1. Định nghĩa
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm x0∈(a;b).
- Nếu tồn tại số h>0 sao cho f(x)<f(x0),∀x∈(x0−h;x0+h),x≠x0 thì ta nói hàm số f đạt cực đại tại x0.
- Nếu tồn tại số h>0 sao cho f(x)>f(x0),∀x∈(x0−h;x0+h),x≠x0 thì ta nói hàm số f đạt cực tiểu tại x0.
Chú ý:
a) Cần phân biệt các các khái niệm:
- Điểm cực trị x0 của hàm số.
- Giá trị cực trị của hàm số.
- Điểm cực trị (x0;y0) của đồ thị hàm số.
b) Nếu y=f(x) có đạo hàm trên (a;b) và đạt cực trị tại x0∈(a;b) thì f′(x0)=0.
2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Định lí 1. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng K=(x0−h;x0+h)(h>0) và có đạo hàm trên K hoặc trên K∖{x0}
+) Nếu {f′(x)>0|∀(x0−h;x0)f′(x)<0|∀(x0;x0+h) thì x0 là điểm cực đại của hàm số
+) Nếu {f′(x)<0|∀(x0−h;x0)f′(x)>0|∀(x0;x0+h) thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số
Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm không xác định.
Giả sử y=f(x) có đạo hàm cấp 2 trong (x0−h;x0+h)(h>0).
a) Nếu {f′(x0)=0f″ thì {x_0} là một điểm cực tiểu của hàm số.
b) Nếu \left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right. thì {x_0} là một điểm cực đại của hàm số.
3. Quy tắc tìm cực trị của hàm số
Phương pháp:
Có thể tìm cực trị của hàm số bởi một trong hai quy tắc sau:
- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
- Bước 2: Tính f'\left( x \right), tìm các điểm tại đó f'\left( x \right) = 0 hoặc không xác định.
- Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận.
+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.
+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì đó là điểm cực đại của hàm số.
- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
- Bước 2: Tính f'\left( x \right), giải phương trình f'\left( x \right) = 0 và kí hiệu {x_1},...,{x_n} là các nghiệm của nó.
- Bước 3: Tính f''\left( x \right) và f''\left( {{x_i}} \right).
- Bước 4: Dựa và dấu của f''\left( {{x_i}} \right) suy ra điểm cực đại, cực tiểu:
+ Tại các điểm {x_i} mà f''\left( {{x_i}} \right) > 0 thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.
+ Tại các điểm {x_i} mà f''\left( {{x_i}} \right) < 0 thì đó là điểm cực đại của hàm số.
