Video hướng dẫn giải
LG a
Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:
y=x4−2x2+1 ;
Phương pháp giải:
Quy tắc II tìm cực trị của hàm số.
Bước 1: Tìm tập xác định.
Bước 2: Tính f′(x). Giải phương trình f′(x)=0 và kí hiệu xi(i=1,2,...,n) là các nghiệm của nó.
Bước 3: Tính f″(x) và f″(xi).
Bước 4: Dựa vào dấu của f″(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.
Lời giải chi tiết:
TXĐ: D=R.
y′=4x3−4x=4x(x2−1) ;
y′=0 ⇔4x(x2−1)=0 ⇔x=0,x=±1.
y″=12x2−4.
y″(0)=−4<0 nên hàm số đạt cực đại tại x=0,
yCĐ = y(0)=1.
y″(±1)=8>0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x=±1,
yCT = y(±1) = 0.
LG b
y=sin2x–x;
Phương pháp giải:
Quy tắc II tìm cực trị của hàm số.
Lời giải chi tiết:
TXĐ: D=R.
y′=2cos2x−1 ;
y′=0⇔cos2x=12 ⇔2x=±π3+k2π
⇔x=±π6+kπ.
y″=−4sin2x.
y″(π6+kπ)=−4sin(π3+k2π)
=−2√3<0 nên hàm số đạt cực đại tại các điểm x = \dfrac{\pi }{6}+ kπ,
yCĐ = \sin (\dfrac{\pi }{3}+ k2π) - \dfrac{\pi }{6} - kπ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\pi }{6}- kπ , k ∈\mathbb Z.
y''\left ( -\dfrac{\pi }{6} +k\pi \right )=-4\sin \left (- \dfrac{\pi }{3} +k2\pi \right )
=2\sqrt{3}>0 nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x =-\dfrac{\pi }{6}+ kπ,
yCT = \sin (-\dfrac{\pi }{3}+ k2π) + \dfrac{\pi }{6} - kπ =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\pi }{6} - kπ , k ∈\mathbb Z.
LG c
y = \sin x + \cos x;
Phương pháp giải:
Quy tắc II tìm cực trị của hàm số.
Lời giải chi tiết:
TXĐ: D = \mathbb R.
y = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin \left (x+\dfrac{\pi }{4} \right );
y' =\sqrt{2}\cos \left (x+\dfrac{\pi }{4} \right ) ;
y'=0\Leftrightarrow \cos \left (x+\dfrac{\pi }{4} \right )=0\Leftrightarrowx+\dfrac{\pi }{4} =\dfrac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi .
y''=-\sqrt{2}\sin \left ( x+\dfrac{\pi }{4} \right ).
y''\left ( \dfrac{\pi }{4} +k\pi \right )=-\sqrt{2}\sin \left ( \dfrac{\pi }{4}+k\pi +\dfrac{\pi }{4} \right )
=-\sqrt{2}\sin \left ( \dfrac{\pi }{2} +k\pi \right )
=\left\{ \matrix{ - \sqrt 2 \text{ nếu k chẵn} \hfill \cr \sqrt 2 \text{ nếu k lẻ} \hfill \cr} \right.
Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm x=\dfrac{\pi }{4}+k2\pi,
đạt cực tiểu tại các điểm x=\dfrac{\pi }{4}+(2k+1)\pi (k\in \mathbb{Z}).
LG d
y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^5}-{\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1.
Phương pháp giải:
Quy tắc II tìm cực trị của hàm số.
Lời giải chi tiết:
TXĐ: D = \mathbb R.
y'{\rm{ }} = {\rm{ }}5{x^4} - {\rm{ }}3{x^2} - {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}({x^2} - {\rm{ }}1)(5{x^2} + {\rm{ }}2); y'{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {x^{2}} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = \pm 1.
y''{\rm{ }} = {\rm{ }}20{x^{3}} - {\rm{ }}6x.
y''(1) = 14 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1,
yCT = y(1) = -1.
y''(-1) = -14 < 0 hàm số đạt cực đại tại x = -1,
yCĐ = y(-1) = 3.
