Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và AB=a,AD=b,SA=c. Lấy các điểm B′,D′ theo thứ tự thuộc SB,SD sao cho AB′ vuông góc với SB,AD′ vuông góc với SD. Mặt phẳng (AB′D′) cắt SC tại C′. Tính thể tích khối chóp S.AB′C′D′.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh SC⊥(AB′C′D′)
⇒VS.AB′C′D′=13SC′.SAB′C′D′
Lời giải chi tiết
Ta có BC⊥AB,BC⊥SA⇒BC⊥(SAB) ⇒BC⊥AB′
Theo giả thiết SB⊥AB′ ⇒AB′⊥(SBC)⇒AB′⊥SC (1)
Chứng minh tương tự ta có: AD′⊥SC(2)
Từ (1) và (2) suy ra SC⊥(AB′C′D′) hay SC′⊥(AB′C′D′)
Do đó SC′ là đường cao của hình chóp S.AB′C′D′.
Từ AB′⊥(SBC) ⇒AB′⊥B′C′
Tương tự ta có: AD′⊥D′C′
⇒SAB′C′D′=SAB′C′+SAD′C′
=12AB′.B′C′+12AD′.D′C′ =12(AB′.B′C′+AD′.D′C′)
Từ các kết quả trên, ta được:
VAB′C′D′=13.SC′.12(AB′.B′C′+AD′.D′C′)
=16SC′.(AB′.B′C′+AD′.D′C′) (*)
Ta tính các yếu tố trên.
Tam giác vuông SAB có AB′ là đường cao, nên ta có:
1AB′2=1a2+1c2⇒AB′2=a2c2a2+c2 ⇒AB′=ac√a2+c2
Tương tự, ta có:
AD′2=b2c2b2+c2⇒AD′=bc√b2+c2
Ta lại có: SC2=AC2+AS2=a2+b2+c2⇒SC=√a2+b2+c2
Trong tam giác vuông SAC,AC′ là đường cao
⇒SC′.SC=SA2 ⇒SC′=SA2SC=c2√a2+b2+c2
∆SBC đồng dạng ∆SC′B′ (g.g)⇒B′C′BC=SC′SB
⇒B′C′=SC′.BCSB=bc2√a2+c2√a2+b2+c2
Tương tự ta có: D′C′=c2a√b2+c2√a2+b2+c2
Thay các kết quả này vào (*) ta được:
V=16.abc5(a2+b2+2c2)(a2+c2)(b2+c2)(a2+b2+c2)
