Đề bài
Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Gọi AH là đường cao hạ từ đỉnh A của tứ diện đều ABCD (H∈(BCD)).
+) Do tứ diện ABCD đều, chứng minh H là trọng tâm tam giác ABC.
+) Sử dụng định lí Pytago tính độ dài AH.
+) Áp dụng công thức tính thể tích: VABCD=13AH.SBCD.
Lời giải chi tiết
Cho tứ diện đều ABCD. Hạ AH⊥(BCD)
Dễ dàng chứng minh được ΔvAHB=ΔvAHC=ΔvAHD(ch−cgv) ⇒HB=HC=HD, do đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
Do BCD là tam giác đều nên H là trọng tâm của tam giác BCD.
Gọi M là trung điểm CD thì BM vừa là trung tuyến vừa là đường cao trong tam giác.
Ta có: BM=BDsin600=a√32
Do đó BH=23BM=23.√32a=√33a
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông ABH ta có: AH2=AB2−BH2=a2−a23=2a23 ⇒AH=a√63
Do tam giác BCD đều cạnh a nên: SBCD=a2√34
Vậy VABCD=13AH.SBCD =13.a√63.a2√34 =a3√212.
