Đề bài
Nêu cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm. Tìm các cực trị của hàm số \(y= {x^4}-2{x^2} + 2.\)
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Các quy tắc tìm cực trị của hàm số:
Quy tắc 1:
B1. Tìm tập xác định.
B2. Tính \(f’(x)\). Tìm các điểm tại đó \(f’(x)=0\) hoặc \(f’(x)\) không xác định.
B3. Lập bảng biến thiên.
B4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2:
B1. Tìm tập xác định.
B2. Tính \(f’(x)\). Giải phương trình \(f’(x)=0\) và kí hiệu \(x_i \, \, (i=1,\, 2, \, 3, \, …..)\) là các nghiệm của nó.
B3. Tính \(f’’ (x)\) và \(f’’ (x_i).\)
B4. Nếu \(f’’ (x_i) > 0\) thì \(x_i\) là điểm cực tiểu.
Nếu \(f’’ (x_i) < 0\) thì \(x_i\) là điểm cực đại.
Lời giải chi tiết
Xét hàm số: \(y= {x^4}-2{x^2} + 2\)
Có đạo hàm là: \(y’ = 4x^3– 4x \Rightarrow y' = 0\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \pm 1
\end{array} \right..
\end{array}\)
Đạo hàm cấp hai: \(y’’ = 12x^2 – 4\)
Ta có: \(y’’(0) = -4 < 0 ⇒\) điểm \(x=0\) là điểm cực đại và \(y_{CĐ}=y(0)=2.\)
\(y’’(-1) = 8 > 0; \, y’’(1) = 8 > 0\)
\(⇒ x=1\) và \(x=-1\) là các điểm cực tiểu, \(y_{CT}= y( \pm 1)=1\).
