Đề bài
Câu 1. Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {2 - x} ,\,y = x\) xung quanh trục Ox được tính theo công thức nào sau đây :
A. \(V = \pi \int\limits_0^2 {\left( {2 - x} \right)\,dx + \pi \int\limits_0^2 {{x^2}\,dx} } \).
B. \(V = \pi \int\limits_0^2 {\left( {2 - x} \right)\,dx} \).
C. \(V = \pi \int\limits_0^1 {x\,dx + \pi \int\limits_1^2 {\sqrt {2 - x} \,dx} } \).
D. \(V = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}\,dx + \pi \int\limits_1^2 {\left( {2 - x} \right)\,dx} } \).
Câu 2. Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}\) là
A. \(\tan x + C\).
B. \(\dfrac{{ - 1}}{{\cos x}} + C\).
C. \(\cot x + C\).
D. \(\dfrac{1}{{\cos x}} + C\).
Câu 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2},\,\,y = 2x\) là:
A. \(\dfrac{4}{3}\) B. \(\dfrac{3}{2}\)
C. \(\dfrac{5}{3}\) D. \(\dfrac{{23}}{{15}}\).
Câu 4. Nếu f(1) = 12, f’(x) liên tục và \(\int\limits_1^4 {f'(x)\,dx = 17} \) thì giá trị của f(4) bằng bao nhiêu ?
A. 29 B. 5
C. 19 D. 40 .
Câu 5. Cho f(x), g(x) là các hàm liên tục trên [a ; b]. Lựa chọn phương án đúng.
A. \(\left| {\int\limits_a^b {f(x)\,dx} } \right| \ge \int\limits_a^b {|f(x)|\,dx} \).
B. \(\left| {\int\limits_a^b {f(x)\,dx} } \right| \le \int\limits_a^b {|f(x)|\,dx} \).
C. \(\left| {\int\limits_a^b {f(x)\,dx} } \right| = \int\limits_a^b {|f(x)|\,dx} \).
D. Cả 3 phương án trên đều sai.
Câu 6. Giả sử f(x) là hàm liên tục và 0 < f(x) < 1, \(\forall x \in [0;1]\). Hình phẳng S giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = 0, x = 1. Hình này quay quanh trục tạo nên các vật thể có thể tích la Vx. Lựa chọn phương án đúng :
A. \(0 < {V_x} < \pi \int\limits_0^1 {f(x)\,dx} \).
B. \({V_x} < \pi \int\limits_0^1 {{f^4}(x)\,dx} \).
C. \({V_x} > \pi \int\limits_0^1 {f(x)\,dx} \)
D. Cả 3 phương án trên đều sai.
Câu 7. Tính nguyên hàm \(\int {\dfrac{{1 - 2{{\tan }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\,dx} \) ta được:
A. \( - \cot x - 2\tan x + C\).
B. \(\cot x - 2\tan x + C\).
C. \(\cot x + 2\tan x + C\).
D. \( - \cot x + 2\tan x + C\).
Câu 8. Nếu \(F(x) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^{ - x}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right){e^{ - x}}\) thì (a , b ,c) bằng bao nhiêu ?
A. (1 ; 3 ; 2).
B. (2 ; - 3 ; 1).
C. (1 ; - 1 ; 1).
D. Một kết quả khác.
Câu 9. Cho hàm số \(y = f(x) = {x^3} - 3{x^2} - 4x\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trên và trục Ox được tính bằng công thức:
A. \(\left| {\int\limits_{ - 1}^4 {f(x)\,dx} } \right|\).
B. \(\int\limits_{ - 1}^4 {f(x)\,dx} \).
C. \(\int\limits_{ - 1}^0 {f(x)\,dx + \int\limits_0^4 {f(x)\,dx} } \).
D. \(\int\limits_{ - 1}^0 {f(x)\,dx - \int\limits_0^4 {f(x)\,dx} } \).
Câu 10. Cho \(I = \int\limits_1^2 {2x\sqrt {{x^2} - 1} \,dx\,,\,\,u = {x^2} - 1} \). Khẳng định nào dưới đây sai ?
A. \(I = \int\limits_0^3 {\sqrt u \,du} \).
B. \(I = \dfrac{2}{3}\sqrt {27} \).
C. \(\int\limits_1^2 {\sqrt u \,du} \).
D. \(I = \dfrac{2}{3}{u^{\dfrac{3}{2}}}\left| \begin{array}{l}3\\0\end{array} \right.\).
Câu 11. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. \(\int\limits_a^b {[f(x) + g(x)]\,dx} = \int\limits_a^b {f(x)\,dx + \int\limits_a^b {g(x)\,dx} } \).
B. f(x) liên tục trên [a ; c] và a < b < c thì \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = \int\limits_a^c {f(x)\,dx + \int\limits_b^c {f(x)\,dx} } } \).
C. Nếu \(f(x) \ge 0\) trên đoạn [a ; b] thì \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx \ge 0} \).
D. \(\int {\dfrac{{u'(x)dx}}{{u(x)}} = \ln \left| {u(x)} \right|} + C\).
Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\left( {1 - 3{e^{ - 2x}}} \right)\).
A. \(F(x) = {e^x} - 3{e^{ - 3x}} + C\).
B. \(F(x) = {e^x} + 3{e^{ - x}} + C\).
C. \(F(x) = {e^x} - 3{e^{ - x}} + C\).
D. \(F(x) = {e^x} + C\).
Câu 13. Cho \(\int\limits_1^4 {f(x)\,dx = 9} \). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f(3x + 1)\,dx} \) .
A. I= 27 B. I= 3
C. I= 9 D. I= 1.
Câu 14. Cho f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên R và \(k \ne 0\). Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây .
A. \(\int {\left[ {f(x).g(x)} \right]} \,dx = \int {f(x)\,dx.\int {g(x)\,dx} } \)
B. \(\int {k.f(x)\,dx = k\int {f(x)\,dx} } \)
C. \(\int {f'(x)\,dx} = f(x) + C\)
D. \(\int {\left[ {f(x) \pm g(x)} \right]\,dx = \int {f(x)\,dx \pm \int {g(x)\,dx} } } \)
Câu 15. Cho số thực a thỏa mãn \(\int\limits_{ - 1}^a {{e^{x + 1}}} \,dx = {e^2} - 1\). Khi đó a có giá trị bằng:
A. 0 B. -1
C. 1 D. 2.
Câu 16. Tích phân \(I = \int\limits_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{dx}}{{\sin x}}} \) có giá trị bằng:
A. \(2\ln \dfrac{1}{3}\). B . \(2\ln 3\).
C. \(\dfrac{1}{2}\ln 3\). D. \(\dfrac{1}{2}\ln \dfrac{1}{3}\).
Câu 17. Tích phân \(I = \int\limits_1^e {2x\left( {1 - \ln x} \right)\,dx} \) bằng :
A. \(\dfrac{{{e^2} - 1}}{2}\). B. \(\dfrac{{{e^2} + 1}}{2}\).
C. \(\dfrac{{{e^2} - 3}}{4}\). D. \(\dfrac{{{e^2} - 3}}{2}\).
Câu 18. Tìm \(I = \int {\left( {2{x^2} - \dfrac{1}{{\sqrt[3]{x}}} - \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)\,dx} \) trên khoảng \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).
A. \(I = \dfrac{2}{3}{x^3} + \dfrac{1}{3}{x^{ - \dfrac{2}{3}}} - \tan x + C\).
B. \(I = \dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^{\dfrac{2}{3}}} - \tan x + C\).
C. \(I = \dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{2}{3}\sqrt[3]{{{x^2}}} - \tan x + C\).
D. \(I = \dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^{\dfrac{2}{3}}} + \tan x + C\).
Câu 19. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = {x^2} - x + 3,\,\,y = 2x + 1\) là:
A. \(\dfrac{3}{2}\) B. \(\dfrac{{ - 3}}{2}\)
C. \(\dfrac{1}{6}\) D. \( - \dfrac{1}{6}\).
Câu 20. Hàm số y = sinx là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây ?
A. y = sin + 1. B. y = cosx.
C. y = cotx. D. y = - cosx.
Câu 21. Tính nguyên hàm \(\int {\dfrac{{{{\left( {3\ln x + 2} \right)}^4}}}{x}\,dx} \) ta được:
A. \(\dfrac{1}{3}{\left( {3\ln x + 2} \right)^5} + C\).
B. \(\dfrac{1}{{15}}{\left( {3\ln x + 2} \right)^5} + C\).
C. \(\dfrac{{{{\left( {3\ln x + 2} \right)}^5}}}{5} + C\).
D. \(\dfrac{1}{5}{\left( {3\ln x + 2} \right)^5} + C\).
Câu 22. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = \left( {e + 1} \right)x\,,\,\,y = \left( {{e^x} + 1} \right)x\) là:
A. \(\dfrac{{2 - e}}{e}\). B. e
C. \(\dfrac{{e - 2}}{e}\) D. 2e.
Câu 23. Xét f(x) là một hàm số liên tục trê đoạn [a ; b], ( với a < b) và F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a ; b]. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. \(\int\limits_a^b {f(3x + 5)\,dx = F(3x + 5)\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right.} \).
B. \(\int\limits_a^b {f(x + 1)\,dx = F(x)\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right.} \).
C. \(\int\limits_a^b {f(2x)\,dx = 2\left( {F(b) - F(a)} \right)} \).
D. \(\int\limits_a^b f (x)\,dx = F(b) - F(a)\).
Câu 24. Cho \(f(x) = \dfrac{{4m}}{\pi } + {\sin ^2}x\). Tìmmđể nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thỏa mãn F(0) = 1 và \(F\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{\pi }{8}\).
A. \( - \dfrac{3}{4}\). B. \(\dfrac{3}{4}\)
C. \( - \dfrac{4}{3}\) D. \(\dfrac{4}{3}\).
Câu 25. Xét hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên [a ; b]. Khẳng định nào sau đây luôn đúng ?
A. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = F(a) + F(b)} \).
. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = F(a) - F(b)} \).
C. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = F(b) - F(a)} \).
D. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = f(b) - f(a)} \).
Lời giải chi tiết
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| D | D | A | A | B |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| A | A | B | D | C |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| B | B | B | A | C |
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| C | D | B | C | B |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| B | C | D | A | C |
Lời giải chi tiết
Câu 1
Điều kiện: \(x \le 2\)
Xét hương trình hoành độ giao điểm ta có:
\(\sqrt {2 - x} = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\2 - x = {x^2}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} + x - 2 = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x = 1\)
Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tính được xác được bởi công thức: \(V = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}\,dx + \pi \int\limits_1^2 {\left( {2 - x} \right)\,dx} } \)
Chọn đáp án D.
Câu 2.
Ta có: \(\int {\dfrac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}} \,dx = - \int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \,d\left( {\cos x} \right)\)\(\, = \dfrac{1}{{\cos x}} + C.\)
Chọn đáp án D.
Câu 3.
Phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} = 2x \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)
Khi đó, diện tích hình phẳng được xác định bởi công thức
\(S = \int\limits_0^2 {\left| {\left( {{x^2} - 2x} \right)} \right|\,dx} \)\(\,= \left| {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|\left| \begin{array}{l}^2\\_0\end{array} \right. \)\(\,= \left| {\left( {\dfrac{{{2^3}}}{3} - {2^2}} \right)} \right| - 0 = \dfrac{4}{3}\)
Chọn đáp án A.
Câu 4.
Ta có: \(\int\limits_1^4 {f'\left( x \right)\,dx = 17} \)
\(\Rightarrow f\left( x \right)\left| {_1^4} \right. = 17 \Leftrightarrow f\left( 4 \right) - f\left( 1 \right) = 17\)
\( \Rightarrow f\left( 4 \right) = 17 + f\left( 1 \right) = 17 + 12 = 29.\)
Chọn đáp án A.
Câu 5.
Khi Cho \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là các hàm liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) ta luôn có: \(\left| {\int\limits_a^b {f\left( {x\,} \right)dx} } \right| \le \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|\,dx} \)
Chọn đáp án B.
Câu 6.
Thể tích của hình phẳng tạo ra là
Câu 7.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\int {\dfrac{{1 - 2{{\tan }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\,dx} \\ = \int {\left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \dfrac{2}{{{{\cos }^2}x}}} \right)\,dx} \\ = \int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\,dx - 2\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} } \\ = - \cot x - 2\tan x + C\end{array}\)
Chọn đáp án A.
Câu 8.
Ta có: \(\int {\left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right){e^{ - x}}} \,dx \)\(\,= - \int {\left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right)d} \left( {{e^{ - x}}} \right)\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = - 2{x^2} + 7x - 4\\dv = d\left( {{e^{ - x}}} \right)\end{array} \right. \)\(\,\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( { - 4x + 7} \right)\,dx\\v = {e^{ - x}}\end{array} \right.\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}\int {\left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right){e^{ - x}}} \,dx\\ = - \int {\left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right)d} \left( {{e^{ - x}}} \right)\\ = - \left[ {\left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right){e^{ - x}} - \int {{e^{ - x}}\left( { - 4x + 7} \right)dx} } \right]\end{array}\)
\( = - \left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right){e^{ - x}} + \int {{e^{ - x}}\left( { - 4x + 7} \right)dx} \)
\( = - \left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right){e^{ - x}} - \int {\left( { - 4x + 7} \right)d\left( {{e^{ - x}}} \right)} \)\( = - \left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right){e^{ - x}} - \left[ {\left( { - 4x + 7} \right){e^{ - x}} + 4\int {{e^{ - x}}dx} } \right]\)
\( = - \left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right){e^{ - x}} + \left( {4x - 7} \right){e^{ - x}} - 4\left( { - {e^{ - x}}} \right) + C\)
\( = \left( {2{x^2} - 3x + 1} \right){e^{ - x}} + C\)
Chọn đáp án B.
Câu 9
Phương trình hoành độ giao điểm \({x^3} - 3{x^2} - 4x = 0\)
\(\Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 3x - 4} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 3x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\\x = - 1\end{array} \right.\)
Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục Ox được xác định bằng công thức:
\(S = \int\limits_{ - 1}^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|} \,dx\)
Mà ta có: \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 4x = x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)\)
+ Với \( - 1 < x < 0 \Rightarrow f\left( x \right) > 0\)
+ Với \(0 < x < 4 \Rightarrow f\left( x \right) < 0\)
Khi đó ta có: \(S = \int\limits_{ - 1}^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|} \,dx\)\(S = \int\limits_{ - 1}^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|} \,dx = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)} \;dx - \int\limits_0^4 {f\left( x \right)} \;dx\)
Chọn đáp án D.
Câu 10.
Đặt \(u = {x^2} - 1 \Rightarrow du = 2x\,dx\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \to u = 0\\x = 2 \to u = 3\end{array} \right.\)
Khi đó \(I = \int\limits_1^2 {2x\sqrt {{x^2} - 1} \,dx\, = \int\limits_0^3 {\sqrt u } } \,du\)
\( \to \) Đáp án C sai
Chọn đáp án C.
Câu 11.
+ Áp dụng tính chất của tích phân, ta có \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)\,} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( {x\,} \right)dx + \int\limits_a^b {g\left( x \right)\,dx} } \)
\( \to \) Khẳng định A đúng.
+ Tính chất của tích phân: Nếu \(f\left( x \right) \ge 0\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)\,dx \ge 0} \)
\( \to \) Khẳng định C đúng.
+ Ta có: \(\int {\dfrac{{u'\left( x \right)dx}}{{u\left( x \right)}} = \int {\dfrac{{d\left( {u\left( x \right)} \right)}}{{u\left( x \right)}}} } = \ln \left| {u\left( x \right)} \right| + C\)
\( \to \) Khẳng định D đúng.
\( \to \) Khẳng định B sai.
Chọn đáp án B.
Câu 12.
Ta có: \(\int {{e^x}\left( {1 - 3{e^{ - 2x}}} \right)\,dx} = \int {\left( {1 - \dfrac{3}{{{{\left( {{e^x}} \right)}^2}}}} \right)} \;d\left( {{e^x}} \right)\)\(\, = {e^x} + \dfrac{3}{{{e^x}}} + C = {e^x} + 3{e^{ - x}} + C\)
Chọn đáp án B.
Câu 13.
Đặt \(u = 3x + 1 \)
\(\Rightarrow du = d\left( {3x + 1} \right) = 3\,dx \)
\(\Leftrightarrow dx = \dfrac{{du}}{3}\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \to u = 1\\x = 1 \to u = 4\end{array} \right.\)
Khi đó ta có: \(I = \dfrac{1}{3}\int\limits_1^4 {f\left( u \right)\,} du = \dfrac{1}{3}\int\limits_1^4 {f\left( x \right)\,dx} \)\(\,= \dfrac{1}{3}.9 = 3.\)
Chọn đáp án B.
Câu 14.
Áp dụng tính chất của nguyên hàm ta có:
+ \(\int {k.f\left( x \right)\,dx = k\int {f\left( x \right)\,dx} } \)
+ \(\int {f'\left( x \right)\,dx} = f\left( x \right) + C\)
+ \(\int {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]\,dx = \int {f\left( x \right)\,dx \pm \int {g\left( x \right)\,dx} } } \)
\( \to \) Khẳng định A sai
Chọn đáp án A.
Câu 15.
Ta có: \(\int\limits_{ - 1}^a {{e^{x + 1}}} \,dx \)
\(= e\int\limits_{ - 1}^a {{e^x}\,d} \left( x \right)\)
\(= e\left( {{e^x}} \right)\left| {_{ - 1}^a} \right. \)
\(= e\left( {{e^a} - {e^{ - 1}}} \right) + C = {e^{a + 1}} - e + C\)
Khi đó \(a + 1 = 2 \Rightarrow a = 1\)
Chọn đáp án C.
Câu 16.
Ta có:
\(\begin{array}{l}I = \int\limits_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{dx}}{{\sin x}}} = \int\limits_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\sin x}}{{{{\sin }^2}x}}} \,dx\\ = - \int\limits_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{d\left( {\cos x} \right)}}{{1 - {{\cos }^2}x}}} \\ = - \dfrac{1}{2}\int\limits_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {\dfrac{1}{{1 - \cos x}} + \dfrac{1}{{1 + \cos x}}} \right)} \;d\left( {\cos x} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\int\limits_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{1}{{1 - \cos x}}d\left( {1 - \cos x} \right)} - \dfrac{1}{2}\int\limits_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{1}{{1 + \cos x}}d\left( {1 + \cos x} \right)} \\ = \dfrac{1}{2}\ln \left| {1 - \cos x} \right|\left| {_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}}} \right. - \dfrac{1}{2}\ln \left| {1 + \cos x} \right|\left| {_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}}} \right.\\ = \left( {\dfrac{1}{2}\ln \dfrac{1}{2}} \right) - \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{1}{3}\end{array}\)
Chọn đáp án D.
Câu 17.
Ta có: \(I = \int\limits_1^e {2x\left( {1 - \ln x} \right)\,dx} \)\(\, = \int\limits_1^e {2x\,dx} - 2\int\limits_1^e {x\ln \,dx}\)\(\, = {x^2}\left| {_1^e} \right. - 2\int\limits_1^e {x\ln \,dx} \)
Đặt \({I_1} = \int\limits_1^e {x\ln x\,dx} \)
Ta có:
\({I_1} = \int\limits_1^e {x\ln x\,dx} = \left( {\dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right)\left| \begin{array}{l}^e\\_1^{}\end{array} \right. - \int\limits_1^e {\dfrac{x}{2}dx} \)
\(= \left( {\dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right)\left| \begin{array}{l}^e\\_1^{}\end{array} \right. - \left( {\dfrac{{{x^2}}}{4}} \right)\left| \begin{array}{l}_{}^e\\_1^{}\end{array} \right.\)
\( = \dfrac{e^2}{2}\ln e - \left( {\dfrac{e^2}{4} - \dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{e^2}{2}+\dfrac {1}{4}\)
Khi đó ta có: \(I = {e^2} - 1 - 2.\left( {\dfrac{{{e^2}}}{4} + \dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{{{e^2} - 3}}{2}\)
Câu 18.
Ta có:\(I = \int {\left( {2{x^2} - \dfrac{1}{{\sqrt[3]{x}}} - \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)\,dx} \)\(\, = \int {\left( {2{x^2} - {x^{ - \dfrac{1}{3}}} - \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx} \)\(\,= \dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^{\dfrac{2}{3}}} - \tan x + C\)
Chọn đáp án B.
Câu 19.
Phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} - x + 3 = 2x + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thì được xác định bằng công thức
\(\begin{array}{l}S = \int\limits_1^2 {\left| {\left( {{x^2} - x + 3} \right) - \left( {2x + 1} \right)} \right|\,dx} \\ = \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|} \,dx\\ = \left| {\dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{3}{2}{x^2} + 2x} \right|\left| \begin{array}{l}^2\\_1\end{array} \right.\\ = \left| {\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6}} \right| = \dfrac{1}{6}.\end{array}\)
Chọn đáp án C.
Câu 20.
Ta có: \(\int {\left( { - \cos x} \right)} \,dx = \sin x + C.\)
Chọn đáp án A.
Câu 21.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\int {\dfrac{{{{\left( {3\ln x + 2} \right)}^4}}}{x}\,dx} \\ = \int {\left( {{{\left( {3\ln x + 2} \right)}^4}} \right)} \,d\left( {\ln x} \right)\\ = \dfrac{1}{3}\int {\left( {{{\left( {3\ln x + 2} \right)}^4}} \right)} \,d\left( {3\ln x + 2} \right)\\ = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{{\left( {3\ln 2 + 2} \right)}^5}}}{5} = \dfrac{{{{\left( {3\ln 2 + 2} \right)}^5}}}{{15}} + C.\end{array}\)
Chọn đáp án B.
Câu 22.
Phương trình hoành độ giao điểm là: \(\left( {e + 1} \right)x\, = \left( {{e^x} + 1} \right)x \)
\(\Leftrightarrow x\left( {{e^x} + 1 - e - 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow x\left( {{e^x} - e} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\).
Khi đó, diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị là:
\(\begin{array}{l}S = \int\limits_0^1 {\left| {\left( {{e^x} + 1} \right)x - \left( {e + 1} \right)x} \right|\,dx} \\\,\,\,\, = \int\limits_0^1 {\left| {{e^x}x - ex} \right|\,dx} = \int\limits_0^1 {\left( {ex - {e^x}x} \right)} \,dx\\\,\,\,\, = \left( {\dfrac{{e{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. - \int\limits_0^1 {{e^x}xdx} \end{array}\)
Đặt \(I = \int\limits_0^1 {{e^x}x\,dx} \)
Ta có: \(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^1 {{e^x}x\,dx} = \int\limits_0^1 {x\,d\left( {{e^x}} \right)} \\\,\,\, = \left( {x.{e^x}} \right)\left| {_0^1} \right. - \int\limits_0^1 {{e^x}} dx\\\,\,\, = e - \left( {{e^x}} \right)\left| {_0^1} \right. = e - \left( {e - 1} \right) = 1\end{array}\)
Khi đó: \(S = \dfrac{e}{2} - 1 = \dfrac{{e - 2}}{2}.\)
Chọn đáp án C.
Câu 23.
Áp dụng khái niệm của tích phân: Xét \(f\left( x \right)\) là một hàm số liên tục trê đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), ( với \(a < b\)) và \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) ta có\(\int\limits_a^b f (x)\,dx = F(b) - F(a)\).
Chọn đáp án D.
Câu 24.
Ta có:
\(\int {\left( {\dfrac{{4m}}{\pi } + {{\sin }^2}x} \right)\,dx} \)
\(= \int {\left( {\dfrac{{4m}}{\pi } + \dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)} \,dx \)
\(= \int {\left( {\dfrac{{8m + \pi }}{{2\pi }} - \dfrac{{\cos 2x}}{2}} \right)\,dx} \)
\( = \left( {\dfrac{{8m + \pi }}{{2\pi }}} \right)x - \dfrac{1}{4}\int {\cos 2x\,d\left( {2x} \right)}\)
\( = \left( {\dfrac{{8m + \pi }}{{2\pi }}} \right)x - \dfrac{{\sin 2x}}{4} + C\)
Theo giả thiết ta có:
+ \(F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1\)
+ \(F\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{\pi }{8}\)
\(\Rightarrow \left( {\dfrac{{8m + \pi }}{{2\pi }}} \right).\dfrac{\pi }{4} - \dfrac{1}{4} + 1 = \dfrac{\pi }{8}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{8m + \pi }}{8} = \dfrac{\pi }{8} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{{\pi - 6}}{8} \)
\(\Leftrightarrow 8m = - 6 \Rightarrow m = - \dfrac{3}{4}\).
Chọn đáp án A.
Câu 25.
Áp dụng định nghĩa của tích phân ta có: \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = F(b) - F(a)} \)
Chọn đáp án C
