Đề bài
Trong không gian OxyzOxyz, cho hai đường thẳng:
d1:{x=−1+3ty=1+2tz=3−2td2:{x=t′y=1+t′z=−3+2t′
a) Chứng minh rằng d1 và d2 cùng thuộc một mặt phẳng.
b) Viết phương trình mặt phẳng đó.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh [→a1.→a2].→M1M2=0, với →a1;→a2 lần lượt là các VTCP của d1;d2 và M1∈d1;M2∈d2.
b) Mặt phẳng chứa d1;d2 đi qua M1 và nhận →n=[→a1.→a2] là 1 VTPT.
Lời giải chi tiết
a) Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(−1;1;3) và có VTCP →a1=(3;2;−2)
Đường thẳng d2 đi qua điểm M2(0;1;−3) và có VTCP →a2=(1;1;2).
Ta có [→a1,→a2]=(6;−8;1), →M1M2=(1;0;−6)
⇒[→a1,→a2]. →M1M2=0
Vậy ba vectơ →a1,→a2,→M1M2 đồng phẳng hay hai đường thẳng d1, d2 nằm cùng một mặt phẳng.
Cách khác:
Xét hệ {−1+3t=t′1+2t=1+t′3−2t=−3+2t′
⇔{3t−t′=12t−t′=0−2t−2t′=−6
⇔{t=1t′=2
⇒ Hệ có nghiệm duy nhất hay hai đường thẳng cắt nhau tại điểm A(2;3;1)
b) Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1 và d2.
Khi đó (P) qua điểm M1(−1;1;3) và có vectơ pháp tuyến
→n=[→a1,→a2]=(6;−8;1).
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
6(x+1)−8(y−1)+(z−3)=0
⇔6x−8y+z+11=0
