Đề bài
Trong hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu
(S): x2+y2+z2−10x+2y+26z+170=0
và song song với hai đường thẳng
d:{x=−5+2ty=1−3tz=−13+2td′:{x=−7+3t′y=−1−2t′z=8
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Gọi →a;→a′ lần lượt là VTCP của hai đường thẳng d và d'. Khi đó mặt phẳng (α) nhận →n=[→a;→a′] là 1 VTPT.
+) Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S), mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) ⇔d(I;(α))=R
Lời giải chi tiết
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương →a=(2;−3;2)
d′ có vectơ chỉ phương →a′=(3;−2;0)
Mặt phẳng (α) song song với d và d′ nhận vectơ →n=[→a,→a′]=(4;6;5) làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng (α) có dạng: 4x+6y+5z+D=0
Mặt cầu (S) có tâm I(5;−1;−13) và bán kính R=√(−5)2+12+(−13)2−170=√25=5.
Để (α) tiếp xúc với mặt cầu (S), ta phải có:
d(I,(α))=R ⇔|4.5+6(−1)+5(−13)+D|√42+62+52=5 ⇔|D−51|=5√77
Ta được hai mặt phẳng thoả mãn yêu cầu:
+) D−51=5√77 ⇒(α1):4x+6y+5z+51+5√77=0
+) D−51=−5√77 ⇒(α2):4x+6y+5z+51−5√77=0
