Đề bài
Tìm a và b để các cực trị của hàm số
y=53a2x3+2ax2−9x+b
đều là những số dương và x0=−59 là điểm cực đại.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Hàm số đã cho đạt cực đại tại x0 ⇔{y′(x0)=0y″, từ đó tìm a.
- Thay a vừa tìm được ở trên vào hàm số.
Tìm b dựa vào điều kiện: Hàm số đã cho có các cực trị đều dương \Leftrightarrow {y_{CT}} > 0.
Lời giải chi tiết
Ta có: y' = 5{a^2}{x^2} + 4ax - 9, y'' = 10{a^2}x + 4a.
Hàm số đã cho đạt cực đại tại {x_0} = - \dfrac{5}{9} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) = 0\\y''\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{a^2}.{\left( { - \dfrac{5}{9}} \right)^2} + 4a.\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) - 9 = 0\\10{a^2}.\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) + 4a < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{125{a^2}}}{{81}} - \dfrac{{20a}}{9} - 9 = 0\\ - \dfrac{{50{a^2}}}{9} + 4a < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{81}}{{25}},a = - \dfrac{9}{5}\\a < 0 \ {hoặc}\ a > \dfrac{{18}}{{25}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{{81}}{{25}}\\a = - \dfrac{9}{5}\end{array} \right.
Ta có: y' = 5{a^2}{x^2} + 4ax - 9 có \Delta ' = 49{a^2} > 0 với a \ne 0 nên phương trình y' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt{x_1} = \dfrac{1}{a},{x_2} = - \dfrac{9}{{5a}}.
Hàm số đã cho có các cực trị đều dương \Leftrightarrow {y_{CT}} > 0.
Với a = \dfrac{{81}}{{25}} thì {x_1} = \dfrac{{25}}{{81}},{x_2} = - \dfrac{5}{9}.
Do đó {y_{CT}} = y\left( {\dfrac{{25}}{{81}}} \right) = \dfrac{5}{3}.{\left( {\dfrac{{81}}{{25}}} \right)^2}.{\left( {\dfrac{{25}}{{81}}} \right)^3} + 2.\dfrac{{81}}{{25}}.{\left( {\dfrac{{25}}{{81}}} \right)^2} - 9.\dfrac{{25}}{{81}} + b > 0
\Leftrightarrow b > \dfrac{{400}}{{243}}
Với a = - \dfrac{9}{5} thì {x_1} = - \dfrac{5}{9},{x_2} = 1.
Do đó {y_{CT}} = y\left( 1 \right) = \dfrac{5}{3}.{\left( { - \dfrac{9}{5}} \right)^2}{.1^3} + 2.\left( { - \dfrac{9}{5}} \right){.1^2} - 9.1 + b > 0
\Leftrightarrow b > \dfrac{{36}}{5}.
Vậy các giá trị a, b cần tìm là: \left\{\begin{matrix} a=-\dfrac{9}{5} & \\ b>\dfrac{36}{5} & \end{matrix}\right. hoặc \left\{\begin{matrix} a=\dfrac{81}{25} & \\ b>\dfrac{400}{243} & \end{matrix}\right..
