Đề bài
Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn \(2z - \left( {3 + 4i} \right) = 5 - 2i\). Mô đun của z bằng bao nhiêu ?
A. \(\sqrt {15} \). B. 5
C. \(\sqrt {17} \) D. \(\sqrt {29} \).
Câu 2. Cho số phức \(z = {\left( {\dfrac{{1 + 2i}}{{2 - i}}} \right)^{2022}}\). Tìm phát biểu đúng .
A. z là số thuần ảo.
B. z có phần thực âm.
C. z là số thực.
D. z có phần thực dương.
Câu 3. Trong C, cho phương trình bậc hai \(a{z^2} + bz + c = 0\,\,(*)\,\,(a \ne 0)\). Gọi \(\Delta = {b^2} - 4ac\). Ta xét các mệnh đề:
+ Nếu \(\Delta \) là số thực âm thì phương trình (*) vô nghiệm.
+ Nếu \(\Delta \ne 0\) thì phương trình có hai nghiệm số phân biệt.
+ Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có một nghiệm kép.
Trong các nệnh đề trên:
A. Cả ba mệnh đề đều đúng .
B. Có một mệnh đề đúng.
C. Không mệnh đề nào đúng .
D. Có hai mệnh đề đúng.
Câu 4. Số phức nghịch đảo của số phức \(z = 1 - \sqrt 3 i\) là:
A. \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i\).
B. \(1 + \sqrt 3 i\).
C. \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}i\).
D. \( - 1 + \sqrt 3 i\).
Câu 5. Biết nghịch đảo của số phức z là liên hợp của nó. Chọn mệnh đề đúng
A. \(|z| = 2\)
B. \(|z| = 1\).
C. z là số thực.
D. z là số thuần ảo.
Câu 6. Cho số phức \(z = a + bi\). Tìm mệnh đề đúng.
A. \(z - \overline z = 2a\).
B. \(z + \overline z = 2bi\).
C. \(|{z^2}| = |z{|^2}\).
D. \(z.\overline z = {a^2} + {b^2}\).
Câu 7. Thu gọn số phức \(i\left( {2 - i} \right)\left( {3 + i} \right)\) ta được:
A. 6.
B. 2 + 5i.
C. 1 + 7i.
D. 7i.
Câu 8. Gọi \({z_1}\,,\,{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({z^2} - 2z + 2 = 0\). Tính giá trị của \(P = \left| {\dfrac{1}{{{z_1}}} + \dfrac{1}{{{z_2}}}} \right|\).
A. P = 1
B. P = 4.
C. P = 0.
D. P = \(\sqrt 2 \).
Câu 9. Cho số phức z = 2 – 3i . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. Phần thực của z bằng 2 và phần ảo của z bằng 3i.
B. Phần thực của z bằng 2 và phần ảo của z bằng 3.
C. Phần thực của z bằng 2 và phần ảo của z bằng - 3i.
D. Phần thực của z bằng 2 và phần ảo của z bằng - 3.
Câu 10. Tìm b, c \( \in R\) để phương trình \(2{z^2} - bz + c = 0\) có hai nghiệm thuần ảo.
A. \(\left\{ \begin{array}{l}b > 0\\c = 0\end{array} \right.\).
B. \(\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\c < 2\end{array} \right.\).
C. \(\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\c > - 2\end{array} \right.\).
D. \(\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\c > 0\end{array} \right.\).
Câu 11. Hai số phức \(z = a + bi,\,\,z' = a + b'i\) bằng nhau khi:
A. \(a = b'\).
B. a = b .
C. \(b = b'\).
D. a = - b.
Câu 12. Số phức \(z = \dfrac{{3 + 4i}}{{2 + 3i}} + \dfrac{{5 - 2i}}{{2 - 3i}}\) bằng:
A. \(\dfrac{{34}}{{13}} + \dfrac{{10}}{{13}}i\).
B. \(\dfrac{{34}}{{13}} - \dfrac{{10}}{{13}}i\).
C. \( - \dfrac{{34}}{{13}} + \dfrac{{10}}{{13}}i\).
D. \( - \dfrac{{34}}{{13}} - \dfrac{{10}}{{13}}i\).
Câu 13. Cho hai nghiệm \({z_1} = - \sqrt 3 + i\sqrt 2 \,,\,\,{z_2} = - \sqrt 3 - i\sqrt 2 \). Phương trình bậc hai có nghiệm là hai nghiệm trên là:
A. \({z^2} + 3\sqrt 2 z + 5 = 0\).
B. \({z^2} + 2\sqrt 3 z + 5 = 0\).
C. \({z^2} - 2\sqrt 3 z + 5 = 0\).
D. \({z^2} + 5z + 2\sqrt {3 = 0} \).
Câu 14. Cho số phức thỏa mãn điều kiện \(|z - 2 + 2i| = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của \(|z|\).
A. \(\max |z| = 2\sqrt 2 + 1\).
B. \(\max |z| = 2\sqrt 2 \).
C. \(\max |z| = 2\sqrt 2 + 2\)
D. \(\max |z| = 2\sqrt 2 - 1\).
Câu 15. Phần thực và phần ảo của số phức \(z = {\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)^2}\) là:
A. 1 và 3.
B. 1 và – 3 .
C. – 2 và \(2\sqrt 3 \).
D. 2 và \( - 2\sqrt 3 \).
Câu 16. Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm trên đường thẳng 3x – 4y – 3 =0, \(|z|\) nhỏ nhất bằng:
A. \(\dfrac{1}{5}\) B. \(\dfrac{4}{5}\)
C.\(\dfrac{2}{5}\) D. \(\dfrac{3}{5}\).
Câu 17. Mô đun của số phức z thỏa mãn \(\overline z = 8 - 6i\) là:
A. 2 B. 10
C. 14 D. \(2\sqrt 7 \).
Câu 18. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \(|z| = 3\) là:
A. Hai đường thẳng .
B. Đường tròn bán kính bằng 3.
C. Đường tròn bán kính bằng 9.
D. Hình tròn bán kính bằng 3.
Câu 19. Cho \(z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)\). Chọn mệnh đề đúng.
A. r là acgumen của z.
B. r là mô đun của z.
C. \(\cos \varphi \) là acgumen của z.
D. \(\sin \varphi \) là acgumen của z.
Câu 20. Tích của hai số phức \({z_1} = 3 + 2i\,,\,\,{z_2} = 2 - 3i\) là;
A. 6 – 6i .
B. 12 + 12i.
C. 12 – 5i.
D. 12 + 5i.
Câu 21. Số phức z có mô đun r = 3 và acgumen \(\varphi = \pi \) thì có dạng lượng giác là:
A. \(z = 3\left( {\cos 2\pi + i\sin 2\pi } \right)\).
B. \(z = 3\left( {\cos \left( { - \pi } \right) + i\sin \left( { - \pi } \right)} \right)\).
C. \(z = 3\left( {\sin \pi + i\cos \pi } \right)\).
D. \(z = 3\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in3}}\pi + i\cos 3\pi } \right)\).
Câu 22. Phương trình \({z^2} + 4z + 13 = 0\)có các nghiệm là;
A. \(2 \pm 3i\).
B. \(4 \pm 6i\).
C. \( - 4 \pm 6i\).
D. \( - 2 \pm 3i\)
Câu 23. Gọi \(\varphi \) là 1 acgumen cảu số phức z có biểu diễn là \(M\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)nằm trên đường tròn đơn vị, số đo nào sau đây có thể là một acgumen của z ?
A. \(\dfrac{\pi }{2}\) B. \(\dfrac{\pi }{3}\)
C. \(\dfrac{\pi }{4}\) D. \(\dfrac{\pi }{6}\).
Câu 24. Tìm điểm M biểu diễn số phức z = 3 - 4i.
A. M ( 3 ; - 4). B. M (3 ; 4).
C. M ( -3 ; 4). D. M (-4 ; 3).
Câu 25. Cho số phức z = 6 + 8i. Giá trị của \(S = 2|z| - 1\) bằng bao nhiêu ?
A. S = 10. B. S = 19.
C. S = 11. D. S = 15.
Lời giải chi tiết
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| C | C | D | C | B |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| D | C | A | D | D |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| C | A | B | A | C |
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| D | B | B | B | C |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| B | D | D | A | B |
Lời giải chi tiết
Câu 1: C
\(\begin{array}{l}2z - \left( {3 + 4i} \right) = 5 - 2i\\ \Leftrightarrow 2z = 5 - 2i + 3 + 4i\\ \Leftrightarrow 2z = 8 + 2i\\ \Leftrightarrow z = 4 + i\\ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{4^2} + 1} = \sqrt {17} \end{array}\)
Câu 2: C
\(\begin{array}{l}z = {\left( {\dfrac{{1 + 2i}}{{2 - i}}} \right)^{2022}}\\\;\; = {\left[ {\dfrac{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {2 + i} \right)}}{{{2^2} - {i^2}}}} \right]^{2022}}\\\,\,\, = {\left[ {\dfrac{{2 + 5i + 2{i^2}}}{5}} \right]^{2022}}\\\;\; = {i^{2022}} = {\left( {{i^2}} \right)^{1011}}\\\,\,\, = {\left( { - 1} \right)^{1011}} = - 1\end{array}\)
Câu 3: D
Câu 4:C
\(z = 1 - i\sqrt 3 \)
Số phức liên hợp của z là \(\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{1 - i\sqrt 3 }} = \dfrac{{1 + i\sqrt 3 }}{{1 - 3{i^2}}} \)\(\;= \dfrac{1}{4} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}i\)
Câu 5: B
Đặt z = a + bi \(a,b \in \mathbb{Z}\)
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{z} = \overline z \\ \Rightarrow \dfrac{1}{{a + bi}} = a - bi\\ \Rightarrow 1 = \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right)\\ \Leftrightarrow 1 = {a^2} - {b^2}{i^2}\\ \Rightarrow 1 = {a^2} + {b^2}\\ \Rightarrow 1 = \left| z \right|\end{array}\)
Câu 6: D
Đặt z = a + bi \(a,b \in \mathbb{Z}\)
\(\begin{array}{l}z - \overline z = a + bi - \left( {a - bi} \right) = 2bi\\z + \overline z = a + bi + \left( {a - bi} \right) = 2a\\\left| {{z^2}} \right| = \left| {{{\left( {a + bi} \right)}^2}} \right| = \left| {{a^2} - {b^2} + 2abi} \right|\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2} + 4{a^2}{b^2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{a^4} + 2{a^2}{b^2} + {b^4}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}} = {a^2} + {b^2}\\z\overline z = (a + bi)\left( {a - bi} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = {a^2} - {b^2}{i^2} = {a^2} + {b^2}\end{array}\)
Câu 7: C
\(i(2 - i)(3 + i) = i\left( {6 - i - {i^2}} \right) \)\(\,= i\left( {7 - i} \right) = 1 + 7i\)
Câu 8: A
\(\)\(\begin{array}{l}{z^2} - 2z + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{z^2} - 2z + 1} \right) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {z - 1} \right)^2} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {z - 1} \right)^2} = - 1\\ \Rightarrow {\left( {z - 1} \right)^2} = {i^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z - 1 = i\\z - 1 = - i\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 1 + i\\{z_2} = 1 - i\end{array} \right.\end{array}\)
Có \(\begin{array}{l}P = \left| {\dfrac{1}{{{z_1}}} + \dfrac{1}{{{z_2}}}} \right| = \left| {\dfrac{1}{{1 + i}} + \dfrac{1}{{1 - i}}} \right|\\\,\,\,\,\, = \left| {\dfrac{{1 - i + 1 + i}}{{\left( {1 + i} \right)\left( {1 - i} \right)}}} \right| = \left| {\dfrac{1}{{1 - {i^2}}}} \right| = 1\end{array}\)
Câu 9: D
Câu 10: D
Để pt \(2{z^2} - bz + c = 0\)có hai nghiệm thuần ảo
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta < 0\\ \Rightarrow {b^2} - 4.2.c < 0\\ \Rightarrow {b^2} - 8c < 0\end{array}\)
Câu 11: C
Câu 12:A
\(\begin{array}{l}z = \dfrac{{3 + 4i}}{{2 + 3i}} + \dfrac{{5 - 2i}}{{2 - 3i}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {3 + 4i} \right)\left( {2 - 3i} \right) + \left( {5 - 2i} \right)\left( {2 + 3i} \right)}}{{4 - 9{i^2}}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{6 - i - 12{i^2} + 10 + 11i - 6{i^2}}}{{13}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{34}}{{13}} + \dfrac{{10}}{{13}}i\end{array}\)
Câu 13: B
PT bậc hai có 2 nghiệm \({z_1} = - \sqrt 3 + i\sqrt 2 ;{z_2} = - \sqrt 3 - i\sqrt 2 \):
\(\begin{array}{l}\left[ {z - \left( { - \sqrt 3 + i\sqrt 2 } \right)} \right]\left[ {z - \left( { - \sqrt 3 - i\sqrt 2 } \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow {z^2} + 2\sqrt 3 z + 3 - 2{i^2} = 0\\ \Leftrightarrow {z^2} + 2\sqrt 3 z + 5 = 0\end{array}\)
Câu 14: A
Đặt z = x +yi M (x, y)
\(\begin{array}{l}\left| {z - 2 + 2i} \right| = 1\\ \Rightarrow \left| {x + yi - 2 + 2i} \right| = 1\\ \Rightarrow \left| {\left( {x - 2} \right) + \left( {y + 2} \right)i} \right| = 1\\ \Rightarrow \sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{(y + 2)}^2}} = 1\end{array}\)
Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(2,-2), bán kính r=1
Ta có \(\left| z \right| = \left| {x = yi} \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)
Lấy H( 0, 0) và M( x, y) thì \(HM = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)
Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao điểm của HI với đường tròn
Với H( 0, 0) và I( 2, -2) nên \(\overrightarrow {HI} = (2, - 2)\)
Phương trình đường thẳng HI:
\((1)\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = - 2t\end{array} \right.\)
Do HI giao với đường tròn nên ta thay (1) vào pt đường tròn, ta được:
\(\begin{array}{l}{\left( {2t - 2} \right)^2} + {\left( { - 2t + 2} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow 8{\left( {t - 1} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow {(t - 1)^2} = \dfrac{1}{8}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 1 = \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\\t - 1 = \dfrac{{ - 1}}{{2\sqrt 2 }}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 + \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} \\t = 1 - \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} \end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow {M_1}\left( {2 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}, - 2 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\) \(\Rightarrow H{M_1} = 2\sqrt 2 + 1\)
\(\Rightarrow {M_2}\left( {2 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}, - 2 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) \) \(\Rightarrow H{M_2} = 2\sqrt 2 - 1\)
\( \Rightarrow {\left| z \right|_{{\rm{max}}}} = H{M_1} = 2\sqrt 2 + 1\) với \({M_1}\left( {2 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}, - 2 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\)
Câu 15: C
\(z = {\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)^2} = 1 + 2\sqrt 3 i + 3{i^2}\)\(\, = - 2 + 2\sqrt 3 i\)
phần thực: -2 ; phần ảo: \(2\sqrt 3 \)
Câu 16: D
\(\left( \Delta \right):3x - 4y - 3 = 0\)
Đặt z= x+yi
\(\left| z \right| = \left| {x + yi} \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)
L ấy O(0, 0).
Ta có |z|min khi kh oảng c ách t ừ O đ ến \(\left( \Delta \right)\) l à ng ắn nh ất
\({\left| z \right|_{\min }} = d(O',\Delta ) = \dfrac{{\left| {3.0 - 4.0 - 3} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} \)\(\,= \dfrac{3}{5}\)
Câu 17: B
\(\left| z \right| = \left| {\overline z } \right| = \sqrt {{8^2} + {6^2}} = 10\)
Câu 18: B
Đặt z = x + yi
\(\begin{array}{l}\left| z \right| = 3 \Rightarrow \left| {x + yi} \right| = 3\\ \Rightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 3\end{array}\)
Tập hợp biểu diễn số phức z là đường tròn tâm 0( 0, 0), bán kính bằng 3
Câu 19: B
Câu 20: C
Với z1= 3 + 2i , z2= 2 – 3i
\({z_1}.{z_2} = \left( {3 + 2i} \right)\left( {2 - 3i} \right) \)\(\,= 6 - 5i - 6{i^2} = 12 - 5i\)
Câu 21: B
Câu 22: D
\(\begin{array}{l}{z^2} + 4z + 13 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{z^2} + 4z + 4} \right) + 9 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {z + 2} \right)^2} = - 9\\ \Rightarrow {\left( {z + 2} \right)^2} = 9{i^2}\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z + 2 = 3i\\z + 2 = - 3i\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = - 2 + 3i\\z = - 2 - 3i\end{array} \right.\end{array}\)
Câu 23: D
Câu 24: A
Câu 25: B
