Cho hàm số \(y = {1 \over 3}{x^3} - (m - 1){x^2} + (m - 3)x + 4{1 \over 2}\)
(m là tham số) (1)
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0.
Lời giải chi tiết:
\(y = {1 \over 3}{x^3} + {x^2} - 3x + 4{1 \over 2}\)
+) Tập xác định: D = R
+) Sự biến thiên: y’ = x2 + 2x – 3
\(y' = 0\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 1} \cr {x = - 3} \cr} } \right.\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -3) và (1; +∞), nghịch biến trên khoảng (-3; 1).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 3;{y_{CD}} = 13{1 \over 2};{y_{CT}} = 2{5 \over 6}\) khi x = 1
Đồ thị cắt trục tung tại điểm \((0;4{1 \over 2})\) và có dạng như hình dưới đây.
\(y’’ = 2x + 2 ; y’’ = 0 \Leftrightarrow x = -1.\) Vậy là tâm đối xứng của đồ thị.
LG b
Viết phương trình của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm \(A(0;4{1 \over 2})\)
Lời giải chi tiết:
\(f(x) = {1 \over 3}{x^3} + {x^2} - 3x + 4{1 \over 2}\)
f’(x)= x2 + 2x – 3
Ta có: \(f'\left( 0 \right) = - 3\)
Tiếp tuyến với (C) tại \(A(0;4{1 \over 2})\) có phương trình là: \(y =-3(x-0) + 4{1 \over 2}\) hay \(y = - 3x + 4\dfrac{1}{2}\)
Vậy phương trình tiếp tuyến là \(y = - 3x + 4\dfrac{1}{2}\).
LG c
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và các đường thẳng x = 0 và x = 2.
Lời giải chi tiết:
\(S = \int\limits_0^2 {({1 \over 3}{x^3} + {x^2} - 3x + 4{1 \over 2})dx } \)
\( = \left. {\left( {\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{{{x^3}}}{3} - 3.\dfrac{{{x^2}}}{2} + 4\dfrac{1}{2}x} \right)} \right|_0^2 \) \(= 7 - 0 = 7\) (đơn vị diện tích).
LG d
Xác định m để đồ thị của (1) cắt đường thẳng \(y = - 3x + 4{1 \over 2}\) tại ba điểm phân biệt.
Lời giải chi tiết:
Hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = - 3x + 4{1 \over 2}\) với đồ thị của (1) thỏa mãn phương trình
\({1 \over 3}{x^3} - (m - 1){x^2} + (m - 3)x + 4{1 \over 2} \) \(= - 3x + 4{1 \over 2}\) (2)
Ta có \((2)\Leftrightarrow {1 \over 3}{x^3} - (m - 1){x^2} + mx = 0\)
\(\Leftrightarrow x{\rm{[}}{x^2} - 3(m - 1)x + 3m] = 0\)
Để (2) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình f(x) = x2– 3(m – 1)x + 3m = 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác 0, tức là:
\(\left\{ {\matrix{{f(0) = 3m \ne 0} \cr {\Delta = 9{{(m - 1)}^2} - 12m > 0} \cr} } \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
9{m^2} - 18m + 9 - 12m > 0
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
9{m^2} - 30m + 9 > 0
\end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 3\\
m < \dfrac{1}{3}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 3\\
0 \ne m < \dfrac{1}{3}
\end{array} \right.\)
Vậy \(m>3\) hoặc \(m < \dfrac{1}{3}\) và \(m\ne 0\).
