Đề bài
Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA,SB,SC lần lượt lấy ba điểm A′,B′,C′ khác với S. Chứng minh rằng
VS.A′B′C′VS.ABC=SA′SA⋅SB′SB⋅SC′SC
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Gọi h và h′ lần lượt là chiều cao hạ từ A và A′ đến (SBC), dựa vào định lí Vi-et tính tỉ số h′h.
+) Sử dụng công thức tính diện tích SΔSB′C′=12SB.SC.sin^BSC tính diện tích tam giác SB′C′, tương tự tính diện tích tam giác SBC, sau đó suy ra tỉ số SΔSB′C′SΔSBC.
+) Sử dụng công thức tính thể tích V=13S.h lập tỉ số thể tích S.A′B′C′ và S.ABC, rút gọn và suy ra kết quả.
Lời giải chi tiết
Gọi h và h′ lần lượt là chiều cao hạ từ A,A′ đến mặt phẳng (SBC).
* Do A′H′//AH nên bốn điểm A,A′;H′ và H đồng phẳng. (1)
Lại có, 3 điểm A,S,H đồng phẳng (2).
Từ (1) và (2) suy ra, 5 điểm A,A′,S.H và H′ đồng phẳng.
Trong mp(ASH) ta có: {A′H′⊥SH′AH⊥SHA′H′//AH⇒SH′≡SH
⇒ Ba điểm S,H và H′ thẳng hàng.
Gọi S1 và S2 theo thứ tự là diện tích các tam giác SBC và SB′C′.
Khi đó ta có h′h=SA′SA (định lý Ta - let) và:
S2S1=SSB′C′SSBC =12SB′.SC′.sin^BSC12SB.SC.sin^BSC=SB′SB.SC′SC
Suy ra VS.A′B′C′VS.ABC=VA′.SB′C′VA.SBC=13h′S213hS1 =h′h.S2S1 =SA′SA⋅SB′SB⋅SC′SC
Đó là điều phải chứng minh.
Chú ý: Từ nay về sau chúng ta được sử dụng bài tập này như một kết quả và không cần chứng minh lại.
