Video hướng dẫn giải
Trong không gian OxyzOxyz, cho hai điểm A(1;2;−1),B(7;−2;3)A(1;2;−1),B(7;−2;3) và đường thẳng dd có phương trình: {x=−1+3ty=2−2tz=2+2t.
LG a
Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB cùng nằm trong một mặt phẳng.
Phương pháp giải:
Chứng minh AB // d. Suy ra AB và d cùng thuộc một mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương →AB=(6;−4;4)
Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương →a=(3;−2;2)
⇒ →AB=2→a và A∉(d)
⇒AB và (d) song song với nhau.
⇒ Hai đường thẳng (d) và AB cùng thuộc một mặt phẳng.
LG b
Tìm điểm I trên d sao cho AI+BI nhỏ nhất.
Phương pháp giải:
Gọi A' là điểm đối xứng với A qua d, khi đó ta có IA = IA' ⇒IA+IB=IA′+IB≥A′B.
Dấu bằng xảy ra ⇔I=d∩A′B.
Lời giải chi tiết:
Gọi A′ là điểm đối xứng của điểm A qua phép đối xứng qua đường thẳng d thì điểm I cần tìm là giao điểm của đường thẳng A′B và đường thẳng d.
Trong câu a) ta chứng minh được AB//d, từ đó suy ra I chính là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Gọi M là trung điểm của AB thì M(4;0;1).
Phương trình mặt phẳng trung trực của AB:
3(x−4)−2(y−0)+2(z−1)=0 ⇒3x−2y+2z−14=0
Phương trình tham số của (d):{x=−1+3ty=2−2tz=2+2t
Giá trị tham số ứng với giao điểm Icủa (d) và mặt phẳng trung trực của AB là nghiệm của phương trình:
3(−1+3t)−2(2−2t)+2(2+2t)−14=0 ⇒t=1
Từ đây ta được I(2;0;4)
Cách khác:
Gọi M là trung điểm của AB, H là giao điểm của AA’ với d.
IH//AB, H là trung điểm AA’ nên I là trung điểm A’B.
Mà M là trung điểm AB nên MI là đường trung bình của tam giác AA’B.
⇒MI//AA′, mà AA′⊥d⇒MI⊥d.
Ta có: M(4;0;1), I(−1+3t;2−2t;2+2t)
⇒→MI=(−5+3t;2−2t;1+2t)
→ud=(3;−2;2)
MI⊥d⇒→MI.→ud=0 ⇔3(−5+3t)−2(2−2t)+2(1+2t)=0
⇔−15+9t−4+4t+2+4t=0
⇔−17+17t=0⇔t=1⇒I(2;0;4)
