1. Một số dạng toán thường gặp áp dụng phương pháp đổi biến
Dạng 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến t=u(x).
- Bước 1: Đặt t=u(x), đổi cận {x=a⇒t=u(a)=a′x=b⇒t=u(b)=b′ .
- Bước 2: Tính vi phân dt=u′(x)dx.
- Bước 3: Biến đổi f(x)dx thành g(t)dt.
- Bước 4: Tính tích phân b∫af(x)dx=b′∫a′g(t)dt.
Ví dụ: Tính tích phân √3∫02x√x2+1dx.
Giải:
Đặt t=√x2+1⇒t2=x2+1 ⇒2tdt=2xdx.
Đổi cận {x=0⇒t=1x=√3⇒t=2
Do đó: √3∫02x√x2+1dx=2∫1t.2tdt=23t3|21=23(23−13)=143.
Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến x=u(t).
- Bước 1: Đặt x=u(t), đổi cận {x=a⇒t=a′x=b⇒t=b′.
- Bước 2: Lấy vi phân 2 vế dx=u′(t)dt.
- Bước 3: Biến đổi f(x)dx=f(u(t)).u′(t)dt=g(t)dt.
- Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức b∫af(x)dx=b′∫a′g(t)dt
Ví dụ: Cho I=π2∫0√1−x2dx, nếu đặt x=sint thì:
A. I=21∫0(1+cos2t)dt
B. I=1∫01−cos2t2dt
C. I=1∫01+cos2t2dt
D. I=1∫0cos2t−12dt
Giải:
Đặt x=sint⇔dx=costdt và 1−x2=1−sin2t=cos2t
Đổi cận {x=0⇒t=0x=π2⇒t=1
Suy ra
I=π2∫0√1−x2dx=1∫0√cos2tcostdt =1∫0cos2tdt=1∫01+cos2t2dt
Chọn C.
Chú ý:
Các dấu hiệu thường dùng phương pháp trên là:
2. Một số bài toán thường áp dụng phương pháp tích phân từng phần
Dạng 1: Tích phân có chứa hàm số logarit.
Tính tích phân n∫mf(x)ln(ax+b)dx (trong đó f(x) là hàm số đa thức)
Phương pháp:
- Bước 1: Đặt {u=ln(ax+b)dv=f(x)dx⇒{du=aax+bdxv=∫f(x)dx
- Bước 2: Tính tích phân theo công thức n∫mf(x)ln(ax+b)dx=uv|nm−n∫mvdu
Ví dụ: Tính tích phân I=e∫1xlnxdx.
Giải: Đặt {u=lnxdv=xdx⇒{du=dxxv=x22
Khi đó I=x2lnx2|e1−12e∫1x=e22−x24|e1=e2+14
Dạng 2: Tích phân có chứa hàm số mũ.
Tính tích phân n∫mf(x)eax+bdx. (trong đó f(x) là hàm số đa thức)
Phương pháp:
- Bước 1: Đặt {u=f(x)dv=eax+bdx⇒{du=f′(x)dxv=1aeax+b
- Bước 2: Tính tích phân theo công thức n∫mf(x)eax+bdx=uv|nm−n∫mvdu
Ví dụ: Tính I=1∫0(2x+3)exdx
Giải: Đặt {u=2x+3dv=exdx⇒{du=2dxv=ex
Khi đó I=(2x+3)ex|10−1∫02exdx=(2x+3)ex|10−2ex|10=3e−1.
Dạng 3: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm đa thức.
Tính tích phân n∫mf(x)sin(ax+b)dx hoặc n∫mf(x)cos(ax+b)dx. (trong đó f(x) là hàm số đa thức)
Phương pháp:
- Bước 1: Đặt {u=f(x)dv=sin(ax+b)dx⇒{du=f′(x)dxv=−1acos(ax+b) hoặc {u=f(x)dv=cos(ax+b)dx⇒{du=f′(x)dxv=1asin(ax+b)
- Bước 2: Tính tích phân theo công thức n∫mf(x)sin(ax+b)dx=uv|nm−n∫mvdu hoặc n∫mf(x)cos(ax+b)dx=uv|nm−n∫mvdu
Ví dụ: Tính tích phân I=π4∫0xsin2xdx
Giải: Đặt {u=xdv=sin2xdx⇒{du=dxv=−cos2x2.
Khi đó I=−xcos2x2|π40+12π4∫0cos2xdx=−xcos2x2|π40+sin2x4|π40=14.
Dạng 4: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm số mũ.
Tính tích phân n∫meax+bsin(cx+d)dx hoặc n∫meax+bcos(cx+d)dx.
- Bước 1: Đặt {u=eax+bdv=sin(cx+d)dx hoặc {u=eax+bdv=cos(cx+d)dx
- Bước 2: Tính tích phân theo công thức n∫mudv=uv|nm−n∫mvdu
Ví dụ: Tính K=π∫0excos2xdx
Giải: Đặt {u=cos2xdv=exdx⇒{du=−2sin2xdxv=ex
Suy ra K=(excos2x)|π0+2π∫0exsin2xdx=eπ−1+2M
Tính M=π∫0exsin2xdx
Ta đặt {u1=sin2xdv1=exdx⇒{du1=2cos2xv1=ex
Suy ra M=(exsin2x)|π0−2π∫0excos2x=−2K
Khi đó K=eπ−1+2(−2K)⇔5K=eπ−1⇔K=eπ−15
