Video hướng dẫn giải
Tính các tích phân sau:
LG a
∫12−123√(1−x)2dx∫12−123√(1−x)2dx
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng ∫(ax+b)ndx=1a(ax+b)n+1n+1+C
Lời giải chi tiết:
12∫−123√(1−x)2dx=12∫−12(1−x)23dx=1−1.(1−x)23+123+1|12−12=−1.(1−x)5353|12−12=−35(1−x)53|12−12=−35.[(12)53−(32)53]=−35[13√25−3√353√25]=−35[13√23.22−3√33.323√23.22]=−35[123√4−33√923√4]=3103√4(33√9−1)
LG b
∫π20sin(π4−x)dx
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng:
∫sin(ax+b)dx=−1acos(ax+b)+C
Lời giải chi tiết:
π2∫0sin(π4−x)dx
=−1−1cos(π4−x)|π20
=cos(π4−x)|π20
=cos(−π4)−cosπ4=0
LG c
∫2121x(x+1)dx
Phương pháp giải:
Sử dụng phân tích: 1x(x+1)=1x−1x+1 sau đó sử dụng công thức tính nguyên hàm mở rộng: ∫1ax+bdx=1a.ln|ax+b|+C.
Lời giải chi tiết:
Ta có: 1x(x+1)
=x+1−xx(x+1)=x+1x(x+1)−xx(x+1)
=1x−1x+1
⇒2∫121x(x+1)dx=2∫12(1x−1x+1)dx=(ln|x|−ln|x+1|)|212=ln|xx+1||212=ln23−ln13=ln(23:13)=ln2.
LG d
∫20x(x+1)2dx
Phương pháp giải:
Nhân đa thức và áp dụng công thức nguyên hàm: ∫xndx=xn+1n+1+C.
Lời giải chi tiết:
x(x+1)2=x(x2+2x+1)=x3+2x2+x⇒2∫0x(x+1)2dx=2∫0(x3+2x2+x)dx=(x44+2x33+x22)|20=(244+2.233+222)−0=343
LG e
∫2121−3x(x+1)2dx
Phương pháp giải:
Phân tích đa thức trong tích phân dưới dạng : 1−3x(x+1)2=Ax+1+B(x+1)2 và sử dụng các công thức nguyên hàm:
∫dxax+b=1aln|ax+b|+C
∫dx(ax+b)2=1a−1ax+b+C
Lời giải chi tiết:
1−3x(x+1)2=−3x−3+4(x+1)2=−3(x+1)+4(x+1)2=−3x+1+4(x+1)2⇒2∫121−3x(x+1)2dx=2∫12(−3x+1+4(x+1)2)dx=−32∫12dxx+1+42∫12dx(x+1)2=−3ln|x+1||212−4x+1|212=−3(ln3−ln32)−4(13−23)=−3ln2+43
LG g
∫π2−π2sin3xcos5xdx
Phương pháp giải:
Cách 1: Chứng minh hàm số f(x)=sin3xcos5x là hàm số lẻ và áp dụng công thức a∫−af(x)dx=0 (Với f(x) là hàm số lẻ, a∈R.
Cách 2: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
Đặt f(x)=sin3xcos5x ta có:
f(−x)=sin(−3x)cos(−5x)=−sin3xcos5x=−f(x)
⇒ hàm số đã cho là hàm số lẻ, từ đó ta có:
π2∫−π2sin3xcos5xdx=0.
Cách 2:
sin3xcos5x=12[sin(3x+5x)+sin(3x−5x)]=12(sin8x+sin(−2x))=12(sin8x−sin2x)⇒π2∫−π2sin3xcos5xdx=12π2∫−π2(sin8x−sin2x)dx=12(−cos8x8+cos2x2)|π2−π2=12(−58−(−58))=0
