Video hướng dẫn giải
Tính:
LG a
a) \(\displaystyle\int_0^{{\pi \over 2}} {\cos 2x\sin ^2} xdx\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức hạ bậc đưa về tích phân các hàm lượng giác cơ bản.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\displaystyle \int_0^{{\pi \over 2}} {\cos 2x\sin ^2} xdx \)
\(\displaystyle = {1 \over 2}\int_0^{{\pi \over 2}} {\cos 2x(1 - \cos 2x)dx}\)
\( = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos 2x - {{\cos }^2}2x} \right)dx} \)
\(\displaystyle = {1 \over 2}\int_0^{{\pi \over 2}} {\left[ {\cos 2x - {{1 + \cos 4x} \over 2}} \right]} dx\)
\(\displaystyle = {1 \over 4}\int_0^{{\pi \over 2}} {(2\cos 2x - \cos 4x - 1)dx} \)
\(\displaystyle = {1 \over 4}\left[ {\sin 2x - {{\sin 4x} \over 4} - x} \right]_0^{{\pi \over 2}} \displaystyle = {1 \over 4}.(-{\pi \over 2}) \)
\(\displaystyle = {{ - \pi } \over 8} \)
LG b
b) \(\displaystyle\int_{ - 1}^1 {|{2^x}} - {2^{ - x}}|dx\)
Phương pháp giải:
Xét dấu, phá dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân.
Lời giải chi tiết:
Ta có: Xét \({2^x}-{2^{ - x}} ≥ 0 ⇔ x ≥ 0\).
Ta tách thành tổng của hai tích phân:
\(\displaystyle \int_{ - 1}^1 {|{2^x}} - {2^{ - x}}|dx \)
\( = \displaystyle \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{2^x} - {2^{ - x}}} \right|dx} + \displaystyle \int\limits_0^1 {\left| {{2^x} - {2^{ - x}}} \right|dx} \)
\(= - \displaystyle \int_{ - 1}^0 ( {2^x} - {2^{ - x}})dx \) \(+ \displaystyle \int_0^1 ( {2^x} - {2^{ - x}})dx\)
\( = - \left. {\left( {\dfrac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + \dfrac{{{2^{ - x}}}}{{\ln 2}}} \right)\,} \right|_{ - 1}^0 + \left. {\left( {\dfrac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + \dfrac{{{2^{ - x}}}}{{\ln 2}}} \right)\,} \right|_0^1\)
\(\begin{array}{l}
= \left( {\dfrac{{ - 2}}{{\ln 2}} + \dfrac{5}{{2\ln 2}}} \right) + \left( {\dfrac{5}{{2\ln 2}} + \dfrac{{ - 2}}{{\ln 2}}} \right)\\
= \dfrac{{ - 4}}{{\ln 2}} + \dfrac{5}{{\ln 2}}
\end{array}\)
\(\displaystyle = {1 \over {\ln 2}} \)
LG c
c) \(\displaystyle\int_1^2 {{{(x + 1)(x + 2)(x + 3)} \over {{x^2}}}} dx\)
Phương pháp giải:
Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân về các hàm đa thức, phân thức cơ bản và tính tích phân.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\displaystyle \int_1^2 {{{(x + 1)(x + 2)(x + 3)} \over {{x^2}}}} dx \) \(\displaystyle = \int_1^2 {{{{x^3} + 6{x^2} + 11x + 6} \over {{x^2}}}dx} \)
\( \displaystyle = \int\limits_1^2 {\left( {x + 6 + \frac{{11}}{x} + \frac{6}{{{x^2}}}} \right)} \,dx\)
\(\displaystyle = \left[ {{{{x^2}} \over 2} + 6x + 11\ln |x| - {6 \over x}} \right]\left| {_1^2} \right. \)
\( \displaystyle = (2 + 12 + 11\ln 2 - 3) - ({1 \over 2} + 6 - 6) \)
\(\displaystyle = {{21} \over 2} + 11\ln 2 \)
LG d
d) \(\displaystyle\int_0^2 {{1 \over {{x^2} - 2x - 3}}} dx\)
Phương pháp giải:
Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân về dạng tổng, hiệu hai phân thức đơn giản đã biết cách tính tích phân.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\displaystyle \int\limits_0^2 {\dfrac{1}{{{x^2} - 2x - 3}}dx \\= \displaystyle \int\limits_0^2 {\dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}dx} } \\= \displaystyle \int\limits_0^2 {\dfrac{{\left( {x + 1} \right) - \left( {x - 3} \right)}}{{4\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}dx} \\= \dfrac{1}{4}\displaystyle \int\limits_0^2 {\left[ {\dfrac{{x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} - \dfrac{{x - 3}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}} \right]dx}
\\= \dfrac{1}{4}\displaystyle \int\limits_0^2 {\left( {\dfrac{1}{{x - 3}} - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\
= \left. {\dfrac{1}{4}\left[ {\ln \left| {x - 3} \right| - \ln \left| {x + 1} \right|} \right]} \right|_0^2\\
= \dfrac{1}{4}\left[ { - \ln 3 - \ln 3} \right] = - \dfrac{1}{2}\ln 3.
\end{array}\)
LG e
e) \(\displaystyle\int_0^{{\pi \over 2}} {{{({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + {\mathop{\rm cosx}\nolimits} )}^2}dx} \)
Phương pháp giải:
Thu gọn biểu thức \( (\sin x+\cos x)^2\) đưa về các hàm số lượng giác cơ bản.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& \int_0^{{\pi \over 2}} {{{({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + {\mathop{\cos x}\nolimits} )}^2}dx} \cr &= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {{{\sin }^2}x + 2\sin x\cos x + {{\cos }^2}x} \right)dx} \cr &= \int_0^{{\pi \over 2}} {(1 + \sin 2x)dx} \cr
& = \left[ {x - {{\cos 2x} \over 2}} \right]\left| {_0^{{\pi \over 2}}} \right. = {\pi \over 2} + 1. \cr} \)
LG g
g) \(\displaystyle\int_0^\pi {{{(x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}})}^2}} dx\)
Phương pháp giải:
Khai triển biểu thức dưới dấu tích phân, kết hợp với công thức hạ bậc, phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\displaystyle \int\limits_0^\pi {{{\left( {x + \sin x} \right)}^2}dx} \\
= \displaystyle \int\limits_0^\pi {\left( {{x^2} + 2x\sin x + {{\sin }^2}x} \right)dx} \\
= \displaystyle \int\limits_0^\pi {{x^2}dx} + 2\displaystyle \int\limits_0^\pi {x\sin xdx} + \displaystyle \int\limits_0^\pi {{{\sin }^2}xdx} \\
= I + 2J + K
\end{array}\)
Tính \(I = \displaystyle \int\limits_0^\pi {{x^2}dx} = \left. {\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^\pi = \dfrac{{{\pi ^3}}}{3}\)
Tính :\(J = \int_0^\pi {x\sin xdx} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = \sin xdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = - \cos x
\end{array} \right.\)
Suy ra:
\(J = \left[ { - x{\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \right]\left| {_0^\pi } \right. + \displaystyle \int_0^\pi {{\mathop{\rm cosxdx}\nolimits} = \pi + \left[ {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right]} \left| {_0^\pi } \right. = \pi \)
Tính K:
\(\begin{array}{l}
K = \displaystyle \int\limits_0^\pi {{{\sin }^2}xdx} \\
= \displaystyle \int\limits_0^\pi {\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}dx} \\
= \dfrac{1}{2}\displaystyle \int\limits_0^\pi {\left( {1 - \cos 2x} \right)dx} \\
= \dfrac{1}{2}\left. {\left( {x - \dfrac{{\sin 2x}}{2}} \right)} \right|_0^\pi \\
= \dfrac{\pi }{2}
\end{array}\)
Do đó:
\(\eqalign{
& I = {{{\pi ^3}} \over 3} + 2\pi + {\pi \over 2} = \dfrac{{{\pi ^3}}}{3} + \dfrac{{5\pi }}{2} \cr} \)
