + C\).
C. \( - \dfrac{1}{4}{\sin ^4}x + C\).
D. \({\sin ^4}x + C\).
Câu 6. Giả sử hình phẳng tạo bởi đường cong \(y = {\sin ^2}x,\,\,y = - {\cos ^2}x\,,\,x = \pi ,\,x = 2\pi \) có diện tích là S. Lựa chọn phương án đúng :
A. \(S = \pi \).
B. \(S = 2\pi \).
C. \(S = \dfrac{\pi }{2}\).
D. Cả 3 phương án trên đều sai.
Câu 7. Gọi \(\int {{{2009}^x}\,dx} = F(x) + C\) . Khi đó F(x) là hàm số:
A. \({2009^x}\ln 2009\).
B. \(\dfrac{{{{2009}^x}}}{{\ln 2009}}\).
C. \({2009^x} + 1\).
D. \({2009^x}\).
Câu 8. Cho tích phân \(I = \int\limits_a^b {f\left( x \right).g'\left( x \right){\text{d}}x} ,\) nếu đặt
\(\left\{ \matrix{
u = f\left( x \right) \hfill \cr
{\rm{d}}v = g'\left( x \right){\rm{d}}x \hfill \cr} \right.\) thì:
A. \(I = \left. {f\left( x \right).g'\left( x \right)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {f'\left( x \right).g\left( x \right){\rm{d}}x} .\)
B. \(I = \left. {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {f\left( x \right).g\left( x \right){\rm{d}}x} .\)
C. \(I = \left. {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {f'\left( x \right).g\left( x \right){\rm{d}}x} .\)
D. \(I = \left. {f\left( x \right).g'\left( x \right)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {f\left( x \right).g'\left( x \right){\rm{d}}x} .\)
Câu 9. Giả sử \(\int\limits_1^5 {\dfrac{{dx}}{{2x - 1}} = \ln K} \). Giá trị của K là:
A. 1 B. 3
C. 80 D. 9.
Câu 10. Nếu \(\int\limits_a^d {f(x)\,dx = 5\,,\,\,\int\limits_b^d {f(x)\,dx = 2} \,} \) với a < d < b thì \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx} \) bằng :
A. 3 . B. 2
C. 10 D. 0
Câu 11. Nếu \(\int {f(x)\,dx = {e^x} + {{\sin }^2}x} + C\) thì f(x) bằng
A. \({e^x} + 2\sin x\).
B. \({e^x} + \sin 2x\).
C. \({e^x} + {\cos ^2}x\).
D. \({e^x} - 2\sin x\).
Câu 12. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
A. Nếu f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên R thì \(\int {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} \,dx = \int {f(x)\,dx + \int {g(x)\,dx} } \)
B. Nếu các hàm số u(x), v(x) liên tục và có đạo hàm trên R thì \(\int {u(x)v'(x)\,dx + \int {v(x)u'(x)\,dx = u(x)v(x)} } \)
C. Nếu F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f(x) thì F(x) – G(x) = C ( với C là hằng số )
D. \(F(x) = {x^2}\) là một nguyên hàm của f(x) = 2x.
Câu 13. Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = 2sinx.
A. \(\int {2\sin x\,dx = {{\sin }^2}x} + C\).
B. \(\int {2\sin x\,dx = 2\cos x} + C\).
C. \(\int {2\sin x\,dx = - 2\cos x} + C\).
D. \(\int {2\sin x\,dx = \sin 2x} + C\).
Câu 14. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(u = {x^2} - 2x + 3\), trục Ox và đường thẳng x = -1 , x =2 bằng :
A. \(\dfrac{1}{3}\) B. 17
C. 7 D. 9
Câu 15. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {\cos x + {e^x}} \right)\,dx} \).
A. \(I = {e^{\dfrac{\pi }{2}}} + 2\).
B. \(I = {e^{\dfrac{\pi }{2}}} + 1\).
C. \(I = {e^{\dfrac{\pi }{2}}} - 2\)
D. \(I = {e^{\dfrac{\pi }{2}}}\).
Câu 16. Biết rằng hàm số \(f(x) = {\left( {6x + 1} \right)^2}\) có một nguyên hàm \(F(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) thỏa mãn điều kiện F(-1.) 20. Tính tổng a + b + c + d.
A. 46 B. 44
C. 36 D. 54
Câu 17. Để tính \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{x^2}\cos x\,dx} \) theo phương pháp tích pân từng phần , ta đặt:
A. \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = x\cos x\,dx\end{array} \right.\).
B. \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = \cos x\,dx\end{array} \right.\).
C. \(\left\{ \begin{array}{l}u = \cos x\\dv = {x^2}\,dx\end{array} \right.\).
D. \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\cos x\\dv = \,dx\end{array} \right.\)
Câu 18. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
A. Hàm số \(y = \dfrac{1}{x}\) có nguyên hàm trên \(( - \infty ; + \infty )\).
B. \(3{x^2}\) là một nguyên hàm của \({x^3}\) trên \(( - \infty ; + \infty )\).
C. Hàm số \(y = |x|\) có nguyên hàm trên \(( - \infty ; + \infty )\).
D. \(\dfrac{1}{x} + C\) là họ nguyên hàm của lnx trên \((0; + \infty )\).
Câu 19. Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của: \(f(x) = {2^{\sqrt x }}\dfrac{{\ln x}}{{\sqrt x }}\) ?
A. \(2\left( {{2^{\sqrt x }} - 1} \right) + C\).
B. \({2^{\sqrt x }} + C\).
C. \({2^{\sqrt x + 1}}\).
D. \(2\left( {{2^{\sqrt x }} + 1} \right) + C\).
Câu 20. Đổi biến u = lnx thì tích phân \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}\,dx} \) thành:
A. \(I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right)\,du} \)
B. \(I = \int\limits_0^1 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}\,du} \).
C. \(I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right)\,{e^{ - u}}du} \).
D. \(I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right)\,{e^{2u}}du} \).
Câu 21. Tính tích phân \(\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} {{x^3}\cos x\,dx} \) ta được:
A. \(\dfrac{{2{\pi ^3}\sqrt 3 }}{{27}} + \dfrac{{{\pi ^2}}}{3} + 6 - 4\sqrt 3 \).
B. \(\dfrac{{{\pi ^3}\sqrt 3 }}{{27}} + \dfrac{{{\pi ^2}}}{6} + 6 - 4\sqrt 3 \).
C. \(\dfrac{{2{\pi ^3}\sqrt 3 }}{{27}} + \dfrac{{{\pi ^2}}}{3} + 3 - 2\sqrt 3 \).
D. 0.
Câu 22. Tính nguyên hàm \(\int {{x^2}\sqrt {{x^3} + 5} } \,dx\) ta được kết quả là :
A. \(\dfrac{2}{9}{\left( {{x^3} + 5} \right)^{\dfrac{3}{2}}} + C\).
B. \(\dfrac{2}{9}{\left( {{x^3} + 5} \right)^{\dfrac{2}{3}}} + C\).
C. \(2{\left( {{x^3} + 5} \right)^{\dfrac{3}{2}}} + C\).
D. \(2{\left( {{x^3} + 5} \right)^{\dfrac{2}{3}}} + C\).
Câu 23. Tính nguyên hàm \(\int {\dfrac{{1 - 2{{\tan }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\,dx} \) ta thu được:
A. \(\cot x - 2\tan x + C\).
B. \( - \cot x + 2\tan x + C\).
C. \(\cot x + 2\tan x + C\).
D. \( - \cot x - 2\tan x + C\)
Câu 24. Hàm số \(f(x) = x\sqrt {x + 1} \) có một nguyên hàm là F(x). Nếu F(0) = 2 thì F(3) bằng bao nhiêu ?
A. \(\dfrac{{146}}{{15}}\) B. \(\dfrac{{116}}{{15}}\)
C. \(\dfrac{{886}}{{105}}\) D. \(\dfrac{{105}}{{886}}\).
Câu 25. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x} + 2x\) thỏa mãn \(F(0) = \dfrac{3}{2}\). Tìm F(x).
A. \(F(x) = {e^x} + {x^2} + \dfrac{3}{4}\).
B. \(F(x) = {e^x} + {x^2} + \dfrac{1}{2}\).
C. \(F(x) = {e^x} + {x^2} + \dfrac{5}{2}\).
D. \(F(x) = {e^x} + {x^2} - \dfrac{1}{2}\).
Lời giải chi tiết
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| C | A | C | C | B |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| A | B | C | B | A |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| B | B | C | D | D |
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| A | B | C | B | B |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| D | A | D | A | B |
Lời giải chi tiết
Câu 1.
Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x = g\left( y \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\), trục \(Oy\) và hai đường thẳng \(y = a;y = b\) quay quanh trục \(Oy\) ta được khối tròn xoay có thể tích là: \({V_y} = \pi \int\limits_a^b {{g^2}\left( y \right)} \;dy\)
Áp dụng vào bài toán, ta có \({y^2} + x = 0 \Rightarrow x = - {y^2}\).
Đồ thị hàm số \(x = - {y^2}\) liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\), trục Oy và hai đường thẳng \(y = 0,\;y = 1\)
Khi đó thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục Oy được tính bởi:
\(V = \pi \int\limits_0^1 {\left( { - {y^2}} \right){\,^2}dy} = V = \pi \int\limits_0^1 {{y^4}\,dy} .\)
Chọn đáp án C.
Câu 2.
Ta có:
\(I = \int\limits_0^{2004\pi } {\sqrt {1 - \cos 2x} \,dx} \)
\(\;\;\;= \int\limits_0^{2004\pi } {\sqrt {1 - \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right)} \;dx} \)
\(\;\;\;= \int\limits_0^{2004\pi } {\sqrt 2 \left| {\sin x} \right|\;dx} \)
\(\;\;\;= \sqrt 2 \left| {\cos x} \right|\left| {_0^{2004\pi }} \right.\)
\( \to \) Đáp án C sai.
Chọn đáp án C.
Câu 3.
Ta có \(\int {\left( {4\cos x + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} \;dx \)\(\,= 4\sin x - \dfrac{1}{x} + C.\)
Chọn đáp án C.
Câu 4.
Ta có: \(\int\limits_b^c {f\left( x \right)} \;dx = \int\limits_b^a {f\left( x \right)\,dx + \int\limits_a^c {f\left( {x\,} \right)dx} } \)
\( \to \) Đáp án C sai.
Chọn đáp án C.
Câu 5.
Ta có: \(\int {{{\sin }^3}x.\cos x\,dx} = \int {{{\sin }^3}x\;d\left( {\sin x} \right)}\)\(\, = \dfrac{1}{4}{\sin ^4}x + C.\)
Chọn đáp án B.
Câu 6.
Hình phẳng gới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {\sin ^2}x,\,\,y = - {\cos ^2}x\) lên tục trên đoạn \(\left[ {\pi ;2\pi } \right]\) và hai đường thẳng \(x = \pi ,\,x = 2\pi \). Diện tích hình phẳng đó được xác định bởi công thức:
\(S = \int\limits_\pi ^{2\pi } \left| {{{\sin }^2}x - \left({ - {{\cos }^2}x} \right)} \right|dx \\\;\;\;= \int\limits_\pi ^{2\pi } \left| {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right|dx \)\(\;\;\;= \int\limits_\pi ^{2\pi } {1.dx} = x\left| {_\pi ^{2\pi }} \right. = 2\pi - \pi = \pi \)
Chọn đáp án A.
Câu 7.
Áp dụng công thức \(\int {{a^x}\;dx} = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}}\; + C\)
Ta có: \(\int {{{2009}^x}\,dx} = \dfrac{{{{2009}^x}}}{{\ln 2009}} + C\)
Chọn đáp án B.
Câu 8
Chọn đáp án C.
Câu 9.
Áp dụng công thức nguyên hàm \(\int {\dfrac{1}{{ax + b}}\;dx} = \dfrac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\)
Khi đó ta có:
\(\int\limits_1^5 {\dfrac{{dx}}{{2x - 1}} = } \left( {\dfrac{1}{2}\ln \left| {2x - 1} \right|} \right)\left| {_{_{_1^{}}^{}}^{_{}^{_{}^5}}} \right. \)\(\,= \dfrac{1}{2}\ln 9 - \dfrac{1}{2}\ln 1 = \ln 3.\)
Chọn đáp án B.
Câu 10.
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\int\limits_a^d {f\left( x \right)dx = 5\,} \\\int\limits_b^d {f\left( x \right)\,dx = 2} \,\end{array} \right. \\\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\int\limits_a^d {f\left( x \right)dx = 5\,} \\ - \int\limits_d^b {f\left( x \right)\,dx = 2} \,\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\int\limits_a^d {f\left( x \right)dx = 5\,} \\\int\limits_d^b {f\left( x \right)\,dx = - 2} \,\end{array} \right.\)
Khi đó ta có: \(\int\limits_a^d {f\left( x \right)dx\, + \int\limits_d^b {f\left( x \right)\,dx} \,} \)\(\,= 5 + \left( { - 2} \right) = 3.\)
Chọn đáp án A.
Câu 11.
Ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {{e^x}} \right) = {e^x}dx\\d\left( {{{\sin }^2}x} \right) = 2\sin x.\cos x\,dx\end{array} \right. \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d\left( {{e^x}} \right) = {e^x}dx\\d\left( {{{\sin }^2}x} \right) = \sin 2x\,dx\end{array} \right.\)
Khi đó ta có: \(f\left( x \right) = {e^x} + \sin 2x\)
Chọn đáp án B.
Câu 12.
Áp dụng tính chất, định lý về nguyên hàm – tích phân ta có:
+ Nếu \(f\left( x \right),\,g\left( x \right)\) là các hàm số liên tục trên R thì \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)\,dx + \int {g\left( x \right)\,dx} } \)
+ Nếu các hàm số \(u\left( x \right),\;v\left( x \right)\)liên tục và có đạo hàm trên R thì \(\int {u\left( x \right)v'\left( {x\,} \right)dx + \int {v\left( x \right)u'\left( x \right)\,dx = u\left( x \right)v\left( x \right)} } \).
+ Ta có: \(\int {2x\,dx = {x^2} + C.} \)
\( \to \) Đáp án C sai.
Chọn đáp án C.
Câu 13.
Ta có: \(\int {f\left( x \right)} \,dx = \int {2\sin x\,dx} \)\(\,= - 2\cos x + C\)
Chọn đáp án C.
Câu 14.
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 2x + 3\), trục Ox và đường thẳng \(x = - 1,x = 2\) được xác định bằng công thức :\(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)\,dx} \)
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)\,dx} \\\,\,\,\, = \left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 3x} \right)\left| \begin{array}{l}^2\\_{ - 1}\end{array} \right.\\\,\,\,\, = \left( {\dfrac{{{2^3}}}{3} - {2^2} + 3.2} \right) - \left( {\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^3}}}{3} - {{\left( { - 1} \right)}^2} + 3.\left( { - 1} \right)} \right)\\\,\,\,\, = \dfrac{{14}}{3} - \left( { - \dfrac{{13}}{3}} \right) = \dfrac{{27}}{3} = 9\end{array}\)
Chọn đáp án D.
Câu 15.
Ta có:
\(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {\cos x + {e^x}} \right)\,dx} \)
\(\;\; = \left( {\sin x + {e^x}} \right)\left| {_{_{_{_0^{}}^{}}}^{\dfrac{\pi }{2}}} \right. \)
\(\;\;= \left( {\sin \dfrac{\pi }{2} + {e^{\dfrac{\pi }{2}}}} \right) - \left( {\sin 0 + {e^0}} \right)\)
\(\;\;= {e^{\dfrac{\pi }{2}}}.\)
Chọn đáp án D.
Câu 16.
Ta có \(f\left( x \right) = {\left( {6x + 1} \right)^2} = 36{x^2} + 12x + 1\)
Khi đó ta có: \(\int {\left( {36{x^2} + 12x + 1} \right)\,dx} \)\(\,= 12{x^3} + 6{x^2} + x + d\)
\( \Rightarrow F\left( x \right) = 12{x^3} + 6{x^2} + x + d\)
Theo giải thiết ta có \(F\left( { - 1} \right) = 20 \)
\(\Rightarrow 12.\left( { - 1} \right){}^3 + 6.{\left( { - 1} \right)^2} + \left( { - 1} \right) + d = 20 \)
\(\Leftrightarrow d = 27\)
Vậy: \(a + b + c + d = 12 + 6 + 1 + 27 = 46.\)
Chọn đáp án A.
Câu 17.
Phương pháp tích phân từng phần
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = \cos x\,dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2x\,dx\\v = \sin x\end{array} \right.\)
Chọn đáp án B.
Câu 18.
+ Hàm số \(y = \dfrac{1}{x}\) không liên tục trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) thì không có nguyên hàm luên tục trên\(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)
\( \to \) Đáp án A sai.
+ Ta có: \(\int {{x^3}\,dx = \dfrac{{{x^4}}}{4} + C} \)\( \to \) Đáp án B sai.
+ Ta có: \(\int {\ln x\,dx} \) . Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = x\end{array} \right.\)
Khi đó ta có: \(\int {\ln x\,dx} = x\ln x - \int {x.\dfrac{1}{x}dx} \)\(\, = x\ln x - \int {dx} = x\ln x - x + C\)
\( \to \) Đáp án D sai.
Chọn đáp án C.
Câu 19.
Ta có:
\(\int {{2^{\sqrt x }}\dfrac{{\ln x}}{{\sqrt x }}dx} \\= \int {{2^{\sqrt x }}\dfrac{{\ln {{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}}{{\sqrt x }}} \,d\left( {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}} \right) \\= 4\int {{2^{\sqrt x }}\ln \left( {\sqrt x } \right)} \,d\left( {\sqrt x } \right)\\ = {2^{\sqrt x + 1}} + C\)
Chọn đáp án B.
Câu 20.
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x \Rightarrow du = \dfrac{1}{x}dx\\u = \ln x \Rightarrow x = {e^u} \Rightarrow \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{{{e^u}}} = {e^{ - u}}\end{array} \right.\)
Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \to u = 0\\x = e \to u = 1\end{array} \right.\)
Khi đó ta có:
\(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}\,dx} \\\;\;= \int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{x}d\left( {\ln x} \right)} \\\;\;= \int\limits_0^1 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}} du\)
Chọn đáp án B.
Câu 21.
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^3}\\dv = \cos xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 3{x^2}dx\\v = \sin x\end{array} \right.\)
Khi đó ta có:
\(\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} {{x^3}\cos x\,dx} \\= \left( {{x^3}\sin x} \right)\left| {_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}}} \right. - 3\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\sin x.{x^2}dx} \)
Đặt \(I = \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} {{x^2}\sin x\,dx} \).
Ta có: \(I = \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} {{x^2}\sin x\,dx} \)\(\, = \left( { - {x^2}\cos x} \right)\left| {_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}}} \right. + 2\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\cos x.} \,xdx\)
Đặt \({I_1} = \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} {x\cos xdx} \)
Ta có: \({I_1} = \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} {x\cos xdx} \)\(\, = \left( {x\sin x} \right)\left| {_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}}} \right. - \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\sin xdx} \)
\( = \left( {\dfrac{\pi }{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \left( { - \dfrac{\pi }{3}} \right)\left( { - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)} \right) - \left( { - \cos x} \right)\left| {_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}}} \right.\)\( = 0 - \left( { - \dfrac{1}{2} - \left( { - \dfrac{1}{2}} \right)} \right) = 0\)
Khi đó \(I = \left( { - {x^2}\cos x} \right)\left| {_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}}} \right. \)\(\,= \left( { - \dfrac{{{\pi ^2}}}{9}.\dfrac{1}{2}} \right) - \left( { - \dfrac{{{\pi ^2}}}{9}.\dfrac{1}{2}} \right) = 0\)
Khi đó \(\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} {{x^3}\cos x\,dx}\)\(\, = \left( {{x^3}\sin x} \right)\left| {_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}}} \right. \)\(\,= \dfrac{{{\pi ^3}}}{{27}}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \left( { - \dfrac{{{\pi ^3}}}{{27}}} \right)\left( { - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = 0\)
Chọn đáp án D.
Câu 22.
Ta có:
\(\int {{x^2}\sqrt {{x^3} + 5} } \,dx \)
\(= \dfrac{1}{3}\int {\sqrt {{x^3} + 5} } \,d\left( {{x^3} + 5} \right) \)
\(= \dfrac{1}{3}\int {{{\left( {{x^3} + 5} \right)}^{\dfrac{1}{2}}}} d\left( {{x^3} + 5} \right) \)
\(= \dfrac{2}{9}{\left( {{x^3} + 5} \right)^{\dfrac{3}{2}}} + C\)
Chọn đáp án A.
Câu 23.
Ta có: \(\begin{array}{l}\int {\dfrac{{1 - 2{{\tan }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\,dx} \\ = \int {\left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \dfrac{2}{{{{\cos }^2}x}}} \right)\,dx} \\ = \int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\,dx - 2\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} } \\ = - \cot x - 2\tan x + C\end{array}\)
Chọn đáp án D.
Câu 24.
Ta có: \(\int {x\sqrt {x + 1} \,dx} \)
Đặt \(t = \sqrt {x + 1} \Rightarrow {t^2} = x + 1\)\(, \Leftrightarrow x = t{}^2 - 1\)
\( \Rightarrow dx = d\left( {{t^2} - 1} \right) = 2t\,dt\)
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}\int {x\sqrt {x + 1} \,dx} \\ = \int {\left( {{t^2} - 1} \right)t.2tdt} \\ = 2\int {\left( {{t^4} - {t^2}} \right)dt} \\ = 2\left( {\dfrac{{{t^5}}}{5} - \dfrac{{{t^3}}}{3}} \right) + C\end{array}\)
Với \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \to t = 1\\x = 3 \to t = 2\end{array} \right.\)
Theo giải thiết \(F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow 2\left( {\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{3}} \right) + C = 2 \)\(\,\Leftrightarrow C = \dfrac{{34}}{{15}}\)
Khi đó \(F\left( {x = 3} \right) = F\left( {t = 2} \right) \)\(\,= 2\left( {\dfrac{{{2^5}}}{5} - \dfrac{{{2^3}}}{3}} \right) + \dfrac{{34}}{{15}} = \dfrac{{146}}{{15}}.\)
Chọn đáp án A.
Câu 25.
Ta có: \(\int {\left( {{e^x} + 2x} \right)\,} dx = {e^x} + {x^2} + C.\)
Theo giải thiết ta có: \(F\left( 0 \right) = \dfrac{3}{2} \)
\(\Rightarrow {e^0} + {0^2} + C = \dfrac{3}{2} \Rightarrow C = \dfrac{1}{2}\)
Khi đó ta có: \(F\left( x \right) = {e^x} + {x^2} + \dfrac{1}{2}\)
Chọn đáp án B.
