Đề bài
Câu 1. Tìm tập nghiệm S của phương trình \({z^3} + {z^2} - 2 = 0\) trên trường số phức.
A. \(S = \{ - 1 - i,\, - 1 + i\} \).
B. \(S = \{ 1,\,1 - i,\,1 + i\} \).
C. \(S = \{ 1,\, - 1 - i,\, - 1 + i\} \).
D. \(S = \{ 1\} \).
Câu 2. Tính mô đun của số phức \(z\dfrac{{1 + 2i}}{{1 - i}}\).
A. \(|z| = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\).
B. \(|z| = \sqrt {10} \).
C. \(|z| = \dfrac{5}{2}\).
D. \(|z| = \dfrac{{\sqrt {10} }}{2}\).
Câu 3. Số phức \(z = \dfrac{{1 - i}}{{1 + i}} - 3 + 4i\) có số phức liên hợp là:
A. \(\overline z = - 3i\).
B. \(\overline z = - 3\).
C. \(\overline z = - 3 + 3i\).
D. \(\overline z = - 3 - 3i\).
Câu 4. Trên mặt phẳng tọa độ, để tập hợp điểm biểu diễn các số phức z nằm trong phần gạch chéo ( kể cả biên ) ở hình vẽ dưới đây thì điều kiện của z là:
A. \(|z| \le 1\) và phần ảo thuộc đoạn \(\left[ { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right]\).
B. \(|z| \le \dfrac{1}{2}\)và phần thực thuộc đoạn \(\left[ { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right]\).
C. \(|z| \le \dfrac{1}{2}\) và phần ảo thuộc đoạn \(\left[ { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right]\).
D. \(|z| \le 1\) và phần thực thuộc đoạn \(\left[ { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right]\).
Câu 5. Mô đun của số phức z thỏa mãn \(z + \left( {2 + i} \right)\overline z = 3 + 5i\) là:
A. \(\sqrt {17} \) B. \(\sqrt {15} \)
C. \(\sqrt {13} \) D. \(\sqrt {14} \).
Câu 6. Trong tập số phức C, chọn phát biểu đúng .
A. \(z + \overline z \) là số thuần ảo.
B. \(\overline {{z_1} + {z_2}} = \overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} \).
C. \({z^2} - {\left( {\overline z } \right)^2} = 4ab\).
D. \(|{z_1} + {z_2}| = |{z_1}| + |{z_2}|\).
Câu 7. Gọi \({z_1}\,,\,{z_2}\) lần lượt là nghiệm của phương trình \({z^2} + 2z + 10 = 0\). Tính \(|{z_1}{|^2} + |{z_2}{|^2}\).
A. 20 B. 50
C. 100 D. 15
Câu 8. Cho số phức z = 2 + 3i. Giá trị của \(|2iz - \overline z |\) bằng :
A. 15 B. \(\sqrt {15} \)
C. 113 D. \(\sqrt {113} \).
Câu 9. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức z = - 5 – 6i là điểm nào sau đây ?
A. P(5 ; - 6). B. Q(5 ; 6).
C. M(- 5 ; 6). D. N(- 5 ; - 6 ).
Câu 10. Tìm số phưc liên hợp của số phức \(z = 1 - 9i\).
A. \(\overline z = - 1 - 9i\).
B. \(\overline z = - 1 + 9i\).
C. \(\overline z = 1 - 9i\).
D. \(\overline z = 1 + 9i\).
Câu 11. Số phức z là số thực nếu:
A. a = 0. B. b = 0.
C. i = 0. D. a. b = 0.
Câu 12. Các số thực x , y thỏa mãn \(\dfrac{{x - 3}}{{3 + i}} + \dfrac{{y - 3}}{{3 - i}} = i\). Khi đó tổng T = x + y bằng :
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
Câu 13. Cho biểu thức \(|z| + z = 3 + 4i\). Số phức z là :
A. \(z = \dfrac{7}{6} - 4i\).
B. \(z = \dfrac{6}{7} + 4i\).
C. \(z = - \dfrac{7}{6} - 4i\).
D. \(z = - \dfrac{7}{6} + 4i\).
Câu 14. Cho số phức z thỏa mãn \(|z - 2 - 2i| = 1\). Số phức z - i có mô đun nhỏ nhất là:
A. \(\sqrt 5 - 1\).
B. \(1 - \sqrt 5 \).
C. \(\sqrt 5 + 1\).
D. \(\sqrt 5 + 2\).
Câu 15. Cho hai số phức \({z_1} = 1 + 2i\,,\,\,{z_2} = 2 - 3i\). Phần thực và phần ảo của số phức \(w = 3{z_1} - 2{z_2}\) là:
A. 1 và 12.
B. – 1 và 12.
C. – 1 và 12i.
D. 1 và 12i.
Câu 16. Cho số phức z thỏa mãn \(|z + 3| + |z - 3| = 10\). Giá trị nhỏ nhất của \(|z|\) là:
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
Câu 17. Nghiệm của phương trình \(2{z^4} + {z^2} - 1 = 0\) trên tập số phức là:
A. \(z = \pm i\).
B. \(\left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\z = i\end{array} \right.\).
C. \(\left[ \begin{array}{l}z = \pm \dfrac{i}{{\sqrt 2 }}\\z = \pm i\end{array} \right.\).
D. \(\left[ \begin{array}{l}z = \pm \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\z = \pm i\end{array} \right.\).
Câu 18. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \(|z| = |2 + 2i|\) là:
A. Đường tròn bán kính \(2\sqrt 2 \).
B. Đường tròn bán kính 4.
C. Đường tròn bán kính 2.
D. Đường tròn bán kính \(4\sqrt 2 \).
Câu 19. Số phức z có mô đun r và acgumen \(\varphi \) thì có dạng lượng giác là:
A. \(z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)\).
B. \(z = r\left( {\cos \varphi - i\sin \varphi } \right)\).
C. \(z = r\left( {\sin \varphi + i\cos \varphi } \right)\).
D. \(z = r\left( {\sin \varphi - i\cos \varphi } \right)\).
Câu 20. Tổng của hai số phức \({z_1} = 1 - 2i\,,\,\,{z_2} = 2 + 3i\) là:
A. \(2 - 5i\).
B. 2 + 5i.
C. 3 + i.
D. 3 + 5i.
Câu 21. Gọi \(\varphi \) là 1 acgumen cảu số phức z có biểu diễn là \(M\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\)nằm trên đường tròn đơn vị, số đo nào sau đây có thể là một acgumen của z ?
A. \(\dfrac{\pi }{2}\) B. \(\dfrac{\pi }{3}\)
C. \(\dfrac{\pi }{4}\) D. \(\dfrac{\pi }{6}\).
Câu 22. Cho số phức z thỏa mãn \(|z + 1 - i|\,\, \le \,3\)là số thực. Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là:
A. Đường tròn .
B. Đường thẳng .
C. Hình tròn .
D. Một điểm duy nhất.
Câu 23. Cho hai số phức \({z_1} = 4 + 5i\,,\,\,{z_2} = 1 + 2i\). Tìm khẳng định đúng ?
A. \({z_1} + {z_2} = 5 + 7i\).
B. \({z_1} - {z_2} = 3 + 4i\).
C. \({z_1}.{z_2} = 10 + 3i\).
D. \({z_1}.{z_2} = 20 + 5i\).
Câu 24. Tìm điểm M biểu diễn số phức z = 2 + 2i.
A. M ( 2 ; - 2).
B. M (2 ; 2).
C. M ( -2 ; 2).
D. M (-2 ; 2).
Câu 25. Cho số phức z có dạng lượng giác \(z = 4\left( {\cos \left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) + i\sin \left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right)\). Dạng đại số của z là :
A. z = 4.
B. z = - i.
C. z = 4i.
D. z = - 4i.
Lời giải chi tiết
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| C | D | D | A | C |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| B | A | D | D | D |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| B | C | D | A | B |
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| B | D | A | A | C |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| B | C | A | B | D |
Lời giải chi tiết
Câu 1: (C)
\(\begin{array}{l}{z^3} - {z^2} - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {z - 1} \right)\left( {{z^2} + 2z + 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z - 1 = 0\\{z^2} + 2z + 2 = 0\end{array} \right.\end{array}\)\(\)
Giải pt (2)
Ta có \(\Delta = {(b')^2} - a.c = 1 - 2 = - 1 = {i^2}\)
\(\Delta \) có hai căn bậc hai là i và – i
Nghiệm của pt (2) là \({x_1} = - 1 - {\rm{ }}i\) và
Tập nghiệm S trên trường số phức là: S={ 1, -1- i, -1+ i}
Câu 2: (D)
\(\begin{array}{l}z = \dfrac{{1 + 2i}}{{1 - i}} = \dfrac{{\left( {1 + 2i} \right).\left( {1 + i} \right)}}{{\left( {1 - i} \right)\left( {1 + i} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{1 + 3i + 2.{i^2}}}{{1 - {i^2}}} = \dfrac{{ - 1 + 3.i}}{2}\\\,\,\,\, = \dfrac{{ - 1}}{2} + \dfrac{3}{2}i\\ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt {10} }}{2}\end{array}\)
Câu 3: (D)
\(\begin{array}{l}z = \dfrac{{1 - i}}{{1 + i}} - 3 + 4i\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{\left( {1 - i} \right)}^2}}}{{1 - {i^2}}} - 3 + 4i\\\,\,\,\,\, = - i - 3 + 4i = - 3 + 3i\end{array}\)
Số phức liên hợp của z là: \(\overline z = - 3 - 3i\)
Câu 4: (A)
Câu 5: (C)
Đặt z = a + bi \(a,b \in \mathbb{Z}\)
\(\begin{array}{l}z + \left( {2 + i} \right)\overline z = 3 + 5i\\ \Leftrightarrow \left( {a + bi} \right) + \left( {2 + i} \right)\left( {a - bi} \right) = 3 + 5i\\ \Leftrightarrow 3a + b + ai - bi = 3 + 5i\\ \Leftrightarrow 3a + b + \left( {a - b} \right)i = 3 + 5i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a + b = 3\\a - b = 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 3\end{array} \right.\left( {tm} \right)\\ \Rightarrow z = 2 - 3i\\ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {13} \end{array}\)
Câu 6: (B)
Câu 7: (A) \({z^2} + 2z + 10 = 0\)
Có \(\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac = 1 - 10 = - 9 = {\left( {3i} \right)^2}\)
\(\Delta \) có hai căn bậc hai là 3i và – 3i
Phương trình có hai nghiệm \({z_1} = {\rm{ }} - 1{\rm{ }} + {\rm{ }}3i\) và \({z_2} = {\rm{ }} - 1{\rm{ }}--{\rm{ }}3i\)
\(\begin{array}{l}\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {10} \\ \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} = {\left| {{z_2}} \right|^2} = 10\\ \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 20\end{array}\)
Câu 8: (D)
\(\begin{array}{l}z{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}3i\\ \Rightarrow 2iz - \overline z = {\rm{ }}2i\left( {2{\rm{ }} + 3i} \right){\rm{ }}--{\rm{ }}\left( {2{\rm{ }}--{\rm{ }}3i} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4i - 6 - 2 + 3i\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 8 + 7i\end{array}\)
Câu 9: (D)
Câu 10: (D)
Câu 11: (B)
Câu 12: (C)
\(\begin{array}{l}\dfrac{{x - 3}}{{3 + i}} + \dfrac{{y - 3}}{{3 - i}} = i\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {3 - i} \right) + \left( {y - 3} \right)\left( {3 + i} \right) = i\left( {3 - i} \right)\left( {3 + i} \right)\\ \Leftrightarrow 3\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 3} \right)i + 3\left( {y - 3} \right) + \left( {y - 3} \right)i = 10i\\ \Leftrightarrow 3\left( {x + y - 6} \right) + \left( {y - x} \right)i = 10i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y - 6 = 0\\y - x = 10\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 6\\y - x = 10\end{array} \right.\end{array}\)
Câu 13: (D)
Đặt \(z = a + bi;\,\,\,\,a,b \in \mathbb{Z}\)
\(\begin{array}{l}|z| + z = 3 + 4i\\ \Rightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} + a + bi = 3 + 4i\\\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{a^2} + {b^2}} + a = 3{\rm{ (1)}}\\b = 4{\rm{ (2)}}\end{array} \right.\end{array}\)
Thay (2) v ào (1) ta được:
\(\begin{array}{l}\sqrt {{a^2} + {{16}^2}} + a = 3\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{16}^2}} = 3 - a\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \le 3\\6a = - 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \le 3\\a = \dfrac{{ - 7}}{6}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow a = \dfrac{{ - 7}}{6}\\ \Rightarrow z = - \dfrac{7}{6} + 4i\end{array}\)
Câu 14: (A)
Đặt z = x +yi M(x,y) \(x,y \in \mathbb{Z}\)
\(\begin{array}{l}|z - 2 - 2i| = 1\\ \Leftrightarrow |x + yi - 2 - 2i| = 1\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 2} \right)i} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{(y - 2)}^2}} = 1\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1\end{array}\)=1
Điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường tròn tâm I(2,2), bán kính r = 1
Ta lại có: \(\left| {z--i} \right| = \left| {x + yi--i} \right| \)\(\,= \left| {x + \left( {y--1} \right)} \right| = \sqrt {{x^2} + {{(y - 1)}^2}} \)
Lấy H(0, 1) suy ra \(HM = \sqrt {{x^2} + {{(y - 1)}^2}} \)
Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH nhỏ nhất khi M là giao điểm của HI với đường tròn.
Có H(0,1) , I(2,2) nên \(\overrightarrow {HI} = \left( {2;1} \right)\) = (2,1)
Pt đường thẳng HI: (1) \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 + t\end{array} \right.\)
Mặt khác, HI giao với đường tròn tại M nên thay (1) vào pt đường tròn ta được :
\(\begin{array}{l}{\left( {2t - 2} \right)^2} + {\left( {t - 1} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow 5{\left( {t - 1} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} = \dfrac{1}{5}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 1 = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\\t - 1 = - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\\t = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{M_1} = \left( {2 + \dfrac{2}{{\sqrt 5 }},2 + \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)\\{M_2} = \left( {2 - \dfrac{2}{{\sqrt 5 }},2 - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)\end{array} \right.\\\\\end{array}\)
Có \(H{M_1} = \sqrt 5 + 1;\,\,H{M_2} = \sqrt 5 - 1\)
\(|z - i{|_{\min }} \Leftrightarrow |z - i| = H{M_2} = \sqrt 5 - 1\) với \({M_2} = \left( {2 - \dfrac{2}{{\sqrt 5 }},2 - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)\)
Câu 15: (B)
\(\begin{array}{l}w = 3{z_1}--2{z_2}\\\,\,\,\,\,\, = 3\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}2i} \right)--2\left( {2--3i} \right)\\\,\,\,\,\,\, = 3 + 6i - 4 + 6i\\\,\,\,\,\,\, = - 1 + 12i\end{array}\)
Phần thực: -1 , phần ảo: 12
Câu 16: (B) Đặt \(z = a + bi;\,\,\,\,a,b \in \mathbb{Z}\)
\(\begin{array}{l}\left| {z + 3} \right| + \left| {z--3} \right| = 10\\ \Leftrightarrow |a + bi + 3| + |a + bi - 3| = 10\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}} + \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}} = 10\end{array}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:
\(10 = \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}} + \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}} \)\(\,\le \sqrt {2{\rm{[}}{{(a + 3)}^2} + {b^2} + {{(a - 3)}^2} + {b^2}{\rm{]}}}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {2\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 18} \right)} \ge 10\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 9 \ge 25\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 16\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} \ge 4\\ \Leftrightarrow |z| \ge 4\\ \Leftrightarrow |z{|_{\min }} = 4\end{array}\)
Câu 17: (D)
\(\begin{array}{l}2{z^4} + {z^2} - 1 = 0\\\Delta = {b^2} - 4ac = 1 + 4.2 = 9\end{array}\)
Nghiệm của phương trình là:
\(\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{z^2} = \dfrac{{ - 1 - 3}}{4} = - 1 = {i^2}\\{z^2} = \dfrac{{ - 1 + 3}}{4} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \pm i\\z = \pm \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\end{array}\)
Câu 18: (A)
\(\left| z \right| = \left| {2 + 2i} \right| = 2\sqrt 2 \)
Đặt z= a+ bi
\(\begin{array}{l}|z| = 2\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow |a + bi| = 2\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 2\sqrt 2 \end{array}\)
Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z là đường tròn có tâm O(0,0), bán kính \(r = 2\sqrt 2 \)
Câu 19: (A)
Câu 20: (C)
\({z_1} + {z_2} = 1--2i + 2 + 3i = 3 + i\)
Câu 21: (B)
Câu 22: (C) Đặt z = x + yi
\(\begin{array}{l}|z + 1 - i| \le 3\\ \Leftrightarrow |x + yi + 1 - i| \le 3\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {x + 1} \right) + \left( {y - 1} \right) \le 3} \right|\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \le 3\end{array}\)
Điểm biểu diễ số phức z là một hình tròn tâm I(-1,1), bán kính \(r = 3\)
Câu 23: (A) \({z_1} + {z_2} = 4 + 5i + 1 + 2i = 5 + 7i\)
Câu 24: (B)
Câu 25: (D)
