Cho hàm số y=13x3−(m−1)x2+(m−3)x+412
(m là tham số) (1)
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0.
Lời giải chi tiết:
y=13x3+x2−3x+412
+) Tập xác định: D = R
+) Sự biến thiên: y’ = x2 + 2x – 3
y′=0⇔[x=1x=−3
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -3) và (1; +∞), nghịch biến trên khoảng (-3; 1).
Hàm số đạt cực đại tại x=−3;yCD=1312;yCT=256 khi x = 1
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;412) và có dạng như hình dưới đây.
y″ Vậy là tâm đối xứng của đồ thị.
LG b
Viết phương trình của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A(0;4{1 \over 2})
Lời giải chi tiết:
f(x) = {1 \over 3}{x^3} + {x^2} - 3x + 4{1 \over 2}
f’(x)= x2 + 2x – 3
Ta có: f'\left( 0 \right) = - 3
Tiếp tuyến với (C) tại A(0;4{1 \over 2}) có phương trình là: y =-3(x-0) + 4{1 \over 2} hay y = - 3x + 4\dfrac{1}{2}
Vậy phương trình tiếp tuyến là y = - 3x + 4\dfrac{1}{2}.
LG c
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và các đường thẳng x = 0 và x = 2.
Lời giải chi tiết:
S = \int\limits_0^2 {({1 \over 3}{x^3} + {x^2} - 3x + 4{1 \over 2})dx }
= \left. {\left( {\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{{{x^3}}}{3} - 3.\dfrac{{{x^2}}}{2} + 4\dfrac{1}{2}x} \right)} \right|_0^2 = 7 - 0 = 7 (đơn vị diện tích).
LG d
Xác định m để đồ thị của (1) cắt đường thẳng y = - 3x + 4{1 \over 2} tại ba điểm phân biệt.
Lời giải chi tiết:
Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = - 3x + 4{1 \over 2} với đồ thị của (1) thỏa mãn phương trình
{1 \over 3}{x^3} - (m - 1){x^2} + (m - 3)x + 4{1 \over 2} = - 3x + 4{1 \over 2} (2)
Ta có (2)\Leftrightarrow {1 \over 3}{x^3} - (m - 1){x^2} + mx = 0
\Leftrightarrow x{\rm{[}}{x^2} - 3(m - 1)x + 3m] = 0
Để (2) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình f(x) = x2– 3(m – 1)x + 3m = 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác 0, tức là:
\left\{ {\matrix{{f(0) = 3m \ne 0} \cr {\Delta = 9{{(m - 1)}^2} - 12m > 0} \cr} } \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ 9{m^2} - 18m + 9 - 12m > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ 9{m^2} - 30m + 9 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ \left[ \begin{array}{l} m > 3\\ m < \dfrac{1}{3} \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > 3\\ 0 \ne m < \dfrac{1}{3} \end{array} \right.
Vậy m>3 hoặc m < \dfrac{1}{3} và m\ne 0.
