Câu 1. Hình đa diện dưới đây gồm bao nhiêu mặt
A.\(13\). B. \(8\). C. \(11\). D. \(9\).
Câu 2. Cho \(a\) là số thực dương tùy ý, \(\dfrac{{{a^{\dfrac{2}{3}}}.{a^{\dfrac{3}{4}}}}}{{\sqrt[6]{a}}}\) bằng
A. \({a^{\dfrac{1}{3}}}\). B. \({a^{\dfrac{5}{4}}}\).
C. \({a^{\dfrac{3}{4}}}\). D. \({a^{\dfrac{4}{5}}}\).
Câu 3. Cho hàm số \(y = f(x)\)có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. \(\left( {0;1} \right)\). B. \(\left( { - 1;0} \right)\).
C. \(\left( {1; + \infty } \right)\). D. \(\left( { - 1;1} \right)\).
Câu 4. Cho khối chóp tứ giác đều \(S.ABCD\)có cạnh đáy bằng \(\sqrt 2 a\) và tam giác \(SAC\)đều. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{2}\). B. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).
C. \(\dfrac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\). D. \(\dfrac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{2}\).
Câu 5. Cho khối hộp có thể tích bằng \(12{a^3}\) và diện tích mặt đáy \(4{a^2}\). Chiều cao của khối hộp đã cho bằng
A. \(6a\). B. \(a\). C. \(3a\). D. \(9a\).
Câu 6. Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 3;1} \right]\)và có đồ thị như hình vẽ. Gọi \(M\) và \(m\)lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ { - 3;1} \right]\). Giá trị của \(M - m\) bằng
A.\(6\). B. \(2\). C. \(8\). D. \(4\).
Câu 7. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên là:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.\(\left( { - 1;3} \right)\). B.\(\left( { - 3;2} \right)\).
C.\(\left( { - \infty ; - 1} \right)\). D.\(\left( {3; + \infty } \right)\).
Câu 8. Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 3}}\) có một đường tiệm cận đứng là
A.\(x = 3\). B.\(y = 2\).
C.\(x = - 3\). D.\(y = - 2\).
Câu 9. Tập xác định của hàm số \(y = {\left( {3x - 1} \right)^{ - 4}}\) là
A.\(\left( {\dfrac{1}{3}; + \infty } \right)\). B.\(\left( { - \infty ;\dfrac{1}{3}} \right)\).
C.\(\mathbb{R}\). D.\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{1}{3}} \right\}\)
Câu 10. Tập xác định của hàm số \(y = \ln \left( {2x - 1} \right)\) là
A.\(\left[ {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\). B.\(\left( { - \infty ;\dfrac{1}{2}} \right)\).
C.\(\left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\). D.\(\left( { - \infty ;\dfrac{1}{2}} \right]\)
Câu 11. Cho \(a\) là số thực dương tùy ý, \(\dfrac{{{{\left( {{a^{\sqrt 7 + 1}}} \right)}^3}}}{{{a^{\sqrt 7 - 4}}.{a^{2\sqrt 7 + 9}}}}\) bằng
A.\({a^{\sqrt 7 }}\). B.\({a^2}\). C.\({a^{ - \sqrt 7 }}\). D.\({a^{ - 2}}\).
Câu 12. Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\) và \(AA' = \sqrt 6 a\). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A.\(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{4}\). B.\(\dfrac{{3\sqrt 2 {a^3}}}{2}\).
C.\(\dfrac{{3\sqrt 2 {a^3}}}{4}\). D.\(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{2}\).
Câu 13. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực đại của hàm số đã cho là
A.\( - 1\). B.\(2\). C. \(1\). D.\( - 3\).
Câu 14. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ
Điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là
A.\(\left( {3; - 1} \right)\). B.\(\left( { - 1;3} \right)\).
C.\(\left( {4;1} \right)\). D.\(\left( {1;4} \right)\).
Câu 15. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm sô nào dưới đây?
A.\(y = \dfrac{{x - 1}}{{2x - 1}}\).
B.\(y = - {x^3} + 3x - 2\).
C.\(y = {x^4} - 2{x^2} + 1\).
D.\(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}}\).
Câu 16. Số đỉnh của khối bát diện đều là
A.\(6\). B.\(4\). C.\(8\). D.\(12\).
Câu 17. Cho \(a,\,b,\,c\) là các số thực dương và khác \(1\) thỏa mãn \({\log _a}b = 3,\,{\log _a}c = - 4\). Giá trị của \({\log _a}\left( {{b^3}{c^4}} \right)\) bằng
A.\( - 7\). B.\(6\). C.\(5\). D.\(7\).
Câu 18. Số các giá trị nguyên của \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} - \left( {12m - 15} \right)x + 7\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) là
A.\(8\). B.\(6\). C.\(5\). D.\(7\).
Câu 19. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
A.\(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}\).
B.\(y = - {x^3} + 3x + 1\).
C.\(y = - {x^4} + x + 1\).
D.\(y = {x^3} + 3x + 1\).
Câu 20. Đạo hàm của hàm số \(y = x\ln x\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) là
A.\(\ln x - 1\). B.\(\ln x + 1\).
C.\(\ln x + x\). D.\(\ln - x\).
Câu 21. Với \(a\) là số thực dương tùy ý, \({\log _5}{a^6}\) bằng
A.\(6 + {\log _5}a\). B.\(\dfrac{1}{6} + {\log _5}a\).
C. \(\dfrac{1}{6}{\log _5}a\). D.\(6{\log _5}a\).
Câu 22. Đồ thị hàm số nào dưới đây có đường tiệm cận ngang qua điểm \(A\left( {2;3} \right)\)
A.\(y = \dfrac{{x + 3}}{{3x + 2}}\).
B.\(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 2}}\).
C. \(y = \dfrac{{3x + 1}}{{2x - 2}}\).
D.\(y = \dfrac{{3x + 2}}{{x + 3}}\).
Câu 23. Cho khối chóp có thể tích bằng \(10{a^3}\) và chiều cao bằng \(5a\). Diện tích mặt đáy của khối chóp đã cho bằng
A.\(2{a^2}\). B.\(6{a^2}\).
C.\(12{a^2}\). D.\(4{a^2}\).
Câu 24. Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(\sqrt 2 a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = \sqrt 3 a\). Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.\(\dfrac{{2\sqrt 6 {a^3}}}{3}\). B.\(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).
C.\(\dfrac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\). D.\(\dfrac{{\sqrt 6 {a^3}}}{3}\).
Câu 25. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm của phương trình \(3f\left( x \right) - 7 = 0\) là:
A. \(4\). B. \(1\). C. \(0\). D. \(2\)
Câu 26. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Số các đường tiệm cận (tiệm cận đứng và tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số đã cho bằng
A. \(3\). B. \(2\). C. \(4\). D. \(1\).
Câu 27. Cho khối chóp \(S.ABC\) có thể tích bẳng \(24{a^3}\), gọi \(M\) là trung điểm \(AB\), \(N\) là điểm trên cạnh \(SB\) sao cho \(SN = 2NB\). Thể tích khối chóp \(S.MNC\) bằng
A.\(8{a^3}\) B.\(4{a^3}\). C.\(6{a^3}\). D.\(12{a^3}\).
Câu 28. Cho khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có thể tích là \(V\), gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Thể tích của khối chóp \(O.A'B'C'D'\).
A. \(\dfrac{V}{3}\). B. \(\dfrac{V}{6}\). C. \(\dfrac{V}{4}\). D. \(\dfrac{V}{2}\).
Câu 29. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) như sau:
Hàm số \(y = f\left( {1 - 2x} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.\(\left( {0;2} \right)\). B.\(\left( { - \infty ;1} \right)\).
C.\(\left( {1; + \infty } \right)\). D.\(\left( {1;2} \right)\).
Câu 30. Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + m}}{{x - 2}}\) thỏa mãn \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} y = 4\). Mệnh đề nào dưới đây đúng
A.\(m > 5\). B.\(4 \le m \le 5\).
C.\(2 \le m < 4\). D.\(m < 2\).
Câu 31. Đạo hàm của hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{{3^x}}}\) là
A. \(\dfrac{{2 - (2x + 1)\log 3}}{{{3^{2x}}}}\).
B.\(\dfrac{{2 - (2x + 1)\log 3}}{{{3^x}}}\).
C.\(\dfrac{{2 - (2x + 1)\ln 3}}{{{3^{2x}}}}\).
D.\(\dfrac{{2 - (2x + 1)\ln 3}}{{{3^x}}}\).
Câu 32. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = x{\left( {x + 3} \right)^2}\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A.\(3\). B.\(1\). C.\(0\). D.\(2\).
Câu 33. Cho khối hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a\), \(AD = 2a\) và \(AC' = a\sqrt {14} \). Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng
A.\(8{a^3}\). B.\(10{a^3}\). C.\(6{a^3}\). D.\(4{a^3}\).
Câu 34. Đạo hàm của hàm số \(y = {\left( {3{x^2} - 2x + 1} \right)^{\dfrac{1}{4}}}\) là:
A.\(\left( {6x - 2} \right){\left( {3{x^2} - 2x + 1} \right)^{ - {\textstyle{3 \over 4}}}}\).
B. \(\dfrac{{\left( {3x - 1} \right){{\left( {3{x^2} - 2x + 1} \right)}^{ - {\textstyle{3 \over 4}}}}}}{2}\).
C. \(\left( {3x - 1} \right){\left( {3{x^2} - 2x + 1} \right)^{ - {\textstyle{3 \over 4}}}}\).
D. \(\dfrac{{\left( {3x - 1} \right){{\left( {3{x^2} - 2x + 1} \right)}^{ - {\textstyle{3 \over 4}}}}}}{4}\).
Câu 35. Đồ thị hàm số \(y = - 2{x^3} + 3{x^2} - 7\) có 2 điểm cực trị là \(A\) và \(B\). Diện tích tam giác \(OAB\) (với \(O\) là gốc tọa độ) bằng
A.\(6\). B.\(7\). C.\(\dfrac{7}{2}\). D.\(\dfrac{{13}}{2}\).
Câu 36. Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{3x - 1}}{{x - 2}}\) cắt đường thẳng \(y = 2x + m\) (\(m\) là tham số) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\), giá trị nhỏ nhất của \(AB\) bằng
A. \(\dfrac{{3\sqrt {10} }}{2}\). B. \(3\sqrt {10} \).
C. \(\dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}\). D. \(5\sqrt 2 \).
Câu 37. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x - 2\) là
A. \(\left( {3; - 2} \right)\) B. \(\left( {2;4} \right)\)
C. \(\left( {3;2} \right)\) D. \(\left( {0;2} \right)\)
Câu 38. Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\dfrac{{3a}}{4}\). Tính thể tích khối chóp đã cho
A. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{12}}\). B. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{8}\).
C. \(\dfrac{{\sqrt {21} {a^3}}}{{28}}\). D. \(\dfrac{{\sqrt {21} {a^3}}}{{14}}\).
Câu 39. Số các giá trị nguyên của \(m\) để hàm số \(y = {\left( {{x^2} + 2mx + m + 20} \right)^{ - \sqrt 7 }}\) có tập xác định là khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) là
A.\(9\). B.\(8\). C.\(7\). D.\(10\).
Câu 40. Biết \({\log _{40}}75 = a + \dfrac{{{{\log }_2}3 - b}}{{c + {{\log }_2}5}}\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\) là các số nguyên dương. Giá trị của \(abc\) bằng
A.\(32\). B. \(36\). C. \(24\). D. \(48\).
PHẦN 2: TỰ LUẬN (2,0 điểm)
Câu 1 (1,0 điểm).
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3x + 7\) trên đoạn .
Câu 2 (1,0 điểm).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\). Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\) và \(\left( {SAB} \right)\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo \(a\) thể tích của khối tứ diện .
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Thực hiện: Ban chuyên môn
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (8 điểm)
| 1C | 2B | 3A | 4C | 5C | 6A | 7A | 8C | 9D | 10C |
| 11D | 12C | 13C | 14D | 15D | 16A | 17A | 18D | 19B | 20B |
| 21D | 22D | 23B | 24C | 25A | 26B | 27A | 28A | 29D | 30A |
| 31D | 32B | 33C | 34B | 35C | 36D | 37A | 38B | 39B | 40B |
Câu 1 (NB)
Phương pháp:
Quan sát hình vẽ và đếm số mặt của hình đa diện.
Cách giải:
Hình đã cho có \(11\) mặt.
Chọn C.
Câu 2 (TH)
Phương pháp:
Sử dụng công thức \({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\), \(\sqrt[n]{a} = {a^{\dfrac{1}{n}}}\)
Cách giải:
\(\dfrac{{{a^{\dfrac{2}{3}}}.{a^{\dfrac{3}{4}}}}}{{\sqrt[6]{a}}} = \dfrac{{{a^{\dfrac{{17}}{{12}}}}}}{{{a^{\dfrac{1}{6}}}}} = {a^{\dfrac{5}{4}}}\)
Chọn B.
Câu 3 (NB)
Phương pháp:
Quan sát hình vẽ và nhận xét khoảng đồng biến nghịch biến.
Cách giải:
Dựa vào đồ thị của hàm số \(y = f(x)\), ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\) nên suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).
Chọn A.
Câu 4 (TH)
Phương pháp:
Thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).
Cách giải:
\({S_{ABCD}} = {\left( {\sqrt 2 a} \right)^2} = 2{a^2}\)
Gọi \(O = AC \cap BD\)\( \Rightarrow \)\(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow \)\(SO\) là đường cao của chóp, \(AC = AB\sqrt 2 = 2a\)
\(SO\) là đường cao trong tam giác đều \(SAC\)\( \Rightarrow \)\(SO = \dfrac{{2a.\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \)
Vậy \(V = \dfrac{1}{3}.2{a^2}.a\sqrt 3 = \dfrac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).
Chọn C.
Câu 5 (TH)
Phương pháp:
Thể tích khối hộp \(V = Bh\).
Cách giải:
\(V = B.h\) \( \Rightarrow \) \(h = \dfrac{V}{B} = \dfrac{{12{a^3}}}{{4{a^2}}} = 3a\).
Chọn C.
Câu 6 (NB)
Phương pháp:
Quan sát hình vẽ tìm GTLN, GTNN của hàm số và kết luận.
Cách giải:
Dựa vào đồ thị ta thấy : \(M = 5\), \(m = - 1\)\( \Rightarrow \)\(M - m = 6\).
Chọn A.
Câu 7 (NB)
Phương pháp:
Quan sát bảng biến thiên và tìm khoảng đồng biến.
Cách giải:
Dựa vào bảng biến thiên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;3} \right)\).
Chọn A.
Câu 8 (NB)
Phương pháp:
Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có đường TCĐ \(x = - \dfrac{d}{c}\).
Cách giải:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \dfrac{{2x - 1}}{{x + 3}} = - \infty \Rightarrow x = - 3\) là một đường tiệm cận đứng.
Chọn C.
Câu 9 (NB)
Phương pháp:
Hàm số lũy thừa số mũ nguyên âm thì cơ số khác \(0\)
Cách giải:
Hàm số xác định khi \(3x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{1}{3}\).
Vậy tập xác định của hàm số là: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{1}{3}} \right\}\).
Chọn D.
Câu 10 (NB)
Phương pháp:
Biểu thức \(\ln f\left( x \right)\) xác định khi \(f\left( x \right) > 0\).
Cách giải:
Hàm số xác định khi \(2x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{2}\).
Vậy tập xác định của hàm số là: \(\left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\).
Chọn C.
Câu 11 (NB)
Phương pháp:
Sử dụng công thức \({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\), \(\sqrt[n]{a} = {a^{\dfrac{1}{n}}}\), \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}}\)
Cách giải:
Ta có: \(\dfrac{{{{\left( {{a^{\sqrt 7 + 1}}} \right)}^3}}}{{{a^{\sqrt 7 - 4}}.{a^{2\sqrt 7 + 9}}}} = \dfrac{{{a^{3\sqrt 7 + 3}}}}{{{a^{3\sqrt 7 + 5}}}} = {a^{3 - 5}} = {a^{ - 2}}\).
Chọn D.
Câu 12 (TH)
Phương pháp:
Thể tích khối lăng trụ \(V = Bh\).
Cách giải:
Ta có đáy là tam giác đều cạnh \(a\) \( \Rightarrow \) Diện tích đáy là: \(\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Chiều cao khối lăng trụ là: \(AA' = \sqrt 6 a\).
Vậy thể tích khối lăng trụ là: \({V_{ABC.A'B'C'}} = \sqrt 6 a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3\sqrt 2 {a^3}}}{4}\).
Chọn C.
Câu 13 (NB)
Phương pháp:
Quan sát hình vẽ tìm giá trị cực đại của hàm số.
Cách giải:
Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = 2\) và \({y_{CD}} = 1\).
Chọn C.
Câu 14 (NB)
Phương pháp:
Quan sát hình vẽ và tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số.
Cách giải:
Đồ thị hàm số có điểm cực đại \(\left( {1;4} \right)\).
Chọn D.
Câu 15 (NB)
Phương pháp:
Quan sát hình vẽ và tìm các đường tiệm cận đứng, ngang.
Cách giải:
Đồ thị hàm số có TCĐ: \(x = 1\) nên loại A, B, C.
Chọn D.
Câu 16 (NB)
Phương pháp:
Sử dụng lý thuyết khối bát diện đều.
Cách giải:
Khối bát diện đều có \(6\) đỉnh.
Chọn A.
Câu 17 (NB)
Phương pháp:
Sử dụng công thức \({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\) và \({\log _a}{b^n} = n{\log _a}b\).
Cách giải:
Ta có: \({\log _a}\left( {{b^3}{c^4}} \right) = 3{\log _a}b + 4{\log _a}c\)\( = 3.3 + 4.\left( { - 4} \right) = - 7\)
Chọn A.
Câu 18 (NB)
Phương pháp:
- Tìm TXĐ.
- Tính \(y'\)
- Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Cách giải:
Tập xác định: \(D = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\). \(y' = 3{x^2} - 6mx - \left( {12m - 15} \right)\).
Ycbt \( \Leftrightarrow {\Delta _{y'}} \le 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} + 4m - 5 \le 0 \Leftrightarrow - 5 \le m \le 1\).
Do \(m\) nguyên nên \(m\) có \(7\) giá trị là \( - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;1\).
Chọn D.
Câu 19 (NB)
Phương pháp:
Quan sát đồ thị, nhận xét dáng đồ thị và đối chiếu đáp án.
Cách giải:
Đồ thị đã cho là dáng đồ thị hàm bậc ba có hệ số \(a < 0\).
Chọn B.
Câu 20 (NB)
Phương pháp:
Sử dụng công thức \(\left( {\ln u} \right)' = \dfrac{{u'}}{u}\) và công thức đạo hàm của một tích \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\).
Cách giải:
\(y' = x'\ln x + x{\left( {\ln x} \right)^\prime } = \ln x + x.\dfrac{1}{x} \\= \ln x + 1\)
Chọn B.
Câu 21 (NB)
Phương pháp:
Sử dụng công thức \({\log _a}{b^n} = n{\log _a}b\).
Cách giải:
Ta có: \({\log _5}{a^6} = 6{\log _5}a\)
Chọn D.
Câu 22 (NB)
Phương pháp:
Tìm đường tiệm cận ngang ở mỗi đáp án và kiểm tra.
Cách giải:
Đáp án A: TCN \(y = \dfrac{1}{3}\) loại.
Đáp án B: TCN \(y = 2\) loại.
Đáp án C: TCN \(y = \dfrac{3}{2}\) loại.
Đáp án D: TCN \(y = 3\) đi qua \(A\left( {2;3} \right)\).
Chọn D.
Câu 23 (NB)
Phương pháp:
Thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).
Cách giải:
Ta có: \(V = \dfrac{1}{3}Sh\) \( \Rightarrow S = \dfrac{{3V}}{h} = \dfrac{{3.10{a^3}}}{{5a}} = 6{a^2}\).
Chọn B.
Câu 24 (TH)
Phương pháp:
Thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).
Cách giải:
Ta có đáy là hình vuông cạnh \(\sqrt 2 a\) \( \Rightarrow \) Diện tích đáy là: \(2{a^2}\).
Chiều cao khối chóp là: \(SA = \sqrt 3 a\).
Vậy thể tích khối chóp là: \({V_{S.ABCD'}} = \dfrac{1}{3}.2{a^2}.\sqrt 3 a = \dfrac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).
Chọn C.
Câu 25 (TH)
Phương pháp:
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đường thẳng với đồ thị hàm số.
Cách giải:
Ta có \(3f\left( x \right) - 7 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{7}{3} \in \left( { - 1;3} \right)\).
Suy ra phương trình đã cho có \(4\) nghiệm phân biệt.
Chọn A.
Câu 26 (NB)
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa các đường tiệm cận đứng và ngang.
Cách giải:
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 3\) nên \(y = 3\) là đường tiệm cận ngang.
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty \)nên \(x = 1\) là đường tiệm cận đứng.
Vậy hàm số đã cho có hai đường tiệm cận.
Chọn B.
Câu 27 (NB)
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp cộng trừ thể tích khối đa diện và công thức tính tỉ số thể tích các khối chóp \(\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\).
Cách giải:
Đặt \(V = {V_{S.ABC}} = 24{a^3}\).
Ta có \({V_{S.MNC}} = {V_{S.ABC}} - {V_{S.AMC}} - {V_{B.MNC}}\)
Mà \(\dfrac{{{V_{S.AMC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{AM}}{{AB}}.\dfrac{{AS}}{{AS}}.\dfrac{{AC}}{{AC}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow {V_{S.AMC}} = \dfrac{1}{2}V\)
\(\dfrac{{{V_{B.MNC}}}}{{{V_{B.ASC}}}} = \dfrac{{BM}}{{BA}}.\dfrac{{BN}}{{BS}}.\dfrac{{BC}}{{BC}}\) \( = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.1 = \dfrac{1}{6}\) \( \Rightarrow {V_{B.MNC}} = \dfrac{1}{6}V\)
\( \Rightarrow {V_{S.MNC}} = V - \dfrac{1}{2}V - \dfrac{1}{6}V\) \( = \dfrac{1}{3}V = 8{a^3}\)
Chọn A.
Câu 28 (TH)
Phương pháp:
Thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).
Cách giải:
Ta có:
\({V_{O.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.{S_{A'B'C'D'}}.{d_{\left( {O,\left( {A'B'C'D'} \right)} \right)}}\)\( = \dfrac{1}{3}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \dfrac{V}{3}\)
Chọn A.
Câu 29 (TH)
Phương pháp:
- Tính đạo hàm \(y'\).
- Hàm số nghịch biến \( \Leftrightarrow y' < 0\).
Cách giải:
Ta có \(y' = - 2f'\left( {1 - 2x} \right)\).
\( - 2f'\left( {1 - 2x} \right) < 0 \Leftrightarrow f'\left( {1 - 2x} \right) > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - 2x > 1\\ - 3 < 1 - 2x < - 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 0\\1 < x < 2\end{array} \right.\)
Vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {1;2} \right)\).
Chọn D.
Câu 30 (VD)
Phương pháp:
Tính \(y'\)
Biện luận các trường hợp hàm số đồng biến, nghịch biến để suy ra GTNN của hàm số trên \(\left[ {3;5} \right]\).
Cách giải:
Hàm số \(y = \dfrac{{x + m}}{{x - 2}}\) xác định và liên tục trên \(\left[ {3;5} \right]\). Ta có \(y' = \dfrac{{ - 2 - m}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).
+ Xét \( - 2 - m > 0 \Leftrightarrow m < - 2\,\,\left( * \right)\).
Khi đó hàm số đồng biến trện \(\left[ {3;5} \right]\).
Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} y = y\left( 3 \right) = 3 + m\). Do đó \(3 + m = 4 \Leftrightarrow m = 1\)( không thỏa \(\left( * \right)\)).
+ Xét \( - 2 - m < 0 \Leftrightarrow m > - 2\,\,\,\left( {**} \right)\).
Khi đó hàm số nghịch biến trện \(\left[ {3;5} \right]\).
Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} y = y\left( 5 \right) = \dfrac{{5 + m}}{3}\). Do đó \(\dfrac{{5 + m}}{3} = 4 \Leftrightarrow m = 7\)( thỏa \(\left( {**} \right)\)).
Vậy \(m = 7 > 5\).
Chọn A.
Câu 31 (TH)
Phương pháp:
Sử dụng công thức \(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)
Cách giải:
Ta có: \(y' = \dfrac{{{{2.3}^x} - \left( {2x + 1} \right){3^x}\ln 3}}{{{3^{2x}}}} = \dfrac{{2 - \left( {2x + 1} \right)\ln 3}}{{{3^x}}}\).
Chọn D.
Câu 32 (NB)
Phương pháp:
Số điểm cực trị bằng số nghiệm bội lẻ của đạo hàm.
Cách giải:
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 3\end{array} \right.\).
Trong đó \(x = 0\) là nghiệm đơn, \(x = - 3\) là nghiệm kép
Vậy hàm số có \(1\) điểm cực trị.
Chọn B.
Câu 33 (TH)
Phương pháp:
Thể tích khối hộp chữ nhật \(V = abc\).
Cách giải:
Ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt 5 \)
\(CC' = \sqrt {A{{C'}^2} - A{C^2}} = \sqrt {14{a^2} - 5{a^2}} = 3a\)
Vậy \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AB.AD.CC' = a.2a.3a = 6{a^3}\).
Chọn C.
Câu 34 (TH)
Phương pháp:
Sử dụng công thức \(\left( {{u^\alpha }} \right)' = \alpha {u^{\alpha - 1}}u'\)
Cách giải:
Ta có:
\(y' = \dfrac{1}{4}{\left( {3{x^2} - 2x + 1} \right)^{ - \dfrac{3}{4}}}.{\left( {3{x^2} - 2x + 1} \right)^\prime }\)\( = \dfrac{1}{4}{\left( {3{x^2} - 2x + 1} \right)^{ - \dfrac{3}{4}}}.\left( {6x - 2} \right)\) \( = \dfrac{{\left( {3x - 1} \right){{\left( {3{x^2} - 2x + 1} \right)}^{ - {\textstyle{3 \over 4}}}}}}{2}\)
Chọn B.
Câu 35 (VD)
Phương pháp:
Tìm tọa độ các điểm cực trị và suy ra diện tích.
Cách giải:
Ta có: \(y' = - 6{x^2} + 6x\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow - 6{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)
Các điểm cực trị của đồ thị là \(A\left( {0; - 7} \right)\) và \(B\left( {1; - 6} \right)\).
Do đó: \(\overrightarrow {OA} = \left( {0; - 7} \right)\), \(\overrightarrow {OB} = \left( {1; - 6} \right)\)
Vậy \({S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}\left| {0.\left( { - 6} \right) - 1.\left( { - 7} \right)} \right| = \dfrac{7}{2}\).
Chọn C.
Câu 36 (VD)
Phương pháp:
Xét phương trình hoành độ giao điểm.
Viết công thức tính khoảng cách giữa hai giao điểm và áp dụng Vi – et tìm GTNN.
Cách giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường là: \(\dfrac{{3x - 1}}{{x - 2}} = 2x + m\).
\( \Leftrightarrow 3x - 1 = \left( {2x + m} \right)\left( {x - 2} \right)\) (vì \(x = 2\) không thỏa phương trình).
\( \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {m - 7} \right)x + 1 - 2m = 0\)
Ta có: \(\Delta = {m^2} + 2m + 41 > 0,\forall m \in \mathbb{R}\)
Hai đường luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\).
Gọi \(A\left( {{x_1};2{x_1} + m} \right),B\left( {{x_2};2{x_2} + m} \right).\) Khi đó: \({x_1} + {x_2} = \dfrac{{7 - m}}{2},{x_1}{x_2} = \dfrac{{1 - 2m}}{2}\)
\( \Rightarrow AB = \sqrt 5 \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \)\( = \sqrt 5 \sqrt {{{\left( {\dfrac{{7 - m}}{2}} \right)}^2} - 4\left( {\dfrac{{1 - 2m}}{2}} \right)} \) \( = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\sqrt {{m^2} + 2m + 41} \) \( = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\sqrt {{{\left( {m + 1} \right)}^2} + 40} \)
\( \Rightarrow AB \ge \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\sqrt {40} = 5\sqrt 2 \).
Đẳng thức xảy ra khi \(m = - 1\)
Chọn D.
Câu 37 (TH)
Phương pháp:
Tính \(y',y''\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \({x_0}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( {{x_0}} \right) = 0\\y''\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right.\).
Cách giải:
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 12x + 9\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.,y'' = 6x - 12\)
\(y'''\left( 3 \right) = 6 > 0\) \( \Rightarrow {x_{CT}} = 3,{y_{CT}} = - 2\)
Suy ra đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là \(\left( {3; - 2} \right)\).
Chọn A.
Câu 38 (VD)
Phương pháp:
Thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).
Cách giải:
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SM\).
Khi đó ta có \(AH = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\). Ta có: \(AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},AH = \dfrac{{3a}}{4}\).
\(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{M^2}}}\)\( \Rightarrow \dfrac{1}{{S{A^2}}} = \dfrac{4}{{9{a^2}}} \Rightarrow SA = \dfrac{{3a}}{2}\)
\(V = \dfrac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SA = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{3a}}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\).
Chọn B.
Câu 39 (TH)
Phương pháp:
Hàm số lũy thừa có số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.
Cách giải:
Theo đề bài ta có: \({x^2} + 2mx + m + 20 > 0{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\).
\( \Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - m - 20 < 0 \Leftrightarrow - 4 < m < 5\).
Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}\).
Chọn B.
Câu 40 (VD)
Phương pháp:
Biến đổi \({\log _{40}}75\) tìm \(a,b,c\) suy ra tích \(abc\).
Cách giải:
Cách 1:
Ta có: \({\log _{40}}75 = \dfrac{{{{\log }_2}75}}{{{{\log }_2}40}}\)\( = \dfrac{{{{\log }_2}3 + 2{{\log }_2}5}}{{3{{\log }_2}2 + {{\log }_2}5}}\) \( = \dfrac{{{{\log }_2}3 + 2{{\log }_2}5}}{{3 + {{\log }_2}5}}\) \( \Rightarrow c = 3\)
\(a + \dfrac{{{{\log }_2}3 - b}}{{c + {{\log }_2}5}} = a + \dfrac{{{{\log }_2}3 - b}}{{3 + {{\log }_2}5}}\)\( = \dfrac{{{{\log }_2}3 + \left( {a{{\log }_2}5 + 3a - b} \right)}}{{3 + {{\log }_2}5}}\)
Suy ra: \(a{\log _2}5 + 3a - b = 2{\log _2}5\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\3a - b = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 6\end{array} \right.\).
Vậy \(abc = 2.6.3 = 36\).
Cách 2:
Ta có: \({\log _{40}}75 = \dfrac{{{{\log }_2}75}}{{{{\log }_2}40}}\)\( = \dfrac{{{{\log }_2}3 + 2{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}40}}\) \( = \dfrac{{{{\log }_2}3 + 2\left( {{{\log }_2}40 - 3} \right)}}{{{{\log }_2}40}}\) \( = 2 + \dfrac{{{{\log }_2}3 - 6}}{{3 + {{\log }_2}5}}\)
Suy ra: \(a = 2,\,b = 6,\,c = 3\).
Vậy \(abc = 2.6.3 = 36\).
Chọn B.
PHẦN II: TỰ LUẬN (2 điểm)
Câu 1 (VD)
Phương pháp:
- Tính đạo hàm và tìm nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;3} \right]\).
- Tinh giá trị của hàm số tại các điểm và so sánh.
Cách giải:
Hàm số xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\).
Trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) ta có \(y' = 3{x^2} - 3\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left[ {0;3} \right]\\x = - 1 \notin \left[ {0;3} \right]\end{array} \right.\).
\(y\left( 0 \right) = 7;\,y\left( 1 \right) = 5;\,y\left( 3 \right) = 25\).
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = 25\) và \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = 5\).
Câu 2 (VD)
Phương pháp:
Thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).
Cách giải:
Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\). Suy ra \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Ta giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\), \(AB = a\), \(SH\) là đường cao vừa là trung tuyến nên \(SH = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}a.\)
Vậy \({V_{SACD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ACD}}.SH\)\( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}{a^2}.\dfrac{1}{2}a = \dfrac{{{a^3}}}{{12}}\)
