Đề bài
Câu 1. Tìm tập nghiệm S của phương trình z3+z2−2=0 trên trường số phức.
A. S={−1−i,−1+i}.
B. S={1,1−i,1+i}.
C. S={1,−1−i,−1+i}.
D. S={1}.
Câu 2. Tính mô đun của số phức z1+2i1−i.
A. |z|=√52.
B. |z|=√10.
C. |z|=52.
D. |z|=√102.
Câu 3. Số phức z=1−i1+i−3+4i có số phức liên hợp là:
A. ¯z=−3i.
B. ¯z=−3.
C. ¯z=−3+3i.
D. ¯z=−3−3i.
Câu 4. Trên mặt phẳng tọa độ, để tập hợp điểm biểu diễn các số phức z nằm trong phần gạch chéo ( kể cả biên ) ở hình vẽ dưới đây thì điều kiện của z là:
A. |z|≤1 và phần ảo thuộc đoạn [−12;12].
B. |z|≤12và phần thực thuộc đoạn [−12;12].
C. |z|≤12 và phần ảo thuộc đoạn [−12;12].
D. |z|≤1 và phần thực thuộc đoạn [−12;12].
Câu 5. Mô đun của số phức z thỏa mãn z+(2+i)¯z=3+5i là:
A. √17 B. √15
C. √13 D. √14.
Câu 6. Trong tập số phức C, chọn phát biểu đúng .
A. z+¯z là số thuần ảo.
B. ¯z1+z2=¯z1+¯z2.
C. z2−(¯z)2=4ab.
D. |z1+z2|=|z1|+|z2|.
Câu 7. Gọi z1,z2 lần lượt là nghiệm của phương trình z2+2z+10=0. Tính |z1|2+|z2|2.
A. 20 B. 50
C. 100 D. 15
Câu 8. Cho số phức z = 2 + 3i. Giá trị của |2iz−¯z| bằng :
A. 15 B. √15
C. 113 D. √113.
Câu 9. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức z = - 5 – 6i là điểm nào sau đây ?
A. P(5 ; - 6). B. Q(5 ; 6).
C. M(- 5 ; 6). D. N(- 5 ; - 6 ).
Câu 10. Tìm số phưc liên hợp của số phức z=1−9i.
A. ¯z=−1−9i.
B. ¯z=−1+9i.
C. ¯z=1−9i.
D. ¯z=1+9i.
Câu 11. Số phức z là số thực nếu:
A. a = 0. B. b = 0.
C. i = 0. D. a. b = 0.
Câu 12. Các số thực x , y thỏa mãn x−33+i+y−33−i=i. Khi đó tổng T = x + y bằng :
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
Câu 13. Cho biểu thức |z|+z=3+4i. Số phức z là :
A. z=76−4i.
B. z=67+4i.
C. z=−76−4i.
D. z=−76+4i.
Câu 14. Cho số phức z thỏa mãn |z−2−2i|=1. Số phức z - i có mô đun nhỏ nhất là:
A. √5−1.
B. 1−√5.
C. √5+1.
D. √5+2.
Câu 15. Cho hai số phức z1=1+2i,z2=2−3i. Phần thực và phần ảo của số phức w=3z1−2z2 là:
A. 1 và 12.
B. – 1 và 12.
C. – 1 và 12i.
D. 1 và 12i.
Câu 16. Cho số phức z thỏa mãn |z+3|+|z−3|=10. Giá trị nhỏ nhất của |z| là:
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
Câu 17. Nghiệm của phương trình 2z4+z2−1=0 trên tập số phức là:
A. z=±i.
B. [z=√22z=i.
C. [z=±i√2z=±i.
D. [z=±1√2z=±i.
Câu 18. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z|=|2+2i| là:
A. Đường tròn bán kính 2√2.
B. Đường tròn bán kính 4.
C. Đường tròn bán kính 2.
D. Đường tròn bán kính 4√2.
Câu 19. Số phức z có mô đun r và acgumen φ thì có dạng lượng giác là:
A. z=r(cosφ+isinφ).
B. z=r(cosφ−isinφ).
C. z=r(sinφ+icosφ).
D. z=r(sinφ−icosφ).
Câu 20. Tổng của hai số phức z1=1−2i,z2=2+3i là:
A. 2−5i.
B. 2 + 5i.
C. 3 + i.
D. 3 + 5i.
Câu 21. Gọi φ là 1 acgumen cảu số phức z có biểu diễn là M(12;√32)nằm trên đường tròn đơn vị, số đo nào sau đây có thể là một acgumen của z ?
A. π2 B. π3
C. π4 D. π6.
Câu 22. Cho số phức z thỏa mãn |z+1−i|≤3là số thực. Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là:
A. Đường tròn .
B. Đường thẳng .
C. Hình tròn .
D. Một điểm duy nhất.
Câu 23. Cho hai số phức z1=4+5i,z2=1+2i. Tìm khẳng định đúng ?
A. z1+z2=5+7i.
B. z1−z2=3+4i.
C. z1.z2=10+3i.
D. z1.z2=20+5i.
Câu 24. Tìm điểm M biểu diễn số phức z = 2 + 2i.
A. M ( 2 ; - 2).
B. M (2 ; 2).
C. M ( -2 ; 2).
D. M (-2 ; 2).
Câu 25. Cho số phức z có dạng lượng giác z=4(cos(−π2)+isin(−π2)). Dạng đại số của z là :
A. z = 4.
B. z = - i.
C. z = 4i.
D. z = - 4i.
Lời giải chi tiết
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| C | D | D | A | C |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| B | A | D | D | D |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| B | C | D | A | B |
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| B | D | A | A | C |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| B | C | A | B | D |
Lời giải chi tiết
Câu 1: (C)
z3−z2−2=0⇔(z−1)(z2+2z+2)⇔[z−1=0z2+2z+2=0
Giải pt (2)
Ta có Δ=(b′)2−a.c=1−2=−1=i2
Δ có hai căn bậc hai là i và – i
Nghiệm của pt (2) là x1=−1−i và
Tập nghiệm S trên trường số phức là: S={ 1, -1- i, -1+ i}
Câu 2: (D)
z=1+2i1−i=(1+2i).(1+i)(1−i)(1+i)=1+3i+2.i21−i2=−1+3.i2=−12+32i⇒|z|=√(−12)2+(32)2=√102
Câu 3: (D)
z=1−i1+i−3+4i=(1−i)21−i2−3+4i=−i−3+4i=−3+3i
Số phức liên hợp của z là: ¯z=−3−3i
Câu 4: (A)
Câu 5: (C)
Đặt z = a + bi a,b∈Z
z+(2+i)¯z=3+5i⇔(a+bi)+(2+i)(a−bi)=3+5i⇔3a+b+ai−bi=3+5i⇔3a+b+(a−b)i=3+5i⇔{3a+b=3a−b=5⇔{a=2b=−3(tm)⇒z=2−3i⇒|z|=√22+(−3)2=√13
Câu 6: (B)
Câu 7: (A) z2+2z+10=0
Có Δ′=(b′)2−ac=1−10=−9=(3i)2
Δ có hai căn bậc hai là 3i và – 3i
Phương trình có hai nghiệm z1=−1+3i và z2=−1−−3i
|z1|=|z2|=√10⇒|z1|2=|z2|2=10⇒|z1|2+|z2|2=20
Câu 8: (D)
z=2+3i⇒2iz−¯z=2i(2+3i)−−(2−−3i)=4i−6−2+3i=−8+7i
Câu 9: (D)
Câu 10: (D)
Câu 11: (B)
Câu 12: (C)
x−33+i+y−33−i=i⇔(x−3)(3−i)+(y−3)(3+i)=i(3−i)(3+i)⇔3(x−3)−(x−3)i+3(y−3)+(y−3)i=10i⇔3(x+y−6)+(y−x)i=10i⇔{x+y−6=0y−x=10⇔{x+y=6y−x=10
Câu 13: (D)
Đặt z=a+bi;a,b∈Z
|z|+z=3+4i⇒√a2+b2+a+bi=3+4i{√a2+b2+a=3(1)b=4(2)
Thay (2) v ào (1) ta được:
√a2+162+a=3⇔√a2+162=3−a⇔{a≤36a=−7⇔{a≤3a=−76⇔a=−76⇒z=−76+4i
Câu 14: (A)
Đặt z = x +yi M(x,y) x,y \in \mathbb{Z}
\begin{array}{l}|z - 2 - 2i| = 1\\ \Leftrightarrow |x + yi - 2 - 2i| = 1\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 2} \right)i} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{(y - 2)}^2}} = 1\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1\end{array}=1
Điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường tròn tâm I(2,2), bán kính r = 1
Ta lại có: \left| {z--i} \right| = \left| {x + yi--i} \right| \,= \left| {x + \left( {y--1} \right)} \right| = \sqrt {{x^2} + {{(y - 1)}^2}}
Lấy H(0, 1) suy ra HM = \sqrt {{x^2} + {{(y - 1)}^2}}
Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH nhỏ nhất khi M là giao điểm của HI với đường tròn.
Có H(0,1) , I(2,2) nên \overrightarrow {HI} = \left( {2;1} \right) = (2,1)
Pt đường thẳng HI: (1) \left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 + t\end{array} \right.
Mặt khác, HI giao với đường tròn tại M nên thay (1) vào pt đường tròn ta được :
\begin{array}{l}{\left( {2t - 2} \right)^2} + {\left( {t - 1} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow 5{\left( {t - 1} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} = \dfrac{1}{5}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 1 = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\\t - 1 = - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\\t = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{M_1} = \left( {2 + \dfrac{2}{{\sqrt 5 }},2 + \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)\\{M_2} = \left( {2 - \dfrac{2}{{\sqrt 5 }},2 - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)\end{array} \right.\\\\\end{array}
Có H{M_1} = \sqrt 5 + 1;\,\,H{M_2} = \sqrt 5 - 1
|z - i{|_{\min }} \Leftrightarrow |z - i| = H{M_2} = \sqrt 5 - 1 với {M_2} = \left( {2 - \dfrac{2}{{\sqrt 5 }},2 - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)
Câu 15: (B)
\begin{array}{l}w = 3{z_1}--2{z_2}\\\,\,\,\,\,\, = 3\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}2i} \right)--2\left( {2--3i} \right)\\\,\,\,\,\,\, = 3 + 6i - 4 + 6i\\\,\,\,\,\,\, = - 1 + 12i\end{array}
Phần thực: -1 , phần ảo: 12
Câu 16: (B) Đặt z = a + bi;\,\,\,\,a,b \in \mathbb{Z}
\begin{array}{l}\left| {z + 3} \right| + \left| {z--3} \right| = 10\\ \Leftrightarrow |a + bi + 3| + |a + bi - 3| = 10\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}} + \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}} = 10\end{array}
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:
10 = \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}} + \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}} \,\le \sqrt {2{\rm{[}}{{(a + 3)}^2} + {b^2} + {{(a - 3)}^2} + {b^2}{\rm{]}}}
\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {2\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 18} \right)} \ge 10\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 9 \ge 25\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 16\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} \ge 4\\ \Leftrightarrow |z| \ge 4\\ \Leftrightarrow |z{|_{\min }} = 4\end{array}
Câu 17: (D)
\begin{array}{l}2{z^4} + {z^2} - 1 = 0\\\Delta = {b^2} - 4ac = 1 + 4.2 = 9\end{array}
Nghiệm của phương trình là:
\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{z^2} = \dfrac{{ - 1 - 3}}{4} = - 1 = {i^2}\\{z^2} = \dfrac{{ - 1 + 3}}{4} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \pm i\\z = \pm \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\end{array}
Câu 18: (A)
\left| z \right| = \left| {2 + 2i} \right| = 2\sqrt 2
Đặt z= a+ bi
\begin{array}{l}|z| = 2\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow |a + bi| = 2\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 2\sqrt 2 \end{array}
Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z là đường tròn có tâm O(0,0), bán kính r = 2\sqrt 2
Câu 19: (A)
Câu 20: (C)
{z_1} + {z_2} = 1--2i + 2 + 3i = 3 + i
Câu 21: (B)
Câu 22: (C) Đặt z = x + yi
\begin{array}{l}|z + 1 - i| \le 3\\ \Leftrightarrow |x + yi + 1 - i| \le 3\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {x + 1} \right) + \left( {y - 1} \right) \le 3} \right|\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \le 3\end{array}
Điểm biểu diễ số phức z là một hình tròn tâm I(-1,1), bán kính r = 3
Câu 23: (A) {z_1} + {z_2} = 4 + 5i + 1 + 2i = 5 + 7i
Câu 24: (B)
Câu 25: (D)
