1. Một số dạng toán thường gặp áp dụng phương pháp đổi biến
Dạng 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến \(t = u\left( x \right)\).
- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.\) .
- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).
- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).
- Bước 4: Tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \).
Ví dụ: Tính tích phân \(\int\limits_0^{\sqrt 3 } {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx} \).
Giải:
Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 \) \( \Rightarrow 2tdt = 2xdx\).
Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = \sqrt 3 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\)
Do đó: \(\int\limits_0^{\sqrt 3 } {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx} = \int\limits_1^2 {t.2tdt} = \left. {\dfrac{2}{3}{t^3}} \right|_1^2 = \dfrac{2}{3}\left( {{2^3} - {1^3}} \right) = \dfrac{{14}}{3}\).
Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến \(x = u\left( t \right)\).
- Bước 1: Đặt \(x = u\left( t \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = a'\\x = b \Rightarrow t = b'\end{array} \right.\).
- Bước 2: Lấy vi phân 2 vế \(dx = u'\left( t \right)dt\).
- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx = f\left( {u\left( t \right)} \right).u'\left( t \right)dt = g\left( t \right)dt\).
- Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \)
Ví dụ: Cho $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - {x^2}} {\rm{d}}x} $, nếu đặt $x = \sin t$ thì:
A. $I = 2\int\limits_0^1 {\left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t} $
B. $I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{1 - \cos 2t}}{2}{\rm{d}}t} $
C. $I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{1 + \cos 2t}}{2}{\rm{d}}t} $
D. $I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{\cos 2t - 1}}{2}{\rm{d}}t} $
Giải:
Đặt $x = \sin t \Leftrightarrow dx = \cos t\,dt$ và $1 - {x^2} = 1 - {\sin ^2}t = {\cos ^2}t$
Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\)
Suy ra
$I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - {x^2}} {\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\sqrt {{{\cos }^2}t} \cos t{\rm{d}}t} $ $= \int\limits_0^1 {{{\cos }^2}t{\rm{d}}t} = \int\limits_0^1 {\dfrac{{1 + \cos 2t}}{2}{\rm{d}}t} $
Chọn C.
Chú ý:
Các dấu hiệu thường dùng phương pháp trên là:
2. Một số bài toán thường áp dụng phương pháp tích phân từng phần
Dạng 1: Tích phân có chứa hàm số logarit.
Tính tích phân \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx} \) (trong đó \(f\left( x \right)\) là hàm số đa thức)
Phương pháp:
- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {ax + b} \right)\\dv = f\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{a}{{ {ax + b} }}dx\\v = \int {f\left( x \right)dx} \end{array} \right.\)
- Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx} = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \)
Ví dụ: Tính tích phân $I = \int\limits_1^e {x\ln x{\rm{d}}x.} $
Giải: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{x}\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.$
Khi đó $I = \dfrac{{{x^2}\ln x}}{2}\left| \begin{array}{l}^e\\_1\end{array} \right. - \dfrac{1}{2}\int\limits_1^e x = \dfrac{{{e^2}}}{2} - \dfrac{{{x^2}}}{4}\left| \begin{array}{l}^e\\_1\end{array} \right. = \dfrac{{{e^2} + 1}}{4}$
Dạng 2: Tích phân có chứa hàm số mũ.
Tính tích phân \(\int\limits_m^n {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx} \). (trong đó \(f\left( x \right)\) là hàm số đa thức)
Phương pháp:
- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = {e^{ax + b}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}{e^{ax + b}}\end{array} \right.\)
- Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx} = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \)
Ví dụ: Tính \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2x + 3} \right){e^x}{\rm{d}}x} \)
Giải: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = 2x + 3\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2dx\\v = {e^x}\end{array} \right.$
Khi đó $I = \left. {\left( {2x + 3} \right){e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {2{e^x}dx} = \left. {\left( {2x + 3} \right){e^x}} \right|_0^1 - \left. {2{e^x}} \right|_0^1 = 3e - 1.$
Dạng 3: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm đa thức.
Tính tích phân \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx} \) hoặc \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx} \). (trong đó \(f\left( x \right)\) là hàm số đa thức)
Phương pháp:
- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \sin \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = - \dfrac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \cos \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\)
- Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx} = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \) hoặc \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx} = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \)
Ví dụ: Tính tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {x\sin 2x{\rm{d}}x} $
Giải: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin 2xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \dfrac{{\cos 2x}}{2}\end{array} \right..$
Khi đó $I = - \dfrac{{x\cos 2x}}{2}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\dfrac{\pi }{4}}} \right. + \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\cos 2xdx} = - \dfrac{{x\cos 2x}}{2}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\dfrac{\pi }{4}}} \right. + \dfrac{{\sin 2x}}{4}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\dfrac{\pi }{4}}} \right. = \dfrac{1}{4}.$
Dạng 4: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm số mũ.
Tính tích phân \(\int\limits_m^n {{e^{ax + b}}\sin \left( {cx + d} \right)dx} \) hoặc \(\int\limits_m^n {{e^{ax + b}}\cos \left( {cx + d} \right)dx} \).
- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \sin \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \cos \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\)
- Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {udv} = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \)
Ví dụ: Tính $K = \int\limits_0^\pi {{e^x}\cos 2x{\rm{d}}x} $
Giải: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \cos 2x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = - 2\sin 2xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.$
Suy ra $K = \left( {{e^x}\cos 2x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^\pi }\\{_0}\end{array}} \right. + 2\int\limits_0^\pi {{e^x}\sin 2xdx} = {e^\pi } - 1 + 2M$
Tính $M = \int\limits_0^\pi {{e^x}\sin 2xdx} $
Ta đặt $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \sin 2x\\d{v_1} = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d{u_1} = 2\cos 2x\\{v_1} = {e^x}\end{array} \right.$
Suy ra $M = \left( {{e^x}\sin 2x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^\pi }\\{_0}\end{array}} \right. - 2\int\limits_0^\pi {{e^x}\cos 2x} = - 2K$
Khi đó $K = {e^\pi } - 1 + 2\left( { - 2K} \right) \Leftrightarrow 5K = {e^\pi } - 1 \Leftrightarrow K = \dfrac{{{e^\pi } - 1}}{5}$
