Câu 1(TH): Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = {3^x}\) và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = {\log _2}x\) lần lượt có phương trình là
A. \(y = 3\) và \(x = 0\). B. \(x = 0\) và \(y = 0\).
C. \(y = 0\) và \(x = 2.\) D. \(y = 0\) và \(x = 0\)
Câu 2(NB): Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có bảng biến thiên như hình bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?
A. \(\left( { - 1;1} \right).\) B. \(\left( { - 2;2} \right).\)
C. \(\left( {1; + \infty } \right).\) D. \(\left( { - \infty ;1} \right).\)
Câu 3(TH): Hàm số nào dưới đây đồng biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)?\)
A. \(y = \dfrac{{x - 1}}{x} \cdot \)
B. \(y = 2{x^3}.\)
C. \(y = {x^2} + 1.\)
D. \(y = {x^4} + 5.\)
Câu 4(NB): Khối lập phương và khối bát diện đều lần lượt là khối đa diện đều loại
A. \(\left\{ {4;3} \right\}\) và \(\left\{ {3;3} \right\}.\)
B. \(\left\{ {4;3} \right\}\) và \(\left\{ {3;5} \right\}.\)
C. \(\left\{ {4;3} \right\}\) và \(\left\{ {3;4} \right\}.\)
D. \(\left\{ {3;4} \right\}\) và \(\left\{ {4;3} \right\}.\)
Câu 5(TH): Nếu khối trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng \(2a\) và thể tích bằng \(36\pi {a^3}\,\left( {0 < a \in \mathbb{R}} \right)\) thì chiều cao bằng
A. \(3a.\) B. \(6a.\)
C. \(9a.\) D. \(27a.\)
Câu 6(NB): Hai hàm số \(y = {\left( {x - 1} \right)^{ - 2}}\) và \(y = {x^{\dfrac{1}{2}}}\) lần lượt có tập xác định là
A. \(\left( {0; + \infty } \right)\) và \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)
B. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)và \(\left( {0; + \infty } \right)\).
C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)và \(\left[ {0; + \infty } \right)\).
D. \(\mathbb{R}\) và \(\left( {0; + \infty } \right).\)
Câu 7(NB): Cho mặt cầu có bán kính bằng \(3a,\) với \(0 < a \in \mathbb{R}.\) Diện tích của mặt cầu đã cho bằng
A. \(12\pi {a^2}.\) B. \(6\pi {a^2}.\)
C. \(36\pi {a^2}.\) D. \(9\pi {a^2}.\)
Câu 8(TH): Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \dfrac{{1 - x}}{{x + 1}}\) trên \(\left[ { - 3; - 2} \right]\) lần lượt bằng
A. \(2\) và \( - 3.\) B. \(3\) và \( - 2.\)
C. \(3\) và \(2.\) D. \( - 2\) và \( - 3.\)
Câu 9(TH): Cho khối chóp có chiều cao bằng \(6a,\) đáy là tam giác vuông cân với cạnh huyền bằng \(2a,\) biết \(0 < a \in \mathbb{R}.\) Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A. \(2{a^3}.\) B. \(2\sqrt 2 {a^3}.\)
C. \(3{a^3}.\) D. \(3\sqrt 2 {a^3}.\)
Câu 10(NB): Cho \(a\) là số thực dương. Phương trình \({2^x} = a\) có nghiệm là
A. \(x = {\log _2}a.\) B. \(x = \sqrt a .\)
C. \(x = {\log _a}2.\) D. \(x = \ln a.\)
Câu 11(TH): Số điểm cực trị của hai hàm số \(y = {x^4}\) và \(y = {e^x}\) lần lượt bằng
A. \(0\) và \(0.\) B. \(0\) và \(1.\)
C. \(1\) và \(1.\) D. \(1\) và \(0.\)
Câu 12(NB): Số điểm cực trị của hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2},\forall \,x \in \mathbb{R}\) là
A. \(1.\) B. \(2.\)
C. \(3.\) D. \(0.\)
Câu 13(NB): Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực dương thỏa \(a \ne 1.\) Giá trị của biểu thức \({\log _a}\left( {8b} \right) - {\log _a}\left( {2b} \right)\) bằng
A. \(6b.\) B. \(2{\log _a}2.\)
C. \({\log _a}\left( {6b} \right).\) D. \({\log _a}\left( {4b} \right).\)
Câu 14(TH): Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là \(2a,4a,4a,\) với \(0 < a \in \mathbb{R}.\) Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đã cho bằng
A. \(72\pi {a^2}.\) B. \(12\pi {a^2}.\)
C. \(36\pi {a^2}.\) D. \(9\pi {a^2}.\)
Câu 15(TH): Tính theo \(a\) chiều cao của hình chóp tứ giác đều có các cạnh bằng \(2a\) (với \(0 < a \in \mathbb{R}\)).
A. \(3a\sqrt 2 .\) B. \(2a\sqrt 2 .\)
C. \(a\sqrt 2 .\) D. \(2a.\)
Câu 16(NB): Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) và có bảng biến thiên như hình bên. Số nghiệm thực của phương trình \(f\left( x \right) = 1\) bằng
A. \(2.\) B. \(3.\)
C. \(1.\) D. \(0.\)
Câu 17(TH): Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - m}}{{x + 1}}\) thỏa \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y + \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = 5.\) Tham số thực \(m\) thuộc tập nào dưới đây ?
A. \(\left[ {2;4} \right).\) B. \(\left( { - \infty ;2} \right).\)
C. \(\left[ {4;6} \right).\) D. \(\left[ {6; + \infty } \right).\)
Câu 18(NB): Nếu đặt \(t = {3^x} > 0\) thì phương trình \({3^{2x - 1}} + {3^{x + 1}} - 12 = 0\) trở thành phương trình
A. \(3{t^2} + 3t - 12 = 0.\)
B. \({t^2} + 9t + 36 = 0.\)
C. \({t^2} - 9t - 36 = 0.\)
D. \({t^2} + 9t - 36 = 0.\)
Câu 19(NB): Nếu đặt \(t = {\log _2}x\) (với \(0 < x \in \mathbb{R}\)) thì phương trình \({\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} + {\log _4}\left( {{x^3}} \right) - 7 = 0\) trở thành phương trình nào dưới đây ?
A. \(2{t^2} + 3t - 14 = 0.\)
B. \(2{t^2} - 3t - 14 = 0.\)
C. \(2{t^2} + 3t - 7 = 0.\)
D. \({t^2} + 6t - 7 = 0.\)
Câu 20(TH): Hàm số \(y = \sqrt[3]{{1 + {x^2}}}\) có đạo hàm \(y'\) bằng
A. \(\dfrac{{2x}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}}} \cdot \)
B. \(\dfrac{{2x}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}}} \cdot \)
C. \(\dfrac{x}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}}} \cdot \)
D. \(\dfrac{{2x}}{{3\sqrt[3]{{1 + {x^2}}}}} \cdot \)
Câu 21(TH): Đạo hàm của hàm số \(y = {\log _2}\left( {3 + {x^2}} \right)\) là
A. \(y' = \dfrac{{2x\ln 2}}{{3 + {x^2}}} \cdot \)
B. \(y' = \dfrac{{2x}}{{\left( {3 + {x^2}} \right)\ln 2}} \cdot \)
C. \(y' = \dfrac{x}{{\left( {3 + {x^2}} \right)\ln 2}} \cdot \)
D. \(y' = \dfrac{{2x}}{{3 + {x^2}}} \cdot \)
Câu 22(TH): Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích là \(V,\) khối chóp \(A'.BCC'B'\) có thể tích là \({V_1}.\) Tỉ số \(\dfrac{{{V_1}}}{V}\) bằng
A. \(\dfrac{3}{4}.\) B. \(\dfrac{1}{2}.\)
C. \(\dfrac{3}{5}.\) D. \(\dfrac{2}{3}.\)
Câu 23(TH): Tìm diện tích xung quanh của khối nón có bán kính đáy bằng \(8a,\) thể tích bằng \(128\pi {a^3},\) với \(0 < a \in \mathbb{R}.\)
A. \(80\pi {a^2}.\) B. \(160\pi {a^2}.\)
C. \(16\pi \sqrt 7 {a^2}.\) D. \(40\pi {a^2}.\)
Câu 24(TH): Đạo hàm của hàm số \(y = {2^{\cos x}}\) là
A. \(y' = \left( {\ln 2} \right){2^{\cos x}}\sin x.\)
B. \(y' = - {2^{\cos x}}\sin x.\)
C. \(y' = \left( {\cos x} \right){2^{\cos x - 1}}.\)
D. \(y' = - \left( {\ln 2} \right){2^{\cos x}}\sin x.\)Câu 25(TH): Hàm số \(y = \sqrt {{x^4} + 1} \) có đạo hàm \(y'\) bằng
A. \(\dfrac{1}{{\sqrt {{x^4} + 1} }}.\)
B. \(\dfrac{{4{x^3}}}{{\sqrt {{x^4} + 1} }}.\)
C. \(\dfrac{{2{x^3}}}{{\sqrt {{x^4} + 1} }}.\)
D. \(\dfrac{{{x^4}}}{{2\sqrt {{x^4} + 1} }}.\)
Câu 26(TH): Số tiệm cận đứng và số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2{x^2} + 2x}}{{{x^2} + 2x + 1}}\) lần lượt là
A. \(0\) và \(2.\) B. \(0\) và \(1.\) C. \(1\) và \(2\). D. \(1\) và \(1.\)
Câu 27(VD): Cho \(0 < x \in \mathbb{R}.\) Đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left( {x\sqrt {{x^2} + 1} } \right)\) là
A. \(y' = \dfrac{{2{x^2} + 3}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}} \cdot \)
B. \(y' = \dfrac{{{x^2} + 2}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}} \cdot \)
C. \(y' = \dfrac{{2{x^2} + 1}}{{2{x^2} + 2}} \cdot \)
D. \(y' = \dfrac{{2{x^2} + 1}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}} \cdot \)
Câu 28(VD): Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều, \(AB = 6a,\) với \(0 < a \in \mathbb{R},\) góc giữa đường thẳng \(A'B\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(45^\circ .\) Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. \(54\sqrt 3 {a^3}.\) B. \(108\sqrt 3 {a^3}.\)
C. \(27\sqrt 3 {a^3}.\) D. \(18\sqrt 3 {a^3}.\)
Câu 29(TH): Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + c;\) với \(x\) là biến số thực; \(a,b,c\) là ba hằng số thực, \(a \ne 0.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. \(b < 0 < a\) và \(c < 0.\)
B. \(a < 0 < b\) và \(c < 0.\)
C. \(a < b < 0\) và \(c < 0.\)
D. \(a < 0 < b\) và \(c > 0.\)
Câu 30(VD): Cho hai số thực dương \(a\) và \(b\) thỏa \(a \ne 1 \ne {a^2}b.\) Giá trị của biểu thức \(2 - \dfrac{3}{{2 + {{\log }_a}b}}\) bằng
A. \({\log _{\left( {a{b^2}} \right)}}\left( {{a^2}b} \right).\)
B. \({\log _{\left( {{a^2}b} \right)}}\left( {a{b^2}} \right).\)
C. \({\log _{\left( {{a^2}b} \right)}}\left( {2ab} \right).\)
D. \({\log _{\left( {{a^2}b} \right)}}\left( {2a{b^2}} \right).\)
Câu 31(VD): Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm\(f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu như hình bên. Hàm số \(f\left( {3 - 2x} \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?
A. \(\left( {3;4} \right).\) B. \(\left( {2;3} \right).\)
C. \(\left( { - \infty ; - 3} \right).\) D. \(\left( {0;2} \right).\)
Câu 32(VD): Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} - 2mx\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) bằng
A. \(0.\) B. \(8.\)
C. \(7.\) D. \(6.\)
Câu 33(VD): Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh bằng \(4a,\) \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, \(SA = 6a\) với \(0 < a \in \mathbb{R}.\) Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng
A. \(3\sqrt 3 a.\) B. \(3a.\)
C. \(a.\) D. \(6a.\)
Câu 34(TH): Số tiệm cận đứng và số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{{{x^3} - 4x}}\) lần lượt là
A. \(3\) và \(1.\) B. \(1\) và \(1.\)
C. \(2\) và \(1.\) D. \(1\) và \(0.\)
Câu 35(VD): Cho hàm số \(y = {x^4} + 8{x^2} + m\) có giá trị nhỏ nhất trên \(\left[ {1;3} \right]\) bằng \(6.\) Tham số thực \(m\) bằng
A. \( - 42.\) B. \(6.\)
C. \(15.\) D. \( - 3.\)
Câu 36(VD): Tập hợp các tham số thực \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{x}{{x - m}}\) nghịch biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) là
A. \(\left( {0;1} \right).\) B. \(\left[ {0;1} \right).\)
C. \(\left( {0;1} \right].\) D. \(\left[ {0;1} \right].\)
Câu 37(VD): Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c;\) với \(x\) là biến số thực; \(a,b,c\) là ba hằng số thực, \(a \ne 0.\) Gọi \(k\) là số nghiệm thực của phương trình \(f\left( x \right) = 1.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. \(abc < 0\)và \(k = 2.\)
B. \(abc > 0\)và \(k = 3.\)
C. \(abc < 0\)và \(k = 0.\)
D. \(abc > 0\)và \(k = 2.\)
Câu 38(TH): Hàm số \(y = {x^3} + m{x^2}\) đạt cực đại tại \(x = - 2\) khi và chỉ khi giá trị của tham số thực \(m\) bằng
A. \( - 3.\) B. \(3.\)
C. \( - 12.\) D. \(12.\)
Câu 39(VD): Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \sqrt {4{x^2} - 8x + 5} + 2x\) có phương trình là
A. \(y = 4.\) B. \(y = - 2.\)
C. \(y = 2.\) D. \(y = - 4.\)
Câu 40(VD): Một công ty thành lập vào đầu năm 2015, tổng số tiền trả lương năm 2015 của công ty là \(500\) triệu đồng. Biết rằng từ năm \(2016\) trở đi, mỗi năm thì tổng số tiền trả lương của công ty tăng thêm \(9\% \) so với năm kế trước. Năm đầu tiên có tổng số tiền trả lương năm đó của công ty lớn hơn 1 tỷ đồng là
A. 2023. B. 2024.
C. 2026 D. 2025.
Câu 41(VD): Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A,\) \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, \(AB = a,SC = 2a,\) với \(0 < a \in \mathbb{R}.\) Góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) bằng
A. \(90^\circ .\) B. \(30^\circ .\)
C. \(45^\circ .\) D. \(60^\circ .\)
Câu 42(VD): Một trang trại đang dùng hai bể nước hình trụ có cùng chiều cao; bán kính đáy lần lượt bằng \(1,6m\) và \(1,8m\). Trang trại làm một bể nước mới hình trụ, có cùng chiều cao và thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên; biết ba hình trụ trên là phần chứa nước của mỗi bể. Bán kính đáy của bể nước mới gần nhất với kết quả nào dưới đây ?
A. \(2,4m.\) B. \(2,3m.\)
C. \(2,6m.\) D. \(2,5m.\)
Câu 43(VD): Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số \(y = \left| {f\left( {x - 2} \right) - 3} \right|\) bằng
A. \(5.\) B. \(4.\)
C. \(6.\) D. \(3.\)
Câu 44(VD): Số các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({\log _2}\left( {8x - 1} \right) - {\log _4}\left( {{x^2}} \right) = {\log _2}m\) có nghiệm thực bằng
A. \(6.\) B. \(7.\)
C. \(0.\) D. \(8.\)
Câu 45(VD): Số các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(x + 2 = m{e^x}\) có hai nghiệm thực phân biệt bằng
A. \(2.\) B. \(3.\)
C. \(0.\) D. \(1.\)
Câu 46(VD): Tập hợp các tham số thực \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = {x^3} + \left( {m - 4} \right)x + 2m\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt là
A. \(\left( { - \infty ;1} \right]\backslash \left\{ { - 8} \right\}.\)
B. \(\left( { - \infty ;1} \right)\backslash \left\{ { - 8} \right\}.\)
C. \(\left( { - \infty ;1} \right).\)
D. \(\left( { - \infty ;1} \right].\)
Câu 47(VD): Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(6a,\) với \(0 < a \in \mathbb{R}.\) Diện tích xung quanh của hình nón có đỉnh \(A\) và đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD\) bằng
A. \(6\sqrt 3 \pi {a^2}.\) B. \(12\sqrt 3 \pi {a^2}.\)
C. \(4\sqrt 3 \pi {a^2}.\) D. \(24\sqrt 3 \pi {a^2}.\)
Câu 48(VD): Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh bằng \(3a\) (với \(0 < a \in \mathbb{R}\)), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(45^\circ .\) Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng
A. \(9\sqrt 2 {a^3}.\) B. \(27{a^3}.\)
C. \(18{a^3}.\) D. \(9{a^3}.\)
Câu 49(VD): Số các giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - \left( {m + 2} \right){x^2} + \left( {{m^2} + 2m} \right)x\) có cực trị là
A. \(2.\) B. \(1.\)
C. \(3.\) D. \(0.\)
Câu 50(VD): Tập hợp các tham số thực \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3x\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) là
A. \(\left( { - \infty ;0} \right]\) B. \(\left( { - \infty ;1} \right]\)
C. \(\left( { - \infty ;2} \right).\) D. \(\left( { - \infty ;1} \right).\)
ĐÁP ÁN
| 1D | 6B | 11D | 16B | 21B | 26D | 31A | 36C | 41B | 46B |
| 2A | 7C | 12A | 17B | 22D | 27D | 32C | 37D | 42A | 47B |
| 3B | 8D | 13B | 18D | 23A | 28A | 33B | 38B | 43A | 48D |
| 4C | 9A | 14C | 19A | 24D | 29B | 34B | 39C | 44B | 49A |
| 5C | 10A | 15C | 20A | 25C | 30B | 35D | 40B | 45A | 50B |
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Thực hiện: Ban chuyên môn
Câu 1 :
Phương pháp:
Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) có đường TCN là \(y = 0\).
Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) có đường TCĐ là \(x = 0\).
Hướng dẫn giải:
Hàm số \(y = {3^x}\,\left( C \right)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}.\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {3^x} = 0,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {3^x} = + \infty \) nên tiệm cận ngang của \(\left( C \right)\) có phương trình là \(y = 0.\)
Hàm số \(y = {\log _2}x\) có tập xác định là \(\left( {0; + \infty } \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\log _2}x = - \infty \) nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = {\log _2}x\) có phương trình là \(x = 0.\)
Đáp án D.
Câu 2:
Phương pháp:
Khoảng làm cho \(y' < 0\) là khoảng nghịch biến của hàm số.
Hướng dẫn giải:
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left( { - 1;1} \right).\)
Đáp án A.
Câu 3:
Phương pháp:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)(\(f'\left( x \right) = 0\) tại hữu hạn điểm.
Hướng dẫn giải:
Hàm số \(y = 2{x^3}\) xác định trên \(\mathbb{R}\) có \(y' = 6{x^2} \ge 0,\forall \,x \in \mathbb{R}\) và \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0.\)
Nên hàm số đó đồng biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right).\)
Tương tự kiểm tra ba hàm số còn lại đều không thỏa mãn.
Đáp án B.
Câu 4:
Phương pháp:
Sử dụng kiến thức về khối đa diện đều.
Hướng dẫn giải:
Khối lập phương là khối đa diện đều loại \(\left\{ {4;3} \right\}.\)
Khối bát diện đều là khối đa diện đều loại \(\left\{ {3;4} \right\}.\)
Đáp án C.
Câu 5:
Phương pháp:
Thể tích khối trụ \(V = \pi {r^2}h\).
Hướng dẫn giải:
Gọi chiều cao của khối trụ tròn xoay đã cho bằng \(h.\)
Khối trụ tròn xoay đã cho có thể tích là \(\pi {\left( {2a} \right)^2}h = 36\pi {a^3} \Rightarrow h = 9a.\)
Đáp án C.
Câu 6:
Phương pháp:
Hàm số lũy thừa số mũ nguyên âm xác định nếu cơ số khác \(0\)
Hàm số lũy thừa số mũ không nguyên xác định nếu cơ số dương.
Hướng dẫn giải:
Hàm số \(y = {\left( {x - 1} \right)^{ - 2}}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)
Hàm số \(y = {x^{\dfrac{1}{2}}}\) có tập xác định là \(\left( {0; + \infty } \right).\)
Đáp án B.
Câu 7:
Phương pháp:
Diện tích mặt cầu \(S = 4\pi {r^2}\).
Hướng dẫn giải:
Vì mặt cầu đã cho có bán kính bằng \(3a\) nên có diện tích bằng \(4\pi {\left( {3a} \right)^2} = 36\pi {a^2}.\)
Đáp án C.
Câu 8:
Phương pháp:
Xét dấu \(y'\) trên đoạn \(\left[ { - 3; - 2} \right]\) suy ra tính đơn điệu và GTNN, GTLN.
Hướng dẫn giải:
Hàm số \(y = \dfrac{{1 - x}}{{x + 1}}\) liên tục trên \(D = \left[ { - 3; - 2} \right].\)
\(y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0,\forall \,x \in D.\)
Mà \(y\left( { - 3} \right) = - 2\) và \(y\left( { - 2} \right) = - 3.\)
Vậy \(\mathop {\max }\limits_D y = - 2,\,\mathop {\min }\limits_D y = - 3.\)
Đáp án D.
Câu 9:
Phương pháp:
Thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).
Hướng dẫn giải:
Vì đáy là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng \(2a\) nên có cạnh góc vuông bằng \(a\sqrt 2 \)
Vậy có diện tích bằng \({a^2}.\)
Thể tích của khối chóp đã cho bằng \(\dfrac{1}{3} \cdot 6a \cdot {a^2} = 2{a^3}.\)
Đáp án A.
Câu 10:
Phương pháp:
Sử dụng công thức \({\log _a}b = n \Leftrightarrow b = {a^n}\).
Hướng dẫn giải:
Vì \(a > 0\) nên \({2^x} = a \Leftrightarrow x = {\log _2}a.\)
Đáp án A.
Câu 11:
Phương pháp:
- Tính đạo hàm.
- Tìm số nghiệm bội lẻ của đạo hàm suy ra số cực trị.
Hướng dẫn giải:
Hàm số \(y = {x^4}\) có tập xác định là \(\mathbb{R},y' = 4{x^3},\) \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0,\) \(y' < 0 \Leftrightarrow x < 0,\) \(y' > 0 \Leftrightarrow x > 0.\)
Vậy hàm số này chỉ có \(1\) điểm cực trị.
Hàm số \(y = {e^x}\) có tập xác định là \(\mathbb{R},\) \(y' = {e^x} > 0,\forall \,x \in \mathbb{R}\).
Vậy hàm số này không có cực trị.
Đáp án D.
Câu 12:
Phương pháp:
Số điểm cực trị của hàm số bằng số nghiệm bội lẻ của đạo hàm.
Hướng dẫn giải:
\(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2},\forall \,x \in \mathbb{R}\) \( \Rightarrow \) hàm số \(f\left( x \right)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) và \(f'\left( x \right)\) đổi dấu khi \(x\) đi qua khi chỉ tạ một điểm \(0.\)
Vậy hàm số đã cho chỉ có một điểm cực trị.
Đáp án A.
Câu 13:
Phương pháp:
Sử dụng công thức \({\log _a}\left( {\dfrac{b}{c}} \right) = {\log _a}b - {\log _a}c\).
Hướng dẫn giải:
Vì \(a,b > 0\) và \(a \ne 1\) nên \({\log _a}\left( {8b} \right) - {\log _a}\left( {2b} \right) = {\log _a}4 = 2{\log _a}2.\)
Đáp án B.
Câu 14:
Phương pháp:
- Bán kính mặt cầu bằng nửa đường chéo chính.
- Diện tích mặt cầu \(S = 4\pi {r^2}\)
Hướng dẫn giải:
Hình hộp chữ nhật đã cho có đường chéo bằng \(\sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}} = 6a.\)
Vì các đường chéo của hình hộp chữ nhật cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đã cho là \(R = \dfrac{1}{2} \cdot 6a = 3a.\)
Vậy diện tích của mặt cầu đã cho bằng \(4\pi {\left( {3a} \right)^2} = 36\pi {a^2}.\)
Đáp án C.
Câu 15:
Phương pháp:
Sử dụng định lí Pitago cho tam giác vuông.
Hướng dẫn giải:
Đáy của hình chóp đã cho có đường chéo bằng \(2a\sqrt 2 .\)
Chiều cao của hình chóp đã cho bằng \(\sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} = a\sqrt 2 \)
Đáp án C.
Câu 16:
Phương pháp:
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đường thẳng với đồ thị hàm số.
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng \(y = 1\) cắt đồ thị của hàm số đã cho tại \(3\) điểm phân biệt.
Nên số nghiệm thực của phương trình đã cho bằng \(3.\)
Đáp án B.
Câu 17:
Phương pháp:
Biện luận GTLN, GTNN của hàm số trên \(\left[ {0;1} \right]\) trong các trường hợp \(m = - 1,m \ne - 1\) để tìm \(m\).
Hướng dẫn giải:
Hàm số \(y = \dfrac{{x - m}}{{x + 1}}\) liên tục trên \(\left[ {0;1} \right],\,y' = \dfrac{{m + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \cdot \)
- Nếu \(m \ne - 1\) thì \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y + \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = 5\) \( \Leftrightarrow y\left( 0 \right) + y\left( 1 \right) = 5\) \( \Leftrightarrow - m + \dfrac{{1 - m}}{2} = 5 \Leftrightarrow m = - 3.\)
- Nếu \(m = - 1\) thì \(y = 1,\forall \,x \ne - 1\) khi đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y + \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = 2\) (không thỏa).
Vậy chỉ có \(m = - 3\) thỏa mãn.
Đáp án B.
Câu 18:
Phương pháp:
Biến đổi phương trình chỉ làm xuất hiện \({3^x}\) và thay \(t = {3^x}\).
Hướng dẫn giải:
Ta có \({3^{2x - 1}} + {3^{x + 1}} - 12 = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {{3^x}} \right)^2} + {9.3^x} - 36 = 0\,\,\left( 1 \right).\)
Đặt \(t = {3^x} > 0.\)
Vậy \(\left( 1 \right)\) trở thành \({t^2} + 9t - 36 = 0.\)
Đáp án D.
Câu 19:
Phương pháp:
Biến đổi phương trình chỉ làm xuất hiện \({\log _2}x\) rồi thay \(t\) vào phương trình.
Hướng dẫn giải:
Ta có \({\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} + {\log _4}\left( {{x^3}} \right) - 7 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) với \(0 < x \in \mathbb{R}\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} + \dfrac{3}{2}{\log _2}x - 7 = 0\) \( \Leftrightarrow 2{\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} + 3{\log _2}x - 14 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\)
Đặt \(t = {\log _2}x\) .
Vậy \(\left( 2 \right)\) trở thành \(2{t^2} + 3t - 14 = 0\).
Đáp án A
Câu 20:
Phương pháp:
Sử dụng công thức \(\left( {\sqrt[n]{u}} \right)' = \dfrac{{u'}}{{n\sqrt[n]{{{u^{n - 1}}}}}}\)
Hướng dẫn giải:
Ta có \(y = \sqrt[3]{{1 + {x^2}}}\)\( \Rightarrow y' = \dfrac{{\left( {1 + {x^2}} \right)'}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}}} = \dfrac{{2x}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}}}\)
Đáp án A
Câu 21:
Phương pháp:
Sử dụng công thức \(\left( {{{\log }_a}u} \right)' = \dfrac{{u'}}{{u\ln a}}\).
Hướng dẫn giải:
Ta có \(y = {\log _2}\left( {3 + {x^2}} \right)\)\( \Rightarrow y' = \dfrac{{\left( {3 + {x^2}} \right)'}}{{\left( {3 + {x^2}} \right)\ln 2}} = \dfrac{{2x}}{{\left( {3 + {x^2}} \right)\ln 2}}\)
Đáp án B
Câu 22:
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}Sh\) và công thức tính thể tích khối lăng trụ \(V = Bh\) suy ra tỉ số.
Hướng dẫn giải:
Gọi \({V_2}\) là thể tích của khối tứ diện \(A'ABC\). Ta có \({V_1} + {V_2} = V \Leftrightarrow {V_1} = V - {V_2}\).
Mà \({V_2} = \dfrac{1}{3}d\left( {A',\left( {ABC} \right)} \right).S = \dfrac{V}{3}\); với \(S\) là diện tích của tam giác \(ABC\).
Vậy \({V_1} = \dfrac{{2V}}{3}\) . Do đó \(\dfrac{{{V_1}}}{V} = \dfrac{2}{3}\).
Đáp án D
Câu 23:
Phương pháp:
Tính chiều cao và đường sinh của hình nón.
Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh \({S_{xq}} = \pi rl\).
Hướng dẫn giải:
Gọi \(h,l\) lần lượt là chiều cao, đường sinh của khối nón đã cho.
Thể tích của khối nón đã cho là \(\dfrac{1}{3}\pi {\left( {8a} \right)^2}.h = 128\pi {a^3}\) \( \Rightarrow h = 6a \Rightarrow l = \sqrt {{{\left( {8a} \right)}^2} + {{\left( {6a} \right)}^2}} = 10a\)
Diện tích xung quanh của khối nón đã cho bằng \(\pi 8a.10a = 80\pi {a^2}\).
Đáp án A
Câu 24:
Phương pháp:
Đạo hàm \(\left( {{a^u}} \right)' = u'{a^u}\ln a\)
Hướng dẫn giải:
Ta co \(y = {2^{\cos x}}\) \( \Rightarrow y' = \left( {\ln 2} \right){2^{\cos x}}\left( {\cos x} \right)' = - \left( {\ln 2} \right){2^{\cos x}}\sin x\)
Đáp án D
Câu 25:
Phương pháp:
Sử dụng công thức \(\left( {\sqrt u } \right)' = \dfrac{{u'}}{{2\sqrt u }}\)
Hướng dẫn giải:
Ta có \(y = \sqrt {{x^4} + 1} \)\( \Rightarrow y' = \dfrac{{\left( {{x^4} + 1} \right)'}}{{2\sqrt {{x^4} + 1} }} = \dfrac{{2{x^3}}}{{2\sqrt {{x^4} + 1} }}\)
Đáp án C
Câu 26:
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa tiệm cận đứng: Nếu có một trong các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ \pm } y = \pm \infty \) thì \(x = {x_0}\) là TCĐ của đths.
Định nghĩa TCN: Nếu có một trong các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = {y_0}\) thì \(y = {y_0}\) là TCN của đths.
Hướng dẫn giải:
Hàm số \(y = \dfrac{{2{x^2} + 2x}}{{{x^2} + 2x + 1}}\,\,\left( C \right)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{2{x^2} + 2x}}{{{x^2} + 2x + 1}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{2x\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{2x}}{{x + 1}} = - \infty \) nên \(\left( C \right)\) chỉ có tiệm cận đứng là \(x = - 1\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 2\) và\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 2\) nên \(\left( C \right)\) chỉ có tiệm cận ngang là \(y = 2\).
Đáp án D
Câu 27:
Phương pháp:
Đạo hàm \(\left( {\ln u} \right)' = \dfrac{{u'}}{u}\)
Hướng dẫn giải:
Ta có \(0 < x \in \mathbb{R}\). Vậy \(y = \ln \left( {x\sqrt {{x^2} + 1} } \right) = \ln x + \dfrac{1}{2}\ln \left( {{x^2} + 1} \right)\)
\( \Rightarrow y' = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2}.\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 1}} = \dfrac{{2{x^2} + 1}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}}\)
Đáp án D
Câu 28:
Phương pháp:
Xác định góc \({45^0}\) (góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng)
Tính chiều cao suy ra thể tích \(V = Sh\).
Hướng dẫn giải:
Vì \(A'A \bot \left( {ABC} \right)\) nên góc giữa đường thẳng \(A'B\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\widehat {A'BA} = 45^\circ \).
\( \Rightarrow \Delta A'AB\) vuông cân tại \(A\) \( \Rightarrow A'A = AB = 6a\).
Tam giác đều \(ABC\) có cạnh \(AB = 6a\) nên có diện tích bằng \(\dfrac{{\sqrt 3 {{\left( {6a} \right)}^2}}}{4} = 9\sqrt 3 {a^2}\).
Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng \(6a.9\sqrt 3 {a^2} = 54\sqrt 3 {a^3}\).
Đáp án A
Câu 29:
Phương pháp:
Nhận xét dáng đồ thị, các điểm đi qua, các điểm cực trị suy ra dấu của các hệ số \(a,b,c\)
Hướng dẫn giải:
Hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + c\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Từ đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số đã cho suy ra \(a < 0\) và \(\left( C \right)\) cắt \(Oy\) tại điểm \(\left( {0;c} \right)\) với \(c < 0\).
\(y' = 3a{x^2} + 2bx & \); \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \dfrac{{ - 2b}}{{3a}}\); từ đồ thị \(\left( C \right)\) suy ra \(\dfrac{{ - 2b}}{{3a}} > 0 \Rightarrow b > 0\).
Đáp án B
Câu 30:
Phương pháp:
Sử dụng các công thức \({\log _a}{b^n} = n{\log _a}b\) và \({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\), \({\log _a}b = \dfrac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}\).
Hướng dẫn giải:
Ta có \(a > 0,\,\,b > 0\) và \(a \ne 1 \ne {a^2}b\).
Vậy \(2 - \dfrac{3}{{2 + {{\log }_a}b}} = \dfrac{{1 + 2{{\log }_a}b}}{{2 + {{\log }_a}b}}\)\( = \dfrac{{{{\log }_a}a + {{\log }_a}{b^2}}}{{{{\log }_a}{a^2} + {{\log }_a}b}} = \dfrac{{{{\log }_a}\left( {a{b^2}} \right)}}{{{{\log }_a}\left( {{a^2}b} \right)}} = {\log _{\left( {{a^2}b} \right)}}\left( {a{b^2}} \right)\)
Đáp án B
Câu 31:
Phương pháp:
- Tính đạo hàm \(y'\) và xét dấu, từ đó suy ra khoảng đồng biến.
Hướng dẫn giải:
Hàm số \(y = f\left( {3 - 2x} \right)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\), \(y' = - 2f'\left( {3 - 2x} \right)\).
Vậy \(y' > 0 \Leftrightarrow f'\left( {3 - 2x} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 - 2x < - 3\\ - 1 < 3 - 2x < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 3\\1 < x < 2\end{array} \right.\)
Do đó hàm số \(y = f\left( {3 - 2x} \right)\) đồng biến trên \(\left( {3;4} \right)\).
Đáp án A
Câu 32:
Phương pháp:
Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Hướng dẫn giải:
Hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} - 2mx\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow y' = 3{x^2} - 2mx - 2m \ge 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} + 6m \le 0 \Leftrightarrow - 6 \le m \le 0\).
Vậy có \(7\) giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn.
Đáp án C
Câu 33:
Phương pháp:
- Tính thể tích hình chóp \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).
- Tính khoảng cách dựa vào thể tích hình chóp và diện tích đáy.
Hướng dẫn giải:
Tam giác đều \(ABC\) cạnh bằng \(4a\) có diện tích bằng \(\dfrac{{\sqrt 3 {{\left( {4a} \right)}^2}}}{4} = 4\sqrt 3 {a^2}\).
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên khối chóp \(S.ABC\) có thể tích \(V = \dfrac{1}{3}.SA.4\sqrt 3 {a^2} = \dfrac{1}{3}.6a.4\sqrt 3 {a^2} = 8\sqrt 3 {a^3}\)
\(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AB\). Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) có \(S{B^2} = S{A^2} + A{B^2}\)\( = {\left( {6a} \right)^2} + {\left( {4a} \right)^2} = 52{a^2}\)
\( \Rightarrow SB = 4a\sqrt {13} \). Tương tự \(SC = 4a\sqrt {13} \).
Tam giác \(SBC\) có nửa chu vi \(p = \dfrac{{SB + SC + BC}}{2} = \left( {2 + 4\sqrt {13} } \right)a\) nên có diện tích \({S_1} = \sqrt {p\left( {p - SB} \right)\left( {p - SC} \right)\left( {p - BC} \right)} = 8\sqrt 3 {a^2}\).
Vậy \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{3V}}{{{S_1}}} = 3a\).
Đáp án B
Câu 34:
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa tiệm cận đứng: Nếu có một trong các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ \pm } y = \pm \infty \) thì \(x = {x_0}\) là TCĐ của đths.
Định nghĩa TCN: Nếu có một trong các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = {y_0}\) thì \(y = {y_0}\) là TCN của đths.
Hướng dẫn giải:
Hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{{{x^3} - 4x}}\,\,\left( C \right)\) có tập xác định là \(\left[ { - 1; + \infty } \right)\backslash \left\{ {0;2} \right\}\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,\,\dfrac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{{{x^3} - 4x}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{x\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 1} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,\,\dfrac{1}{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 1} \right)}} = \dfrac{{ - 1}}{8}\)
và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \,\,y\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \,\dfrac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{{{x^3} - 4x}} = + \infty \).
Vậy \(\left( C \right)\) chỉ có tiệm cận đứng là \(x = 2\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \,\,y = 0\) nên \(\left( C \right)\) chỉ có tiệm cận ngang là \(y = 0\).
Đáp án B
Câu 35:
Phương pháp:
Tính đạo hàm, xét dấu đạo hàm trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) suy ra GTNN của hàm số.
Hướng dẫn giải:
Hàm số \(y = {x^4} + 8{x^2} + m\) liên tục trên \(D = \left[ {1;3} \right]\).
\(y' = 4{x^3} + 16x = 4x\left( {{x^2} + 4} \right)\), \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \notin D\).
\(y\left( 1 \right) = 9 + m,\,\,\,y\left( 3 \right) = 153 + m\).
Vậy \(\mathop {\min }\limits_D y = 9 + m = 6 \Leftrightarrow m = - 3\).
Đáp án D
Câu 36:
Phương pháp:
Hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) nghịch biến trên \(\left( {\alpha ;\beta } \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' < 0\\ - \dfrac{d}{c} \notin \left( {\alpha ;\beta } \right)\end{array} \right.\)
Hướng dẫn giải:
Hàm số \(y = \dfrac{x}{{x - m}}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\), \(y' = \dfrac{{ - m}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\).
Hamg số đã cho nghịch biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - m}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} < 0\\m \notin \left( {1; + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m < 0\\m \le 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow 0 < m \le 1\).
Đáp án C
Câu 37:
Phương pháp:
Quan sát dáng đồ thị tìm điểm đi qua, các điểm cực trị, nhận xét dấu của các hệ số \(a,b,c\).
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đường thẳng với đồ thị hàm số.
Hướng dẫn giải:
Hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Từ đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số đã cho suy ra \(a > 0\) và \(\left( C \right)\) cắt \(Oy\) tại điểm \(\left( {0;c} \right)\) với \(c < 0\).
\(y' = 4a{x^3} + 2bx & = 2x\left( {2a{x^2} + b} \right)\); \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \({x^2} = \dfrac{{ - b}}{{2a}}\); từ đồ thị \(\left( C \right)\) suy ra \(\dfrac{{ - b}}{{2a}} > 0 \Rightarrow b < 0\) .
Vậy \(abc > 0\).
Đường thẳng \(y = 1\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt nên phương trình \(f\left( x \right) = 1\) có hai nghiệm thực phân biệt.
Đáp án D
Câu 38:
Phương pháp:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực đại tại \({x_0}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải:
Hàm số \(y = {x^3} + m{x^2}\) xác định trên \(\mathbb{R}\) có \(y' = 3{x^2} + 2mx\).
Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = - 2\) thì \(y'\left( { - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 12 - 4m = 0 \Leftrightarrow m = 3\).
Ngược lại khi \(m = 3\) thì hàm số đã cho có \(y'' = 6x + 6\)\( \Rightarrow y''\left( { - 2} \right) = - 6 < 0\).
Vậy chi có \(m = 3\) thỏa mãn.
Đáp án D
Câu 39:
Phương pháp:
Định nghĩa TCN: Nếu có một trong các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = {y_0}\) thì \(y = {y_0}\) là TCN của đths.
Hướng dẫn giải:
Hàm số \(y = \sqrt {4{x^2} - 8x + 5} + 2x\,\,\left( C \right)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} - 8x + 5} + 2x} \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{ - 8x + 5}}{{\sqrt {4{x^2} - 8x + 5} - 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{ - 8 + \dfrac{5}{x}}}{{ - \sqrt {4 - \dfrac{8}{x} + \dfrac{5}{{{x^2}}}} }} = 2\)
Vậy tiệm cận ngang của \(\left( C \right)\) có phương trình là \(y = 2\).
Đáp án C
Câu 40:
Phương pháp:
Sử dụng công thức lãi kép \({T_N} = A{\left( {1 + r} \right)^N}\)
Hướng dẫn giải:
Đặt \(A = 500\) triệu đồng, \(B = 1\) tỷ đồng, \(r = 0,09\).
Tổng số tiền trả lương năm 2016 (sau \(1\) năm kể từ năm 2015) của công ty là \(A + A.0,09 = A\left( {1 + 0,09} \right)\) đồng.
Tổng số tiền trả lương năm 2017 (sau 2 năm kể từ năm 2015) của công ty là \(A{\left( {1 + 0,09} \right)^2}\) đồng.
Tương tợ tổng số tiền trả lương sau \(n\) năm kể từ năm 2015 của công ty là \(A{\left( {1 + 0,09} \right)^n}\) đồng.
Vậy \(A{\left( {1 + 0,09} \right)^n} > B\)\( \Leftrightarrow 500{\left( {1 + 0,09} \right)^n} > 1000\) \( \Leftrightarrow 1,{09^n} > 2 \Leftrightarrow n > {\log _{1,09}}2\) \( \Rightarrow n > \approx 8,04\)
Do đó sau \(9\) năm kể từ năm 2015, hay năm đầu tiên có tổng số tiền trả lương năm đó của công ty lớn hơn \(1\) tỷ đồng là 2024.
Đáp án B
Câu 41:
Phương pháp:
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (khác \({90^0}\)) là góc giữa đường thẳng với hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
Hướng dẫn giải:
Ta có \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AB\), mà \(AB \bot AC\).Vậy \(AB \bot \left( {SAC} \right)\).
Từ đó góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) là \(\widehat {BSA}\).
Tương tự \(SA \bot AC\), \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\) có \(S{C^2} = S{A^2} + A{C^2}\), mà \(AC = AB = a\) và \(SC = 2a\) (giả thiết).
Vậy \(SA = a\sqrt 3 \).
\(\Delta SAC\) vuông tại \(A\) có \(\tan \widehat {BSA} = \dfrac{{AB}}{{SA}} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\). Do đó \(\widehat {BSA} = 30^\circ \).
Đáp án B
Câu 42:
Phương pháp:
Tính tổng thể tích hai bể nước cũ, suy ra thể tích bể nước mới.
Tính bán kính bể mới dựa vào công thức \(V = \pi {r^2}h\).
Hướng dẫn giải:
Gọi \(h\) là chiều cao của bể nước, \(r\) và \(V\) lần lượt là bán kính đáy và thể tích của bể nươc.
Ta có \(V = \pi {r^2}h\). Tổng thể tích của hai bể nước ban đầu là \(\pi {\left( {1,6} \right)^2}h + \pi {\left( {1,8} \right)^2}h\).
Vậy \(\pi {r^2}h = \pi {\left( {1,6} \right)^2}h + \pi {\left( {1,8} \right)^2}h\)\( \Rightarrow r = \sqrt {1,{6^2} + 1,{8^2}} \approx 2,4083m\)
Đáp án A
Câu 43:
Phương pháp:
Lập bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( {x - 2} \right) - 3\), từ đó suy ra bảng biến thiên của hàm số \(y = \left| {f\left( {x - 2} \right) - 3} \right|\) và kết luận số điểm cực trị.
Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết suy ra hàm số \(y = f\left( {x - 2} \right) - 3\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình bên.
Đường thẳng \(y = 0\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( {x - 2} \right) - 3\) tại ba điểm phân biệt.
Ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = \left| {f\left( {x - 2} \right) - 3} \right|\) như sau:
Vậy số điểm cực trị của hàm số \(y = \left| {f\left( {x - 2} \right) - 3} \right|\) là \(5\).
Đáp án A
Câu 44:
Phương pháp:
Đưa về cùng cơ số, sử dụng công thức \({\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\)
Hướng dẫn giải:
\({\log _2}\left( {8x - 1} \right) - {\log _4}\left( {{x^2}} \right) = {\log _2}m\,\,\,\,\left( 1 \right)\). Điều kiện \(x > \dfrac{1}{8}\) và \(m > 0\).
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\log _2}\left( {8x - 1} \right) - {\log _2}x = {\log _2}m\)\( \Leftrightarrow {\log _2}\dfrac{{8x - 1}}{x} = {\log _2}m \Leftrightarrow \dfrac{{8x - 1}}{x} = m\)\( \Leftrightarrow 8x - 1 = mx\,\,\,\left( 2 \right) \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{8 - m}}\) (nếu \(m = 8\) thì \(\left( 2 \right)\) vô nghiệm).
Vậy \(\dfrac{1}{{8 - m}} > \dfrac{1}{8} \Leftrightarrow \dfrac{m}{{8\left( {8 - m} \right)}} > 0 \Leftrightarrow m < 8\).
Từ đó \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow 0 < m < 8\).
Đáp án B
Câu 45:
Phương pháp:
Biến đổi phương trình về \(m = f\left( x \right)\), sử dụng phương pháp hàm số tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
Hướng dẫn giải:
Ta có \(x + 2 = m{e^x} \Leftrightarrow m = \dfrac{{x + 2}}{{{e^x}}}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).
Xét hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{{e^x}}};\) hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\), \(y' = \dfrac{{ - x - 1}}{{{e^x}}}\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = - 1\).
Bảng biến thiên:
Vậy \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm thực phân biệt \( \Leftrightarrow 0 < m < e\).
Do đó chỉ có \(2\) số nguyên \(m\) thỏa mãn.
Đáp án A
Câu 46:
Phương pháp:
Nhẩm nghiệm của phườn trình đưa về phương trình tích và tìm điều kiện để phương trình có ba nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn giải:
Ta có: \(y = {x^3} + \left( {m - 4} \right)x + 2m\,\,\left( C \right)\).
Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và trục hoành là \({x^3} + \left( {m - 4} \right)x + 2m = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2m + m} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = - 2\) hoặc \({x^2} - 2x + m = 0\,\,\left( 1 \right)\).
Vậy \(\left( 1 \right)\) có \(2\) nghiệm phân biệt khác \( - 2\) \( \Leftrightarrow m < 1\) và \(m \ne - 8\).
Đáp án B
Câu 47:
Phương pháp:
Diện tích xung quanh hình nón \({S_{xq}} = \pi rl\).
Hướng dẫn giải:
Hình nón đã cho có bán kính đáy \(r = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{6a\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 a\) và đường sinh \(l = AB = 6a\).
Vậy diện tích xung quanh của hình nón đã cho là \({S_{xq}} = \pi rl = \pi .2\sqrt 3 a.6a = 12\sqrt 3 \pi {a^2}\).
Đáp án B
Câu 48:
Phương pháp:
- Xác định góc \({45^0}\) (góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến)
- Thể tích hình chóp \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).
Hướng dẫn giải:
Hình vuông \(ABCD\) cạnh bằng \(3a\) có diện tích bằng \(9{a^2}\).
Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\), mà \(BC \bot AB\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\), lại có \(AB \bot BC\).
Từ đó góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {SBA} = 45^\circ \).
Tương tự \(SA \bot AB\), vậy \(\Delta SAB\) vuông cân tại \(A\) \( \Rightarrow SA = AB = 3a\).
Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\dfrac{1}{3}.SA.9{a^2} = \dfrac{1}{3}.3a.9{a^2} = 9{a^3}\).
Đáp án D
Câu 49:
Phương pháp:
Hàm số bậc ba có cực trị nếu và chỉ nếu đạo hàm \(y'\) có hai nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn giải:
Hàm số \(y = {x^3} - \left( {m + 2} \right){x^2} + \left( {{m^2} + 2m} \right)x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
\(y' = 3{x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + {m^2} + 2m\).
Vậy hàm số đã cho có cực trị \( \Leftrightarrow y'\) có nghiệm và đổi dấu khi \(x\) đi qua nghiệm đó
\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + {m^2} + 2m = 0\) có hai nghiệm phân biệt
\(\Delta ' = {\left( {m + 2} \right)^2} - 3\left( {{m^2} + 2m} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow - 2{m^2} - 2m + 4 > 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 1\).
Đáp án A
Câu 50:
Phương pháp:
Hàm số đã cho đồng biến trên \(D\)\( \Leftrightarrow y' > 0,\,\,\,\forall x \in D\)
Sử dụng phương pháp hàm số tìm điều kiện của \(m\).
Hướng dẫn giải:
Hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3x\) xác định trên \(D = \left( {1; + \infty } \right)\); \(y' = 3{x^2} - 6mx + 3\).
Hàm số đã cho đồng biến trên \(D\)\( \Leftrightarrow y' > 0,\,\,\,\forall x \in D \Leftrightarrow 2m < \dfrac{{{x^2} + 1}}{x}\,\,\forall x \in D\,\,\,\,\left( 1 \right)\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 1}}{x}\) trên \(D\), hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(D\), \(f'\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}} > 0,\,\,\forall x \in D\)\( \Rightarrow f\left( x \right)\) đồng biến trên \(D\).
Từ đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2m \le f\left( 1 \right) = 2 \Leftrightarrow m \le 1\).
Đáp án B
HẾT
