Đề bài
Chứng minh rằng hàm số y=√|x| không có đạo hàm tại x=0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tính giới hạn trái, giới hạn phải của f(x)−f(x0)x−x0 khi x→x0, từ đó suy ra không tồn tại đạo hàm tại x=x0.
- Chứng minh f(x)≥f(0) với mọi x∈R.
Lời giải chi tiết
Ta có:
y=f(x)=√|x|={√xkhix≥0√−xkhix<0lim0+f(x)−f(0)x−0=limx→0+√xx=limx→0+1√x=+∞limx→0−f(x)−f(0)x−0=limx→0−√−xx=limx→0−√−x−(√−x)2=limx→0−−1√−x=−∞⇒limx→0+f(x)−f(0)x−0≠limx→0−f(x)−f(0)x−0
⇒ Không tồn tại đạo hàm của hàm số đã cho tại x=0.
Dễ thấy f(x)=√|x|≥0 với mọi x∈R và f(0)=0 nên x=0 chính là điểm cực tiểu của hàm số.
