Câu hỏi 1:
Nghiệm của phương trình \({z^2} - 2z + 5 = 0\) trên tập số phức là
- \(z = 1 \pm 2i\).
- \(z = 2 \pm i\)
- \(z = - 1 \pm 2i\).
- \(z = \pm 1 \pm 2i\).
Đáp án:
\(z = 1 \pm 2i\).
Phương pháp giải:
Bấm máy tính Casio giải phương trình bậc hai.
Lời giải chi tiết:
\({z^2} - 2z + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + 2i\\z = 1 - 2i\end{array} \right.\)
Câu hỏi 2:
Trong không gian Oxyz, mặt cầu nào dưới đây có tâm thuộc đường thẳng Oz ?
- \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2z - 8 = 0\)
- \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 10 = 0\)
- \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 6z - 8 = 0\)
- \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6y - 10 = 0\)
Đáp án:
\((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2z - 8 = 0\)
Phương pháp giải:
Điểm thuộc Oz có dạng M(0;0;z)
Lời giải chi tiết:
Đáp án A:
\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = {3^2}\end{array}\)
Mặt cầu có tâm \(I\left( {0;0; - 1} \right) \in Oz\)
Câu hỏi 3:
Trong không gian Oxyz, điểm \(A\) 'là hình chiếu vuông góc của điểm \(A(1; - 2; - 3)\) lên mặt phẳng Oxy có tọa độ là
- \({A^\prime }(0; - 2; - 3)\)
- \({A^\prime }(l; - 2;0)\).
- \({A^\prime }(1;0; - 3)\).
- \({A^\prime }( - 1;2; - 3)\).
Đáp án:
\({A^\prime }(l; - 2;0)\).
Phương pháp giải:
Hình chiếu của \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) lên mặt phẳng Oxy là \(M'\left( {{x_0};{y_0};0} \right)\)
Lời giải chi tiết:
\(A'\left( {1; - 2;0} \right)\)
Câu hỏi 4:
Cho số phức \({z_1} = a + bi;{z_2} = c + di\). Khẳng định nào đúng trong các khẳng định dưới đây?
- \(\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{(a + bi) \cdot (c - di)}}{{{a^2} + {b^2}}}\).
- \(\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{(a + bi) \cdot (c - di)}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} \cdot \sqrt {{c^2} + {d^2}} }}\).
- \(\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{(a + bi) \cdot (c - di)}}{{{c^2} + {d^2}}}\).
- \(\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{(a + bi) \cdot (c + di)}}{{\sqrt {{c^2} + {d^2}} }}\).
Đáp án:
\(\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{(a + bi) \cdot (c - di)}}{{{c^2} + {d^2}}}\).
Phương pháp giải:
\(\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{{z_1}.\overline {{z_2}} }}{{{{\left| {{z_2}} \right|}^2}}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{{z_1}.\overline {{z_2}} }}{{{{\left| {{z_2}} \right|}^2}}} = \frac{{\left( {a + bi} \right).\left( {c - di} \right)}}{{{c^2} + {d^2}}}\)
Câu hỏi 5:
\(\int_0^1 x {e^{1 - x}}dx\) bằng :
- \( - 1\)
- 1
- \(1 - e\)
- \(e - 2\).
Đáp án:
\(e - 2\).
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}I = - \int\limits_0^1 {x.d\left( {{e^{1 - x}}} \right)} \\ = \left. { - \left( {x.{e^{1 - x}}} \right)} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {{e^{1 - x}}dx} \\ = - 1 - \left. {\left( {{e^{1 - x}}} \right)} \right|_0^1\\ = - 1 - \left( {1 - e} \right) = e - 2\end{array}\)
Câu hỏi 6:
\(\int_{\frac{{ - 1}}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{x\left( {1 + {x^2} + {x^4}} \right)}}{{1 + {x^2}}}} dx\) bằng :
- 1
- \( - 1\)
- 0
- 2
Đáp án:
0
Phương pháp giải:
Chia đa thức tử cho mẫu.
Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}I = \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{x\left( {1 + {x^2} + {x^4}} \right)}}{{1 + {x^2}}}dx} = \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\left( {{x^3} + \frac{x}{{1 + {x^2}}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( {{x^4}} \right)} \right|_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} + \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{xdx}}{{1 + {x^2}}}} = 0 + \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{d\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}} \\ = \left. {\ln \left| {{x^2} + 1} \right|} \right|_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} = 0\end{array}\)
Câu hỏi 7:
Cho hai số phức \({z_1} = 3 + 2i\) và \({z_2} = 2 - i\). Số phức \(w = {z_1} + {z_2}\) bằng
- \(w = 5 + i\).
- \(w = 5 - i\)
- \(\quad w = - 5 + i\)
- \(w = - 5 - i\)
Đáp án:
\(w = 5 + i\).
Phương pháp giải:
\(\left( {a + bi} \right) + \left( {c + di} \right) = \left( {a + c} \right) + \left( {b + d} \right)i\)
Lời giải chi tiết:
\({z_1} + {z_2} = \left( {3 + 2} \right) + \left( {2 - 1} \right)i = 5 + i\)
Câu hỏi 8:
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 5}} = \frac{{z + 1}}{3}\). Vecto nào dưới đây là một vecto chỉ phương của \(d\) ?
- \(\overrightarrow {{u_4}} \left( {3;4;1} \right)\)
- \(\overrightarrow {{u_3}} \left( {2; - 5;3} \right)\)
- \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {2;5;3} \right)\)
- \(\overrightarrow {{u_2}} \left( {2;4; - 1} \right)\)
Đáp án:
\(\overrightarrow {{u_3}} \left( {2; - 5;3} \right)\)
Phương pháp giải:
Đường thẳng qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vtcp \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình:
\(d:\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\)
Lời giải chi tiết:
\(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right) = \left( {2; - 5;3} \right)\)
Câu hỏi 9:
Cho số phức \(z = m + 7i\left( {m \in \mathbb{R}} \right)\). Số phức liên hợp của z là:
- \(\overline z = - m - 7i\)
- \(\overline z = - m + 7i\)
- \(\overline z = m - 7i\)
- \(\overline z = 7 - mi\)
Đáp án:
\(\overline z = m - 7i\)
Phương pháp giải:
Số phức liên hợp của \(z = a + bi\) là \(\overline z = a - bi\)
Lời giải chi tiết:
\(\overline z = m - 7i\)
Câu hỏi 10:
Tính \(\int {\cos } (5x - 4)dx\), kết quả là
- \( - \frac{1}{5}\sin (5x - 4) + C\).
- \(\frac{1}{5}\sin (5x - 4) + C\).
- \( - 5\sin (5x - 4) + C\)
- \(5\sin (5x - 4) + C\).
Đáp án:
\(\frac{1}{5}\sin (5x - 4) + C\).
Phương pháp giải:
\(\int {\cos \left( {ax + b} \right)dx} = \frac{1}{a}.\sin \left( {ax + b} \right) + C\)
Lời giải chi tiết:
\(\int {\cos } (5x - 4)dx\)\( = \frac{1}{5}\sin (5x - 4) + C\)
Câu hỏi 11:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \((P):4x - 3y + 2 = 0\). Vectơ nào dưới đây là một vecto pháp tuyến của \((P)\) ?
- \(\overline {{n_4}} = (4;3;0)\).
- \(\overline {{n_2}} = (4; - 3;0)\)
- \({\bar n_3} = (4; - 3;2)\).
- \({\vec n_1} = (4;3;2)\).
Đáp án:
\(\overline {{n_2}} = (4; - 3;0)\)
Phương pháp giải:
\(ax + by + cz + d = 0\) có vtpt \(\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right)\)
Lời giải chi tiết:
\(\overline {{n_2}} = (4; - 3;0)\)
Câu hỏi 12:
Trong không gian Oxyz, cho \(A(2;0; - 3),B( - 4;2; - 1)\). Điểm M là trung điểm của AB có tọa độ:
- \(M\left( { - \frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{{ - 4}}{3}} \right)\)
- \(M( - 6;2;2)\).
- \(M( - 1;1; - 2)\).
- \(M( - 2;2; - 4)\).
Đáp án:
\(M( - 1;1; - 2)\).
Phương pháp giải:
Trung điểm của A, B có tọa độ:\(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\y = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\z = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{2 - 4}}{2} = - 1\\{y_M} = \frac{{0 + 2}}{2} = 1\\{z_M} = \frac{{ - 3 - 1}}{2} = - 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( { - 1;1; - 2} \right)\)
Câu hỏi 13:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(f(x) = {x^2} - 2021,y = 0,x = - 3,x = 4\) là
- \(\frac{{42530}}{3}\).
- \(\frac{{42350}}{3}\).
- \(\frac{{43250}}{3}\)
- \(\frac{{42305}}{3}\).
Đáp án:
\(\frac{{42350}}{3}\).
Phương pháp giải:
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 3}^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 3}^4 {\left| {{x^2} - 2021} \right|dx} \\ = \int\limits_{ - 3}^4 {\left( {2021 - {x^2}} \right)dx} = \frac{{42350}}{3}\end{array}\)
Câu hỏi 14:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 3 + t{\rm{ ( }}t \in \mathbb{R})}\\{z = 4 - t}\end{array}} \right.\). Khi đó phương trình chính tắc của \(d\) là
- \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z + 4}}{{ - 1}}\).
- \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\)
- \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 3}}{{ - 1}} = \frac{{z - 5}}{1}\).
- \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 3}} = \frac{{z + 1}}{4}\).
Đáp án:
\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\)
Phương pháp giải:
Chuyển phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) thành phương trình chính tắc:
\(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\)
Lời giải chi tiết:
\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\)
Câu hỏi 15:
Phần thực và phần ảo của số phức \(z = \frac{{9 - 8i}}{2}\) lần lượt là
- \(\frac{9}{2}; - 4\).
- \(\frac{9}{2};4\).
- 9 ; 4.
- \(9; - 4\).
Đáp án:
\(\frac{9}{2}; - 4\).
Phương pháp giải:
\(\frac{{a + bi}}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}i\)
Lời giải chi tiết:
\(z = \frac{{9 - 8i}}{2} = \frac{9}{2} - \frac{8}{2}i = \frac{9}{2} - 4i\)
Phần thực : \(\frac{9}{2}\)
Phần ảo:-4
Câu hỏi 16:
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \((Q)\) đi qua điểm \(M(0; - 2;3)\) và nhận \(\vec n = (2;1; - 4)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
- \((Q): - 2y + 3z - 14 = 0\)
- \((Q):2x + y - 4z + 14 = 0\)
- \((Q):2x + y - 4z - 14 = 0\)
- \((Q): - 2y + 3z + 14 = 0\)
Đáp án:
\((Q):2x + y - 4z + 14 = 0\)
Phương pháp giải:
Phương trình mặt phẳng: \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}2\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y + 2} \right) - 4\left( {z - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2x + y - 4z + 14 = 0\end{array}\)
Câu hỏi 17:
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\). Tọa độ tâm I và bán kính R của (S) bằng:
- \(I\left( {0; - 1;2} \right),R = 9\)
- \(I\left( {0;1; - 2} \right),R = 9\)
- \(I\left( {0; - 1;2} \right),R = 3\)
- \(I\left( {0;1; - 2} \right),R = 3\)
Đáp án:
\(I\left( {0;1; - 2} \right),R = 3\)
Phương pháp giải:
Mặt cầu: \({\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} + {\left( {z - {z_0}} \right)^2} = {R^2}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\left( S \right):{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = {3^2}\\ = > I\left( {0;1; - 2} \right);R = 3\end{array}\)
Câu hỏi 18:
Tính thể tích V của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sin 3x\), \(y = 0,x = - \frac{\pi }{6},x = \frac{{3\pi }}{4}\) quay quanh trục Ox.
- \(\frac{\pi }{{12}} - \frac{{11{\pi ^2}}}{{24}}\).
- \( - \frac{\pi }{{12}} + \frac{{11\pi }}{{24}}\).
- \( - \frac{1}{{12}} - \frac{{11{\pi ^2}}}{{24}}\).
- \( - \frac{\pi }{{12}} + \frac{{11{\pi ^2}}}{{24}}\).
Đáp án:
\( - \frac{\pi }{{12}} + \frac{{11{\pi ^2}}}{{24}}\).
Phương pháp giải:
\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_{\frac{{ - \pi }}{6}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {{{\sin }^2}3xdx} = \pi .\int\limits_{\frac{{ - \pi }}{6}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {\frac{{1 - cox6x}}{2}dx} \\ = \pi \left. {\left( {\frac{x}{2} - \frac{{\sin 6x}}{2}} \right)} \right|_{\frac{{ - \pi }}{6}}^{\frac{{3\pi }}{4}} = \frac{{ - \pi }}{{12}} + \frac{{11{\pi ^2}}}{{24}}\end{array}\)
Câu hỏi 19:
Tính \(\int {\left( {\sin x + \frac{1}{x}} \right)dx} \), kết quả là
- \(\cos x + \ln |x| + C\).
- \( - \cos x + \ln |x| + C\).
- \( - \cos x - \frac{1}{{{x^2}}} + C\).
- \( - \cos x + \ln x + C\)
Đáp án:
\( - \cos x + \ln |x| + C\).
Phương pháp giải:
\(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} \)\( = \int {f\left( x \right)dx} + \int {g\left( x \right)dx} \)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\int {\left( {\sin x + \frac{1}{x}} \right)dx} = \int {\sin xdx} + \int {\frac{{dx}}{x}} \\ = - \cos x + \ln \left| x \right| + C\end{array}\)
Câu hỏi 20:
Cho số phức \({z_1} = 4 - 7i,{z_2} = - 3 + 5i\). Khi đó phần ảo của số phức \(z = 5{z_1} - 2{z_2}\) là:
- \( - 45i\)
- 30i
- \( - 45\).
- 30
Đáp án:
\( - 45\).
Phương pháp giải:
\(\left( {a + bi} \right) + \left( {c + di} \right)\)\( = \left( {a + c} \right) + \left( {b + d} \right)i\)
\(k.\left( {a + bi} \right) = ka + kb.i\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}z = 5{z_1} - 2{z_2}\\ = 5.\left( {4 - 7i} \right) - 2.\left( { - 3 + 5i} \right)\\ = 26 - 45i\end{array}\)
Phần ảo là -45.
Câu hỏi 21:
Tính \(\int {(x + 1)} \sin xdx\), kết quả là
- \((x + 1)\cos x + \sin x + C\)
- \( - (x + 1)\sin x + \cos x + C\)
- \( - (x + 1)\cos x + \sin x + C\)
- \( - (x + 1)\cos x - \sin x + C\)
Đáp án:
\( - (x + 1)\cos x + \sin x + C\)
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần. \(u = x + 1\)
\(\int {\cos xdx} = \sin x + C\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\int {(x + 1)} \sin xdx = - \int {(x + 1)} d\left( {\cos x} \right)\\ = - \left( {x + 1} \right)\cos x + \int {\cos xdx} \\ = - \left( {x + 1} \right)\cos x + \sin x + C\end{array}\)
Câu hỏi 22:
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A(2;0;0),B(0; - 3;0)\) và \(C(0;0;4)\). Mặt phẳng (ABC) có phương trình là
- \(6x - 4y + 3z + 12 = 0\).
- \(6x - 4y + 3z = 0\).
- \(6x + 4y + 3z - 12 = 0\).
- \(6x - 4y + 3z - 12 = 0\).
Đáp án:
\(6x - 4y + 3z - 12 = 0\).
Phương pháp giải:
Phương trình mặt phẳng chính tắc qua 3 điểm \(A\left( {{x_A};0;0} \right),B\left( {0;{y_B};0} \right),C\left( {0;0;{z_C}} \right)\): \(\frac{x}{{{x_A}}} + \frac{y}{{{y_B}}} + \frac{z}{{{z_C}}} = 1\)
Lời giải chi tiết:
\(\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - 3}} + \frac{z}{4} = 1\)\( \Leftrightarrow 6x - 4y + 3z - 12 = 0\)
Câu hỏi 23:
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 2}}{{2m + 1}} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}};\)\(\left( {m \ne - \frac{1}{2}} \right)\) và mặt phẳng \((P):x - y + 2z - 3 = 0\). Giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\Delta \) song song với \((P)\).
- \(m = - 1\)
- \(m = 3\)
- \(m = 0\)
- \(m = 2\)
Đáp án:
\(m = 2\)
Phương pháp giải:
\(\left( P \right)||\Delta \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \bot \overrightarrow {{u_\Delta }} \)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\left( P \right)||\Delta \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \bot \overrightarrow {{u_\Delta }} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0\\ \Leftrightarrow 1.\left( {2m + 1} \right) - 1.1 + 2.\left( { - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow m = 2\end{array}\)
Câu hỏi 24:
Cho đồ thị hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị như hình bên dưới. Tính diện tích \(S\) phần gạch chéo.
- \(S = \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} - \int\limits_c^d {f\left( x \right)dx} + \int\limits_d^c {f\left( x \right)dx} \)
- \(S = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^d {f\left( x \right)dx} \)
- \(S = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} - \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} - \int\limits_c^d {f\left( x \right)dx} \)
- \(S = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} - \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^d {f\left( x \right)dx} \)
Đáp án:
\(S = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} - \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^d {f\left( x \right)dx} \)
Phương pháp giải:
Phần diện tích dưới trục Ox mang dấu “-”. Trên trục Ox mang dấu “+”
Lời giải chi tiết:
Từ đồ thị ta thấy,
\(\begin{array}{l}S = \int\limits_a^d {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \\ = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} - \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^d {f\left( x \right)dx} \end{array}\)
Câu hỏi 25:
Cho số phức \(z = a - 3i\). Khi đó số nghịch đảo của \(z\) có phần thực là:
- \(\frac{{a - 5}}{{{a^2} + 9}}\)
- \(\frac{a}{{{a^2} + 9}}\).
- \(\frac{3}{{{a^2} + 9}}\)
- \(\frac{a}{{{a^2} - 9}}\).
Đáp án:
\(\frac{a}{{{a^2} + 9}}\).
Phương pháp giải:
\(\frac{1}{z} = \frac{{\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\frac{1}{z} = \frac{{\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{{a + 3i}}{{{a^2} + 9}}\)
Phần thực là \(\frac{a}{{{a^2} + 9}}\)
Câu hỏi 26:
Tính môđun của số phức \(z = a - 2\sqrt 3 i\quad (a \in \mathbb{R})\).
- \(|z| = \sqrt {{a^2} + 12} \).
- \(|z| = \sqrt {{a^2} - 12} \).
- \(|z| = \sqrt {{a^2} + 18} \).
- \(|z| = \sqrt {{a^2} + 6} \).
Đáp án:
\(|z| = \sqrt {{a^2} + 12} \).
Phương pháp giải:
\(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Lời giải chi tiết:
\(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( { - 2\sqrt 3 } \right)}^2}} \)\( = \sqrt {{a^2} + 12} \)
Câu hỏi 27:
Gọi \({z_0}\) là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình \({z^2} + 6z + 13 = 0\). Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức \(1 - {z_0}\) là
- \(M(4;2)\).
- \(N( - 2;2)\).
- \(P(4; - 2)\).
- \(Q(2; - 2)\).
Đáp án:
\(P(4; - 2)\).
Phương pháp giải:
Sử dụng MT Casio tìm nghiệm phương trình.
Lời giải chi tiết:
\({z^2} + 6z + 13 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = - 3 + 2i\\z = - 3 - 2i\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {z_0} = - 3 + 2i\)\( \Rightarrow 1 - {z_0} = 4 - 2i\)
Điểm biểu diễn số phức là \(P\left( {4; - 2} \right)\)
Câu hỏi 28:
Cho số phức \(z = 3 + bi;\). Phần thực của số phức \(w = z\bar z\) là:
- \(9 - {b^2}\)
- \(9 + {b^2}\).
- \(3 + b\)
- \(3 - b\)
Đáp án:
\(9 + {b^2}\).
Phương pháp giải:
\(z.\overline z = {\left| z \right|^2}\)
Lời giải chi tiết:
\(w = z\bar z = {\left| z \right|^2} = {3^2} + {b^2} = {b^2} + 9\)
Câu hỏi 29:
Cho số phức \(z\) thỏa \(z - 2 - 2i = 1 - 6i\). Phần thực và phần ảo của số phức \(z\) lần lượt là:
- \( - 8;1\).
- 1 ; 4.
- 3 ; 8
- \(3; - 4\).
Đáp án:
\(3; - 4\).
Phương pháp giải:
Tìm z.
\(\left( {a + bi} \right) + \left( {c + di} \right) = \left( {a + c} \right) + \left( {b + d} \right)i\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}z - 2 - 2i = 1 - 6i\\ \Leftrightarrow z = 1 - 6i + 2 + 2i\\ \Leftrightarrow z = 3 - 4i\end{array}\)
Phần thực là 3, phần ảo là -4.
Câu hỏi 30:
Biết tập hợp các số phức \(z\) thỏa mãn \(|z - 6i + 8| = 25\) là một đường tròn có tâm \(I(a;b)\) và bán kính \(R\). Tính tổng \(a + b + R\) ta được kết quả
- 3 .
- 27 .
- 7.
- 23 .
Đáp án:
23 .
Phương pháp giải:
\(\left| {z - {z_0}} \right| = R\) là đường tròn tâm I (điểm biểu diễn \({z_0}\)) bán kính R.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}|z - 6i + 8| = 25\\ \Leftrightarrow \left| {z - \left( { - 8 + 6i} \right)} \right| = 25\\ \Rightarrow I\left( { - 8;6} \right);R = 25\\ \Rightarrow a + b + R\\ = - 8 + 6 + 25 = 23\end{array}\)
Câu hỏi 31:
Tính \(\int 2 \sin x\cos xdx\), kết quả là
- \( - 2\cos 2x + C\)
- \(\frac{1}{2}\cos 2x + C\)
- \(2\cos 2x + C\)
- \( - \frac{1}{2}\cos 2x + C\)
Đáp án:
\( - \frac{1}{2}\cos 2x + C\)
Phương pháp giải:
\(2\sin x\cos x = \sin 2x\)
\(\int {\sin \left( {ax + b} \right)dx} \)\( = - \frac{1}{a}.\cos \left( {ax + b} \right) + C\)
Lời giải chi tiết:
\(\int 2 \sin x\cos xdx = \int {\sin 2xdx} = - \frac{1}{2}.\cos 2x + C\)
Câu hỏi 32:
Nếu \(\int_a^d f (x)dx = 5,\int_b^d f (x)dx = 2\) với \({\rm{a}} < {\rm{d}} < {\rm{b}}\) thì \(\int_a^b f (x)dx\) bằng :
- 8
- 3
- 0
- \( - 2\)
Đáp án:
3
Phương pháp giải:
\(\int_a^b f (x)dx = \int_a^d f (x)dx - \int_b^d f (x)dx\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\int_a^b f (x)dx\\ = \int_a^d f (x)dx - \int_b^d f (x)dx\\ = 5 - 2 = 3\end{array}\)
Câu hỏi 33:
Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(f(x) = 12 - 4x\) và \(g(x) = 4\sqrt {9 - {x^2}} \). Biết \(S = a\pi + b(a,b \in \mathbb{R}).\) Tinh \(T = {a^2} + b\).
- 65 .
- 64 .
- 63 .
- 66 .
Đáp án:
63 .
Phương pháp giải:
Diện tích giới hạn bởi hai đồ thị: \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)
Đặt \(x = a\sin t\) để tính tích phân \(I = \int\limits_a^b {\sqrt {{a^2} - {x^2}} dx} \)
\({\cos ^2}t = \frac{{1 + \cos 2t}}{2}\)
Lời giải chi tiết:
Hoành độ giao điểm của 2 đồ thị là nghiệm của phương trình:
\(12 - 4x = 4\sqrt {9 - {x^2}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 0\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} = > S = \int\limits_0^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \\ = \int\limits_0^3 {\left( {4\sqrt {9 - {x^2}} + 4x - 12} \right)dx} \\ = 4\int\limits_0^3 {\sqrt {9 - {x^2}} dx} + \left. {\left( {2{x^2} - 12x} \right)} \right|_0^3\\ = 4I - 18\end{array}\)
\(I = \int\limits_0^3 {\sqrt {9 - {x^2}} dx} \)
Đặt \(x = \sin t\)
\(dx = \cos tdt\)
Đổi cận:
\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {3.\left| {\cos t} \right|.3\cos tdt} \\ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {9{{\cos }^2}tdt} \\ = \frac{9}{2}.\left. {\left( {x + \frac{1}{2}\sin 2t} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \frac{{9\pi }}{4}\\ \Rightarrow S = 9\pi - 18 \Rightarrow a = 9;b = - 18\\ \Rightarrow T = 63\end{array}\)
Câu hỏi 34:
Gọi \({z_1}\) và \({z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 10 = 0\). Tính giá trị biểu thức \(A = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}\)
- \(2\sqrt {10} \)
- \(\sqrt {10} \)
- 20
- 40
Đáp án:
20
Phương pháp giải:
\(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\)
Lời giải chi tiết:
\(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {10} \Rightarrow A = 20\)
Câu hỏi 35:
Cho số phức \(z = a + bi\) thỏa mãn \(z\left( {2 - i} \right) = 3 + 5i\). Khẳng định đúng là:
- \(a + b = 5\)
- \(a + b = 3\)
- \(a + b = \frac{{18}}{5}\)
- \(a + b = \frac{{14}}{5}\)
Đáp án:
\(a + b = \frac{{14}}{5}\)
Phương pháp giải:
Tìm z. Chia hai số phức:
\(\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{{z_1}.\overline {{z_2}} }}{{{{\left| {{z_2}} \right|}^2}}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}z = \frac{{3 + 5i}}{{2 - i}} = \frac{1}{5} + \frac{{13}}{5}i\\ \Rightarrow a = \frac{1}{5},b = \frac{{13}}{5}\end{array}\)
Câu hỏi 36:
Đối với tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \), thực hiện đổi biến số \(t = \tan x\) ta được:
- \(\int\limits_0^1 {tdt} \)
- \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {tdt} \)
- \(\int\limits_{ - 1}^0 {tdt} \)
- \( - \int\limits_0^1 {tdt} \)
Đáp án:
\(\int\limits_0^1 {tdt} \)
Phương pháp giải:
Tìm dt theo dx.
Đổi cận x sang t.
Lời giải chi tiết:
\(t = \tan x = > dt = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}\)
Đổi cận:
\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \int\limits_0^1 {tdt} \)
Câu hỏi 37:
Trong không gian Oxyz, Viết phương trình mặt cầu \((S)\) có tâm \(I( - 4;2; - 3)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \((P):2x - y - 2z + 1 = 0\).
- \((S):{(x - 4)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 1\).
- \((S):{(x - 4)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 5\).
- \((S):{(x + 4)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 5\).
- \((S):{(x + 4)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 1\).
Đáp án:
\((S):{(x + 4)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 1\).
Phương pháp giải:
\(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right)\)\( = \frac{{\left| {a.{x_0} + b.{y_0} + c.{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 1\\ = > \left( S \right):{\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 1\end{array}\)
Câu hỏi 38:
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M(2; - 2;3)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\). Mặt phẳng đi qua điểm \(M\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình là
- \(2x - 2y + 3z - 17 = 0\).
- \(2x - 2y + 3z + 17 = 0\).
- \(3x + 2y - z - 1 = 0\).
- \(3x + 2y - z + 1 = 0\).
Đáp án:
\(3x + 2y - z + 1 = 0\).
Phương pháp giải:
\(\left( P \right) \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ||\overrightarrow {{u_d}} \)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \overrightarrow {{u_d}} = \left( {3;2; - 1} \right)\\ = > \left( P \right):3x + 2y - z + 1 = 0\end{array}\)
Câu hỏi 39:
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A(1;0;1),B(1;1;0)\) và \(C(3;4; - 1)\). Đường thẳng đi qua \(A\) và song song với BC có phương trình là
- \(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{y}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\).
- \(\frac{{x + 1}}{4} = \frac{y}{5} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\).
- \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\).
- \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\)
Đáp án:
\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\)
Phương pháp giải:
Tính \(\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow u = \overrightarrow {BC} \)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow u = \overrightarrow {BC} = \left( {2;3; - 1} \right)\\ = > \frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\end{array}\)
Câu hỏi 40:
Trong không gian Oxyz, cho \({\rm{A}}(4;1; - 1),{\rm{B}}(3;2;1),{\rm{C}}(0; - 3;5)\). Để \({\rm{ABCD}}\) là hình bình hành. Tọa độ điểm \(D\) là:
- \({\rm{D}}(1; - 4;3)\)
- \({\rm{D}}( - 1;4; - 3)\)
- \({\rm{D}}( - 1; - 2;7)\)
- \({\rm{D}}(1;2; - 7)\)
Đáp án:
\({\rm{D}}(1; - 4;3)\)
Phương pháp giải:
\({\rm{ABCD}}\) là hình bình hành\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \)
Lời giải chi tiết:
\({\rm{ABCD}}\) là hình bình hành\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 = - 3\\y - 1 = - 5\\z + 1 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow D\left( {1; - 4;3} \right)\)
Câu hỏi 41:
Trong không gian Oxyz, gọi \({N^\prime }\) là điểm đối xứng của \(N(2;1; - 3)\) qua mặt phẳng \((P):4x - 5y + 2z - 42 = 0\). Tọa độ của \(N\) ' là:
- \({N^\prime }(6; - 4; - 1)\)
- \({N^\prime }( - 2; - 1;3)\)
- \({N^\prime }(10; - 9;1)\)
- \({N^\prime }(3; - 4;6)\)
Đáp án:
\({N^\prime }(10; - 9;1)\)
Phương pháp giải:
Tìm đường thẳng NN’ qua N và vuông góc với (P).
Giao điểm H của NN’ là trung điểm của NN’
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}NN':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = 1 - 5t\\z = - 3 + 2t\end{array} \right.\\H = NN' \cap \left( P \right)\\ \Rightarrow H\left( {2 + 4t;1 - 5t; - 3 + 2t} \right)\end{array}\)
\(H \in \left( P \right)\)\( = > 4.\left( {2 + 4t} \right) - 5\left( {1 - 5t} \right)\)\( + 2\left( { - 3 + 2t} \right) - 42 = 0\)
\(\begin{array}{l} = > t = 1 = > H\left( {6; - 4; - 1} \right)\\ = > N'\left( {10; - 9;1} \right)\end{array}\)
Câu hỏi 42:
Cho \({F^\prime }(x) = f(x)\), C là hằng số dương tùy ý. Khi đó \(\int f (x)dx\) bằng:
- \(F(x) + C\)
- \(F(x) - C\)
- \(F(x + C)\).
- \(F(x) + \ln C\)
Đáp án:
\(F(x) + C\)
Phương pháp giải:
\(\int {f'\left( x \right)dx} = f\left( x \right) + C\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}{F^\prime }(x) = f(x)\\ = > \int {f\left( x \right)dx} = \int {{F^\prime }(x)dx} = F\left( x \right) + C\end{array}\)
Câu hỏi 43:
Cho số phức z thỏa \(|z - 6 + 8i| = 4\) Tìm giá trị lớn nhất của \(P = |z|\) là:
- 14
- 6
- 26
- -6
Đáp án:
14
Phương pháp giải:
Sử dụng bất đẳng thức: \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \ge \left| {{z_1}} \right| - \left| {{z_2}} \right|\)
Lời giải chi tiết:
\(\left| {z - 6 + 8i} \right| \ge \left| z \right| - \left| { - 6 + 8i} \right|\)\( = \left| z \right| - 10\)
\(\begin{array}{l} = > \left| z \right| - 10 \le 4 \Leftrightarrow \left| z \right|\\ = > \max P = 14\end{array}\)
Câu hỏi 44:
Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( {2;1; - 1} \right),B\left( {3;0;1} \right),\)\(C\left( {2; - 1;3} \right)\), điểm D thuộc Oy và thể tích khối tứ diện ABCD bằng 5. Tọa độ điểm D là:
- \(\left( {0; - 7;0} \right)\) hoặc \(\left( {0;8;0} \right)\)
- \(\left( {0;7;0} \right)\) hoặc \(\left( {0; - 8;0} \right)\)
- \(\left( {0;8;0} \right)\)
- \(\left( {0; - 7;0} \right)\)
Đáp án:
\(\left( {0; - 7;0} \right)\) hoặc \(\left( {0;8;0} \right)\)
Phương pháp giải:
\(V = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {AD} .\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\)
Lời giải chi tiết:
\(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 2;4} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0; - 4; - 2} \right)\)
\(D \in Oy \Rightarrow D\left( {0;y;0} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \left( { - 2;y - 1;1} \right)\)
\(\begin{array}{l}V = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {AD} .\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = 5\\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {AD} .\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = 30\end{array}\)
Nếu \(\overrightarrow {AD} .\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = 30\) thì
\(\begin{array}{l}\left( { - 2} \right).0 + \left( {y - 1} \right).\left( { - 4} \right) + 1.\left( { - 2} \right) = 30\\ \Leftrightarrow y = - 7 = > D\left( {0; - 7;0} \right)\end{array}\)
Nếu \(\overrightarrow {AD} .\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = - 30\) thì
\(\begin{array}{l}\left( { - 2} \right).0 + \left( {y - 1} \right).\left( { - 4} \right) + 1.\left( { - 2} \right) = - 30\\ \Leftrightarrow y = 8 \Rightarrow D\left( {0;8;0} \right)\end{array}\)
Câu hỏi 45:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {3; - 2;5} \right),B\left( {0;1;0} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\). Mặt phằng \(\left( P \right):ax + by + cz - 2 = 0\) đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T=a+b+c.
- T=4
- T=2
- T=3
- T=5
Đáp án:
T=3
Phương pháp giải:
Thay tọa độ A, B vào phương trình (P). Tìm b và mối liên hệ giữa a và c.
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:
\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}A,B \in \left( P \right)\\ = > \left\{ \begin{array}{l}3a - 2b + 6c - 2 = 0\\b - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2 - 2c\\b = 2\end{array} \right.\end{array}\)
(P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn bán kính nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I của (S) tới (P) lớn nhất, tức là \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = d\left( {I,AB} \right)\).
\(\begin{array}{l}d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {c + 4} \right|}}{{\sqrt {{c^2} + {{\left( {2 - 2c} \right)}^2} + 4} }}\\ = d\left( {I,AB} \right) = \sqrt 5 \\ \Leftrightarrow {\left( {c + 4} \right)^2} = 5\left( {5{c^2} - 8c + 8} \right)\\ \Leftrightarrow c = 1 \Rightarrow a = 0 = > T = 3\end{array}\)
Câu hỏi 46:
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 3t}\\{y = 1 + 4t}\\{z = 1}\end{array}} \right.\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua \(A(1;1;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = (1; - 2;2)\). Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi \(d\) và \(\Delta \) có phương trình là
- \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 7t}\\{y = 1 + t}\\{z = 1 + 5t}\end{array}} \right.\)
- \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\\{y = - 10 + 11t}\\{z = - 6 - 5t}\end{array}} \right.\)
- \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\\{y = - 10 + 11t}\\{z = 6 - 5t}\end{array}} \right.\)
- \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 3t}\\{y = 1 + 4t}\\{z = 1 - 5t}\end{array}} \right.\)
Đáp án:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\\{y = - 10 + 11t}\\{z = 6 - 5t}\end{array}} \right.\)
Phương pháp giải:
Đường phân giác của 2 đường thẳng \({d_1},{d_2}\) có vtcp là:
\(\overrightarrow u = \frac{{\overrightarrow {{u_1}} }}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|}} + \frac{{\overrightarrow {{u_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3;4;0} \right);\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1; - 2;2} \right)\)
\(\overrightarrow u = \frac{{\overrightarrow {{u_d}} }}{5} + \frac{{\overrightarrow {{u_\Delta }} }}{3} = \left( {\frac{4}{{15}};\frac{{22}}{{15}};\frac{{ - 2}}{3}} \right)\)
Chọn vecto chỉ phương cho đường phân giác là \(\left( {2;11; - 5} \right)\).
Ta thấy điểm A thuộc cả 2 đường thẳng nên thuộc đường phân giác, tức là:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 + 11t\\z = - 5t\end{array} \right.\)
Đặt \(t = t' - 1\), khi đó ta có đường phân giác: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\\{y = - 10 + 11t}\\{z = 6 - 5t}\end{array}} \right.\)
Câu hỏi 47:
Cho số phức \(z\) thỏa \(2z + \bar z = (5 - 2i) \cdot (1 - i)\). Modun của số phức \(z\) là:
- 7 .
- 49 .
- \(5\sqrt 2 \).
- \(2\sqrt 5 \).
Đáp án:
\(5\sqrt 2 \).
Phương pháp giải:
Đặt \(z = a + bi\) thay vào phương trình tìm z.
Lời giải chi tiết:
Đặt \(z = a + bi\)
\(\begin{array}{l}2z + \bar z = (5 - 2i) \cdot (1 - i)\\ \Leftrightarrow 2\left( {a + bi} \right) + a - bi = 3 - 7i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 7\end{array} \right. \Rightarrow \left| z \right| = 5\sqrt 2 \end{array}\)
Câu hỏi 48:
Cho \(\int_0^1 {\frac{{{x^2} - 3}}{{{x^2} + 3x + 2}}} dx = a + b\ln 2 + c\ln 3\), với \({\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}}\) là các số nguyên. Giá trị của \(a + b + c\) bằng
- \( - 1\)
- 2
- 1
- \( - 2\)
Đáp án:
\( - 1\)
Phương pháp giải:
Chia đa thức tử cho đa thức mẫu.
Đưa phân thức bậc nhất trên bậc hai về dạng \(\frac{A}{{x - {x_1}}} + \frac{B}{{x - {x_2}}}\) với \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của mẫu.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\int_0^1 {\frac{{{x^2} - 3}}{{{x^2} + 3x + 2}}} dx\\ = \int_0^1 {\left[ {1 + \frac{{ - 3x - 5}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right]} dx\\ = 1 - \int_0^1 {\left[ {\frac{{2\left( {x + 2} \right) + \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right]} dx\\ = 1 - \int\limits_0^1 {\left( {\frac{2}{{x + 1}} + \frac{1}{{x + 2}}} \right)dx} \\ = 1 - \ln 2 - \ln 3\\ \Rightarrow a = 1,b = - 1,c = - 1\\ = > a + b + c = - 1\end{array}\)
Câu hỏi 49:
Hãy chỉ ra kết quả đúng trong việc khử giá trị tuyệt đối của tích phân sau đây:
- \(\int_0^{2\pi } | \sin x|dx = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin } xdx - \int_{\frac{\pi }{2}}^{2\pi } {\sin } xdx\).
- \(\int_0^{2\pi } | \sin x|dx = \int_0^2 {\sin } xdx - \int_\pi ^{2\pi } {\sin } xdx\).
- \(\int_0^{2\pi } | \sin x|dx = - \int_0^\pi {\sin } xdx + \int_\pi ^{2\pi } {\sin } xdx\).
- \(\int_0^{2\pi } | \sin x|dx = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin } xdx + \int_{\frac{\pi }{2}}^{2\pi } {\sin } xdx\).
Đáp án:
\(\int_0^{2\pi } | \sin x|dx = \int_0^2 {\sin } xdx - \int_\pi ^{2\pi } {\sin } xdx\).
Phương pháp giải:
\(\left| {\sin x} \right| = \sin x\) khi \(x \in \left( {0;\pi } \right)\)
\(\left| {\sin x} \right| = - \sin x\) khi \(x \in \left( {\pi ;2\pi } \right)\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\int_0^{2\pi } | \sin x|dx\\ = \int_0^\pi {\left| {\sin x} \right|} dx + \int_\pi ^{2\pi } {\left| {\sin x} \right|} dx\\ = \int_0^\pi {\sin } xdx - \int_\pi ^{2\pi } {\sin } xdx\end{array}\)
Câu hỏi 50:
Khí cầu là một túi đựng không khí nóng hay các chất khí trong trường hợp dùng khí heli thì còn được gọi là khinh khí cầu, thường có khối lượng riêng nhỏ hơn không khí xung quanh và nhờ vào lực đẩy Ác-si-mét có thể bay lên cao trong khí quyển. Ngày nay khí cầu vẫn còn được sử dụng để chở khách du lịch hoặc vận chuyển hàng hóa vì chi phí rẻ. Giả sử mặt cắt theo chiều thẳng đứng của một khí cầu có dạng như hình bên phải. Biết cung AmB là nửa đường tròn đường kính 8 m và ABCD là hình thang cân có chiều cao 8m và \(CD = 2m\) Gọi \(V\) là thể tích khí của khối kinh khí cầu đó. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
- \(V \in \left( {305;315} \right)\)
- \(V \in \left( {315;325} \right)\)
- \(V \in \left( {325;335} \right)\)
- \(V \in \left( {335;345} \right)\)
Đáp án:
\(V \in \left( {305;315} \right)\)
Phương pháp giải:
Thể mặt cầu: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\)
Tọa độ hóa các điểm trên ABCD tính hình.
Lập hàm số của BC: x(y).
Sử dụng công thức tính thể tích quay xung quanh trục Oy:
\(V = \pi \int\limits_a^b {{x^2}\left( y \right)dy} \)
Lời giải chi tiết:
Thể nửa mặt cầu: \({V_c} = \frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi {.4^3} = \frac{{128\pi }}{3}\)
Điểm \(E\left( {0;0} \right)\), tia EB là Ox.
Khi đó B(4;0), C(1;-8)
\(\overrightarrow {BC} = \left( { - 3; - 8} \right)\). Đường thẳng BC:
\(\begin{array}{l}8\left( {x - 4} \right) - 3y = 0\\ \Leftrightarrow 8x - 3y - 24 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( y \right) = \frac{{3y}}{8} + 4\end{array}\)
Thể tích của hình nón cụt tạo bởi EFCB quanh trục Oy là:
\({V_{NC}} = \pi \int\limits_{ - 8}^0 {{x^2}\left( y \right)dy} \)\( = \pi \int\limits_{ - 8}^0 {{{\left( {\frac{{3y}}{8} + 4} \right)}^2}dy} = 56\pi \)
=> \(V = \frac{{128\pi }}{3} + 56\pi \)\( = \frac{{296\pi }}{3} \in \left( {305;315} \right)\)
