Đề bài
Câu 1. Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. \(\int {[f(x) + g(x)]dx = \int {f(x)dx + \int {g(x)dx} } } \) với mọi hàm f(x), g(x) liên tục trên R.
B. \(\int {[f(x) - g(x)]dx = \int {f(x)dx - \int {g(x)dx} } } \) với mọi hàm f(x), g(x) liên tục trên R.
C. \(\int {[kf(x)]dx = k\int {f(x)dx} } \) với mọi hằng số k và hàm f(x) liên tục trên R.
D. \(\int {[f'(x)]dx = f(x) + C} \) với mọi f(x) có đạo hàm trên R.
Câu 2. Nếu t=u(x) thì:
A. \(dt = u'(x)dx\)
B. \(dx = u'(x)dt\)
C. \(dt = \dfrac{1}{{u(x)}}dx\)
D. \(dx = \dfrac{1}{{u(t)}}dt\).
Câu 3. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b]. Chọn mệnh đề sai ?
A. \(\int\limits_a^b {f(x)} dx = - \int\limits_b^a {f(x)} dx\)
B. \(\int\limits_a^b {kdx} = k(b - a)\)
C. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx} + \int\limits_b^c f(x)\,dx = \int\limits_a^c f(x)\,dx\)\(,\,c \in [a;b] \)
D. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = \int\limits_b^a {f( - x)\,dx} } \).
Câu 4. Biết \(\int\limits_0^5 {f(x)\,dx = 1\,,\,\,\int\limits_5^0 {g(t)\,dt = 2} } \). Giá trị của \(\int\limits_0^5 {[f(x) + g(x)]\,dx} \) là:
A. Không xác định được
B. 1
C. 3
D. – 1 .
Câu 5. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^e {\dfrac{{dx}}{{3x + 1}}} \).
A. \(I = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{1}{{{{\left( {3e + 1} \right)}^2}}} - 1} \right)\)
B. \(I = \dfrac{1}{{{{\left( {3e + 1} \right)}^2}}} - 1\).
C. \(I = \ln \left( {3e + 1} \right)\)
D. \(I = \dfrac{1}{3}\ln \left( {3e + 1} \right)\).
Câu 6. Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sin 2x\) là:
A. \(\cos 2x + C\).
B. \( - \cos 2x + C\).
C. \(\dfrac{1}{2}\cos 2x + C\).
D. \( - \dfrac{1}{2}\cos 2x + C\).
Câu 7.Tính \(\int {2x\ln (x - 1)\,dx} \) bằng:
A.\(\left( {{x^2} - 1} \right)\ln \left( {x - 1} \right) - \dfrac{{{x^2}}}{2} - x + C\).
B. \(\left( {{x^2} + 1} \right)\ln \left( {x - 1} \right) - \dfrac{{{x^2}}}{2} - x + C\).
C. \({x^2}\ln (x - 1) - \dfrac{{{x^2}}}{2} - x + C\).
D. \(\left( {{x^2} - 1} \right)\ln \left( {x - 1} \right) - \dfrac{{{x^2}}}{2} + x + C\).
Câu 8. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol \(y = 2 - {x^2}\) và đường thẳng y = - x là:
A. \(\dfrac{9}{2}\) B. \(\dfrac{9}{4}\)
C. 3 D. \(\dfrac{7}{2}\).
Câu 9. Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{1}{{5x - 2}}\).
A. \(\int {\dfrac{{dx}}{{5x - 2}} = 5\ln |5x - 2| + C} \).
B. \(\int {\dfrac{{dx}}{{5x - 2}} = - \dfrac{1}{2}\ln |5x - 2| + C} \).
C. \(\int {\dfrac{{dx}}{{5x - 2}} = \ln |5x - 2| + C} \).
D. \(\int {\dfrac{{dx}}{{5x - 2}} = \dfrac{1}{5}\ln |5x - 2| + C} \).
Câu 10. Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số x = f(y), trục tung và hai đường thẳng y = a, y = a, y = b. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Oy là:
A. \(V = \pi \int\limits_a^b {|f(y)|\,dy} \).
B. \(V = \int\limits_a^b {|f(x)|\,dx} \).
C. \(V = {\pi ^2}\int\limits_a^b {{f^2}(x)\,dx} \).
D. \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(y)\,} dy\)
Lời giải chi tiết
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| C | A | D | D | D |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| D | A | A | D | D |
Lời giải chi tiết
Câu 1.
Mệnh đề sai: \(\int {[kf(x)]dx = k\int {f(x)dx} } \) với mọi hằng số k và hàm \(f\left( x \right)\)liên tục trên R.
Chọn đáp án C.
Câu 2.
Ta có: \(t = u\left( x \right) \Rightarrow dt = u'\left( x \right)dx\)
Chọn đáp án A.
Câu 3.
Hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) thì:
+ \(\int\limits_a^b {f(x)} dx = - \int\limits_b^a {f(x)} dx\)
+ \(\int\limits_a^b {kdx} = k(b - a)\)
+ \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx} + \int\limits_b^c {f(x)\,dx = \int\limits_a^c {f(x)\,dx\,\,,c \in [a;b]} } \)
Chọn đáp án D.
Câu 4.
Ta có: \(\int\limits_0^5 {f(x)\,dx = 1\,,\,\,\int\limits_5^0 {g(t)\,dt = 2} }\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\int\limits_0^5 {f\left( x \right)\,dx = 1} \\\int\limits_5^0 {g(t)\,dt = 2} \Rightarrow \int\limits_0^5 {g\left( x \right)dx} = - 2\end{array} \right.\)
Khi đó ta có:
\(\int\limits_0^5 {[f(x) + g(x)]\,dx} \)\(\,= \int\limits_0^5 {f\left( x \right)} \,dx + \int\limits_0^5 {g\left( x \right)} \,dx \)\(\,= 1 - 2 = - 1.\)
Chọn đáp án D.
Câu 5.
Ta có:
\(I = \int\limits_0^e {\dfrac{{dx}}{{3x + 1}}} = \dfrac{1}{3}\int\limits_0^e {\dfrac{{d\left( {3x + 1} \right)}}{{3x + 1}}} \)
\(\;\;\;= \dfrac{1}{3}\ln \left| {3x + 1} \right|\left| \begin{array}{l}^e\\_0\end{array} \right. = \dfrac{1}{3}\left( {\ln \left( {3e + 1} \right)} \right)\)
Chọn đáp án D.
Câu 6.
Ta có: \(\int {\sin 2x} \,dx = \dfrac{1}{2}\int {\sin 2x\,d\left( {2x} \right)} \)\(\, = - \dfrac{1}{2}\cos 2x + C\)
Chọn đáp án D.
Câu 7.
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x - 1} \right)\\dv = 2xdx\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{{x - 1}}dx\\v = {x^2}\end{array} \right.\)
Khi đó ta có:
\(\int {2x\ln (x - 1)\,dx} \)
\(= \left[ {\ln \left( {x - 1} \right).{x^2}} \right] - \int {\dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}}} \,dx \)
\(= \left[ {\ln \left( {x - 1} \right).{x^2}} \right] - \int {\left( {x + 1 + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right)\,dx} \)
\( = \left[ {{x^2}\ln \left( {x - 1} \right)} \right] - \left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + x + \ln \left| {x - 1} \right|} \right) + C\)
\( = \left( {{x^2} - 1} \right)\ln \left( {x - 1} \right) - \dfrac{{{x^2}}}{2} - x + C\)
Chọn đáp án A.
Câu 8.
Phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị và đường thẳng:
\(2 - {x^2} = - x \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 1\end{array} \right.\)
Khi đó diện tích hình phẳng được xác định bằng công thức là:
\(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {2 + x - {x^2}} \right|} \,dx \)\(\,= \left| {2x + \dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{{{x^3}}}{3}} \right|\left| \begin{array}{l}^2\\_{ - 1}\end{array} \right. \)\(\,= \left| {\dfrac{{10}}{3} + \dfrac{7}{6}} \right| = \dfrac{9}{2}.\)
Chọn đáp án A.
Câu 9.
Ta có: \(\int {\dfrac{1}{{5x - 2}}} \,dx = \dfrac{1}{5}\int {\dfrac{{d\left( {5x - 2} \right)}}{{5x - 2}}} \)\(\,= \dfrac{1}{5}\ln \left| {5x - 2} \right| + C\)
Chọn đáp án D.
Câu 10.
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục Oy là: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(y)\,} dy\)
Chọn đáp án D
