Đề bài
Giải phương trình: \({\log _{{1 \over 2}}}x + {({\log _2}x)^2} = 2\)
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Biến đổi các logarit về cùng cơ số \(2\).
Lời giải chi tiết
\(\begin{array}{l}{\log _{\frac{1}{2}}}x + {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} = 2\,\left( {\text {ĐK}:x > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _{{2^{ - 1}}}x} + {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} = 2\\ \Leftrightarrow - {\log _2}x + {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} = 2\\ \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} - {\log _2}x - 2 = 0\end{array}\)
Đặt \(t = {\log _2}x\) phương trình trở thành:
\({t^2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = 2\end{array} \right.\)
Với \(t = - 1\) thì \({\log _2}x = - 1 \Leftrightarrow x = {2^{ - 1}} = \dfrac{1}{2}\left( {TM} \right)\)
Với \(t = 2\) thì \({\log _2}x = 2 \Leftrightarrow x = {2^2} = 4\left( {TM} \right)\)
Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {\dfrac{1}{2};4} \right\}\)
