Đề bài
Xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y=\dfrac{x^{2}+mx+1}{x+m}\) đạt cực đại tại \(x = 2\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Vận dụng kiến thức:
\({x_0}\) là điểm cực đại của hàm số \(y = f\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -m \right \};\)
Ta có: \(y = x + \dfrac{1}{{x + m}}\) \( \Rightarrow y' = 1 - \dfrac{1}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\) \( \Rightarrow y'' = \dfrac{{2\left( {x + m} \right)}}{{{{\left( {x + m} \right)}^4}}} = \dfrac{2}{{{{\left( {x + m} \right)}^3}}}\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( 2 \right) = 0\\y''\left( 2 \right) < 0\end{array} \right.\)
+) \(y''\left( 2 \right) < 0 \Leftrightarrow \dfrac{2}{{{{\left( {2 + m} \right)}^3}}} < 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {2 + m} \right)^3} < 0 \Leftrightarrow 2 + m < 0\) \( \Leftrightarrow m < - 2\)
+) \(y'\left( 2 \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - \dfrac{1}{{{{\left( {2 + m} \right)}^2}}} = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {2 + m} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\left( L \right)\\m = - 3\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)
Vậy \(m = - 3\).
