Bài 11 trang 147 SGK Giải tích 12

149 lượt xem

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính các tích phân sau bằng phương pháp tính tích phân từng phần

LG a

a) $\int_1^{{e^4}} {\sqrt x } \ln xdx$

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để tính tích phân.

+) Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân.

+) Sử dụng công thức tích phân từng phần: $\int\limits_a^b {u\left( x \right)dv\left( x \right)} = \left. {u\left( x \right).v\left( x \right)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v\left( x \right)du\left( x \right).}$

Lời giải chi tiết:

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = \sqrt x dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = \dfrac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}\end{array} \right..$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_1^{{e^4}} {\sqrt x \ln xdx} = \left. {\dfrac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}\ln x} \right|_1^{{e^4}} - \int\limits_1^{{e^4}} {\dfrac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}.\dfrac{1}{x}dx} \\ = \dfrac{8}{3}{e^6} - \int\limits_1^{{e^4}} {\dfrac{2}{3}{x^{\frac{1}{2}}}dx} = \dfrac{8}{3}{e^6} - \left. {\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}} \right|_1^{{e^4}}\\ = \dfrac{8}{3}{e^6} - \dfrac{4}{9}{e^6} + \dfrac{4}{9}= \dfrac{20}{9}{e^6}+ \dfrac{4}{9}. \end{array}$

LG b

b) $\displaystyle \int_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {{{xdx} \over {{{\sin }^2}x}}}$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\eqalign{ & \int_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {{{xdx} \over {{{\sin }^2}x}}} = \int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {xd( - \cot x) = - x\cot x\left| {_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}}} \right.} + \int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {\cot xdx} \cr & = {{\pi \sqrt 3 } \over 6} + \int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {{{d\sin x} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}} = {{\pi \sqrt 3 } \over 6} + \ln |sinx|\left| {_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}}} \right. = {{\pi \sqrt 3 } \over 6} + \ln 2 \cr}$

Cách trình bày khác:

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \cot x\end{array} \right.$

Khi đó $I = \left. { - x\cot x} \right|_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{2}} + \int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\cot xdx}$ $= \dfrac{\pi }{6}.\sqrt 3 + \int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}dx}$

Đặt $\sin x = t \Rightarrow dt = \cos xdx$

Đổi cận $x = \dfrac{\pi }{6} \Rightarrow t = \dfrac{1}{2},$ $x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1$

$\Rightarrow I = \dfrac{\pi }{6}.\sqrt 3 + \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {\dfrac{{dt}}{t}}$ $= \sqrt 3 .\dfrac{\pi }{6} + \left. {\ln \left| t \right|} \right|_{\dfrac{1}{2}}^1 = \sqrt 3 .\dfrac{\pi }{6} - \ln \dfrac{1}{2}$ $= \dfrac{{\sqrt 3 \pi }}{6} + \ln 2$

LG c

c) $\int_0^\pi {(\pi - x)\sin {\rm{x}}dx}$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\eqalign{ & \int_0^\pi {(\pi - x)\sin {\rm{x}}dx} = \int\limits_0^\pi {(\pi - x)d( - {\mathop{\rm cosx}\nolimits} )} \cr & = - (\pi - x)cosx\left| {_0^\pi } \right. + \int\limits_0^\pi {{\mathop{\rm cosxd}\nolimits} (\pi - x) = \pi - s{\rm{inx}}\left| {_0^\pi } \right.} = \pi \cr}$

Cách trình bày khác:

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \pi - x\\dv = \sin xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = - dx\\v = - \cos x\end{array} \right.$

$\Rightarrow I = \left. { - \left( {\pi - x} \right)\cos x} \right|_0^\pi - \int\limits_0^\pi {\cos xdx}$ $= \pi - \left. {\sin x} \right|_0^\pi = \pi + 0 - 0 = \pi$

LG d

d) $\int_{ - 1}^0 {(2x + 3){e^{ - x}}} dx$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\eqalign{ & \int_{ - 1}^0 {(2x + 3){e^{ - x}}} dx = \int\limits_{ - 1}^0 {(2x + 3)d( - {e^{ - x}}} ) \cr & = (2x + 3){e^{ - x}}\left| {_0^{ - 1}} \right. + \int\limits_{ - 1}^e {{e^{ - x}}} .2dx = e - 3 + 2{e^{ - x}}\left| {_0^1} \right. = 3e - 5 \cr}$

Cách trình bày khác:

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = 2x + 3\\dv = {e^{ - x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2dx\\v = - {e^{ - x}}\end{array} \right.$

$\Rightarrow I = \left. { - \left( {2x + 3} \right){e^{ - x}}} \right|_{ - 1}^0 + 2\int\limits_{ - 1}^0 {{e^{ - x}}dx}$ $= - 3 + e - \left. {2{e^{ - x}}} \right|_{ - 1}^0$ $= - 3 + e - 2 + 2e = 3e - 5$

SGK Toán lớp 12